2011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题Ⅰ（每题 8 分，共 40 分）1．（8 分）定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么 2011☆130＝　 　．2．（8 分）从 1999 年到 2010 年的 12 年中，物价涨幅为 150%（即 1999 年用 100 元能购买的物品，2010 年要比原来多花 150 元才能购买）．若某个企业的一线员工这 12 年来工资都没有变，按购买力计算，相当于工资下降了　 　%．3．（8 分）如图中大圆的半径是 20 厘米，7 个小圆的半径都是 10 厘米．那么阴影图形的面积是　 平方厘米（π 取 3.14）．4．（8 分）某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有 12000 名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的 ，不是小学高年级组的占总人数的 ．那么小学中年级组参赛人数为　 　人．5．（8 分）如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？二、填空题Ⅱ（每题 10 分，共 50 分）6．（10 分）算式 1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2009!×2011﹣2010!×2012+2011!的计算结果是　．7．（10 分）春节临近．从 2011 年 1 月 17 日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．若每天离厂的工人人数相同，到 1 月 31 日，厂里还剩下工人 121 名，在这 15 天期间，统计工厂工人的工作量是 2011 个工作日（一人工作一天为 1 个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计），其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到 1 月 31 日，回家过年的工人共有　 　人．8．（10 分）有一个整数，它恰好是它的约数个数的 2011 倍，这个整数的最小值是　 　．9．（10 分）一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房：各层房号如图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们 5 人在花园中聊天： 赵说：“我家是第 3 个入住的，第 1 个入住的就住我对门．” 钱说：“只有我一家住在最高层．” 孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．” 李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．” 周说：“我家住在 106 号，104 号空着，108 号也空着．” 他们说的话全是真话，设第 1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数 ＝　 　．10．（10 分）6 支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了 2 场，那么符合条件的比赛安排共有　 　种． 三、填空题Ⅲ（每题 12 分，共 60 分）11．（12 分）0～9 可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B的不同取值共有　 　个．12．（12 分）甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有 100 米才到C；当丙走到C时，甲又往前走了108 米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多少米？13．（12 分）如图，大正方形被分成了面积相等的五块．若AB长为 3.6 厘米，则大正方形的面积为　平方厘米．14．（12 分）用 36 个 3×2×1 的实心小长方体拼成一个 6×6×6 的大正方体，在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到　 　个小长方体．15．（12 分）平面中有 15 个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这 15 个红点间最多连了　 　条线段．2011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ（每题 8 分，共 40 分）1．（8 分）定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么 2011☆130＝　 5322 　 ．【解答】解：根据分析可得，2011☆130＝130×10+2011×2＝1300+4022＝5322；故答案为：5322．2．（8 分）从 1999 年到 2010 年的 12 年中，物价涨幅为 150%（即 1999 年用 100 元能购买的物品，2010 年要比原来多花 150 元才能购买）．若某个企业的一线员工这 12 年来工资都没有变，按购买力计算，相当于工资下降了　 60 　 %．【解答】解：100+100×150%＝100+150＝250（元）1﹣100÷250＝1﹣40%＝60%答：按购买力计算，相当于工资下降了 60%．故答案为：60．3．（8 分）如图中大圆的半径是 20 厘米，7 个小圆的半径都是 10 厘米．那么阴影图形的面积是　 942 平方厘米（π 取 3.14）．【解答】解：观察图象可知阴影部分的面积＝7 个小圆面积﹣一个大圆面积＝7•π•102﹣π•202＝300π＝942，故答案为：942． 4．（8 分）某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有 12000 名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的 ，不是小学高年级组的占总人数的 ．那么小学中年级组参赛人数为　 5250 　 人．【解答】解：1﹣ ＝ ，﹣ ＝ ，12000× ＝5250（人）；答：小学中年级组参赛人数为 5250 人．故答案为：5250．5．（8 分）如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？【解答】解：由题意，除数的两个倍数分别是 2□□和 91□，如果 2□□是除数的 2 倍，根据余数为 130，除数为 131 以上，149 以下，这样 91□只能是除数的 7 倍，131×7＝917，那么第三个被除数为 91□或 81□，它等于除数的某个倍数减 1，只能是 7 倍减 1，即 916，被除数等于 131×277﹣1＝36286，经检验符合题意；如果 2□□是除数的 1 倍，则 91□是除数的 4 倍，可能是 912 或 916，除数可能是 228 或 229，第三个被除数为 91□或 81□，除以除数之后余数为 130，可能是 228×3+130＝814 或 229×3+130＝817，被除数相应为 228×143+130＝32734 或 229×143+130＝32877，但无论哪种，第一个差都是两位数，所以不符合题意．综上所述，被除数等于 36286，除数为 131，商为 276．二、填空题Ⅱ（每题 10 分，共 50 分）6．