0511《数值分析》2018 年 6 月期末考试指导一、考试说明（一）考试说明满分为 100 分，考试时间为 90 分钟，考试形式为开卷。考试时可携带相关资料。（二）试卷包含的题型及各题型相应的答题技巧1. 单项选择题答题技巧：在每道题可能的答案中选择出最正确的答案，注意答案只有一个。2. 填空题答题技巧：填空题大家要细心，多关注简单计算。3. 计算题答题技巧：计算题公式要用对，细心作答。4. 证明题答题技巧：证明过程要严谨。注意原理的应用。二、重要知识点第一章 绪论1.误差的类型模型误差：从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素，因此产生的误差称为模型误差。观测误差：一般数学问题包含若干参数，他们是通过观测得到的，受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。截断误差：在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。舍入误差：在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。2.误差估计由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。误差界就是用于误差估计的。具体计算方法参考讲义。3.有效数字在工程上，误差的概念就转化为有效数字。第二章 迭代法1.一般迭代法 4.矩阵的范数常见矩阵范数可以参考讲义。5.矩阵的条件数6.雅克比（Jacobi）迭代法 矩阵形式参考讲义。7.高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法矩阵形式参考讲义。8.迭代法收敛条件 9.收敛的判别条件 10. SOR 迭代法 定理：是（SOR 迭代法收敛的必要条件）设解线性方程 Ax=b 的 SOR 迭代法收敛，则 第四章 函数逼近与插值1.Lagrange 插值法具体推导过程以及应用例题可以参考讲义。2.差商3.牛顿（Newton）插值公式 具体推导过程可以参考讲义。4.三次样条插值具体内容可以参考讲义。5.最佳平方逼近 6.Hermite 插值解得7.最小二乘法 2.简单迭代法3.压缩映像原理 第五章 数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）求积公式具体推导过程可以参考讲义。 2.常用的几个积分公式 3.求积公式的代数精度4.复化梯形求积公式 具体推导过程可以参考讲义。5.复化抛物线（Simpson）求积公式具体推导过程可以参考讲义。6.高斯（Gauss）求积公式 六、数值微分 课外补充知识：1.改进欧拉法预报-校正公式 2.二阶龙格-库塔公式的局部截断误差为 O(h3)三、 重点习题一、单项选择题1. 若误差限为 0.5×10－5，那么近似数 0.003400 有( )位有效数字。 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 62. 当线性方程组 AX＝b 的系数矩阵 A 是( )时，用列主元消去法解 AX＝b，A 的主对角线的元素一定是主元。(A) 上三角形矩阵 (B) 主对角线元素不为 0 的矩阵(C) 对称且严格对角占优矩阵 (D) 正定对称矩阵 3. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( ) (A) P(xk)=yk,(k=0,1,…,n) (B) P(x)在[a,b]上连续(C) P(x)在各子区间上是线性函数 (D) P(x)在各节点处可导二、填空题1. 已知 x*1=x10.5×10－3，x*2=x20.5×10－2，那么近似值 x1，x2 之差的误差限是 。2. 用列主元消去法解线性方程组 AX＝b 时，在第 k－1 步消元时，在增广矩阵的第 k 列取主元ark( k−1)，使得|ark(k −1 )|= 。3. 已知函数 f(0.4)=0.411, f(0.5)=0.578 , f(0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式 x2 的系数是 。三、计算题1、写出求解线性代数方程组 的 Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。计算过程保留 4 位小数。2、设矩阵 ， （1）试计算 。 （2）用 Householder 变换阵 H 将 A 相似约化为上 Hessenberg 阵，即 HAH 为上 Hessenberg 阵。3 、 用 弦 截 法 求 方 程 x － sinx － 0.5=0 在 [1.4 ， 1.6] 之 间 的 一 个 近 似 根 ， 满 足|xk +1−xk|≤0. 01，计算过程保留 4 位小数。 4、用四阶龙格－库塔法求解初值问题{y'+ y=1¿¿¿¿取 h=0.2, 求 x=0.2, 0.4 时的数值解，要求写出由 h,xk,yk直接计算 yk+1 的迭代公式。计算过程保留 3 位小数。已知四阶龙格－库塔法斜率值公式为 四、证明题证明解线性方程组 AX=b 的雅可比迭代收敛，其中 A=[4 1 01 2 10 1 1]5、(20 分)给出数据点： （1）用 构造二次 Lagrange 插值多项式 ，并计算 的近似值 。（2）用 构造二次 Newton 插值多项式 ，并计算 的近似值 。（3）用事后误差估计方法估计 、 的误差。四、重点练习题参考答案（开卷考试只给出客观题）一、单线选择题1、 B 2、 C 3、 D二、填空题1、0.55×10－2. 2、maxk ≤i≤n|aik(k −1 )|3、－2.4 说明：本考试指导只适用于 201803 学期 6 月期末考试使用，包括正考和重修内容。指导中的章节知识点涵盖考试所有内容，给出的习题为考试类型题，习题答案要点只作为参考，详见课程讲义或笔记。如果在复习中有疑难问题请到课程答疑区提问。最后祝大家考试顺利！ 4.牛顿（Newton）迭代法 第三章 解线性方程组的数值解法1.高斯顺序消去法 2.高斯列主元素消去法对交换后的方程组做高斯顺序消元。3.矩阵的三角分解法我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。因此我们这个观点来考察 Gauss 消元法用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。平方根法解线性方程组 Householder 方法进行矩阵的 QR 分解