（10 分）算式 1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2009!×2011﹣2010!×2012+2011!的计算结果是　1 　 ．【解答】解：分组找规律：2009!×2011﹣2010!×2012+2011!＝2009!（2011﹣2010×2012+2010×2011）＝2009!那么 2007!×2009﹣2008!×2010+2009!＝2007!（2009﹣2008×2010+2008×2009）＝2007!由奇数项向前裂变抵消规律得原式＝2009!×2011﹣2010!×2012+2011!+…+5!×7﹣4!×6+3!×5﹣2!×4+1!×3＝1!＝1故答案为：17．（10 分）春节临近．从 2011 年 1 月 17 日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．若每天离厂的工人人数相同，到 1 月 31 日，厂里还剩下工人 121 名，在这 15 天期间，统计工厂工人的工作量是 2011 个工作日（一人工作一天为 1 个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计），其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到 1 月 31 日，回家过年的工人共有　 120 　 人．【解答】解：依题意可知：设每天回家的人数为x人，则 15 天共走 15x人，其中有 2 个周六周日共 4 天休息不工作．周末剩余人数为 9x（周六），8x（周日），2x（周 六），x（周日）．121×11+（3+4+5+6+7+10+11+12+13+14）x＝2011∴x＝8，15x＝120（人）故答案为：1208．（10 分）有一个整数，它恰好是它的约数个数的 2011 倍，这个整数的最小值是　 16088 　 ．【解答】解：用列举法因为 2011×8＝16088，所以，满足条件的最小整数为 16088，故答案为 16088．9．（10 分）一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房：各层房号如图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们 5 人在花园中聊天： 赵说：“我家是第 3 个入住的，第 1 个入住的就住我对门．” 钱说：“只有我一家住在最高层．” 孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．” 李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．” 周说：“我家住在 106 号，104 号空着，108 号也空着．” 他们说的话全是真话，设第 1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数 ＝　 69573 　 ．【解答】解：根据分析，因为 104 和 108 都空着，而孙的楼上楼下都有人了，所以孙住在左侧，只有钱一家住在最高层，说明剩余 4 人住在 101，102，103，105，106，107，里面的 6 家，全空着的一层只能是第一层或第二层，这样才能使得孙和楼上楼下都有人．如果全空着的是第一层，则李住在第二层的 103，李氏最后入住的，所以孙住在 107，且 105 和 109 都在这之前有人住了，赵是第三个入住的，所以孙一定是第四个入住的，根据钱的话，钱住在 109，有对门的是 105 和 106，周住在 106，所以赵住在 105，而且周的第一个入住的，故答案是：69573．10．（10 分）6 支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了 2 场，那么符合条件的比赛安排共有　 70 　 种．【解答】解：6 支球队分 2 组每组 3 支，这 3 支球队间相互比赛：分组方法：（6×5×4）÷（3×2×1）÷2＝10（选 3 支球队和剩 3 支球队重复，所以除 2）；6 支球队围成圈，相邻的球队之间比赛：方法：5×4×3×2×1÷2＝60 （顺时针与逆时针重复，所以除 2），所以符合条件的比赛安排共有 10+60＝70 种．答：符合条件的比赛安排共有 70 种．故答案为：70．三、填空题Ⅲ（每题 12 分，共 60 分）11．（12 分）0～9 可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B的不同取值共有　 384 　 个．【解答】解：依题意可知：六位数字的首位一定是 1，根据弃九法后 5 位都是 7．所以这两个五位数的首位之和是 17．后四 个数字和为 7 的数字两两配对．把和为 7 的数字两两配对，首位是 9 的那个五位数有 8×6×4×2＝384（种）．根据不同情况下两个五位数的差不同，差小积大，这 384 个乘积也各不相同．故答案为：384．12．（12 分）甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有 100 米才到C；当丙走到C时，甲又往前走了108 米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多少米？【解答】解：甲从A走到C时，丙走了 100÷ ＝1250（米），AC的距离为 1250× ＝1350（米），甲乙速度之和是丙的速度的 3 倍，则乙的速度是丙的（3﹣ ）倍，BC的距离为 1250×（3﹣ ）＝2400（米），所以AB的距离为 1350+2400＝3750（米）答：A、B两地间的路程是 3750 米．13．（12 分）如图，大正方形被分成了面积相等的五块．若AB长为 3.6 厘米，则大正方形的面积为　1156 　 平方厘米．【解答】解：根据分析，设正方形边长为一个单位，如图，因为正方形分成面积相等的五份，故每一份的面积都等于 ，故AG＝ ，D到FH的距离＝C到EF的距离＝ ，因为A到左边EG的距离等于A到上边EF的距离的 ，所以C到EG的距离也等于C到EF的距离的 ，即 ；C到FH的距离为 1﹣ ＝ ，类似，D到右边FH的距离为 ，因为C到EF的距离：C到右边FH的距离＝ ＝10：21，故D到EF的距离也等于D到FH的距离的 ，即： × ＝ ，故D到GH的距离＝1﹣ ＝；又三角形BDH的面积＝ ，故BH＝ ＝ ，AB＝1﹣ ﹣ ＝ ，即 3.6 厘米，故正方形的边长＝3.6÷ ＝34（厘米），正方形的面积＝34×34＝1156 平方厘米． 故答案是：1156．14．（12 分）用 36 个 3×2×1 的实心小长方体拼成一个 6×6×6 的大正方体，在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到　 31 　 个小长方体．【解答】解：如图，为了从外面看到的个数最多，需要使外面看到的长方形尽可能“深入”正方形里面，结果如下：共 6×3+3×4+3×1+1＝31（个）．故答案为：31．15．（12 分）平面中有 15 个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这 15 个红点间最多连了　 85 　 条线段．【解答】解：将 15 个点分为 5 组，每组分别有 1，2，3，4，5 个点，（1×14+2×13+3×12+4×11+5×10）÷2＝170÷2＝85（条）答：这 15 个红点间最多连了 85 条线段．故答案为：85．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:07:44；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800