2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷(五年级)

发布时间:2025-03-22 09:03:50浏览次数:37
2013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷(五年级)一、填空题(共 3 小题,每小题 8 分,满分 24 分)1.(8 分)算式 999999999﹣88888888+7777777﹣666666+55555﹣4444+333﹣22+1 的计算结果的各位数字之和是   .2.(8 分)如图竖式中,使得乘积最小的两个乘数和是   .3.(8 分)把 1﹣8 这 8 个数字放到一个正方体的八个顶点处,然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数,如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数,那么另外四个中点处所写的数中,有   不是整数.二、填空题(共 3 小题,每小题 12 分,满分 36 分)4.(12 分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边AB上有一点D,已知CD=5,BD比AD长 2,那么三角形ABC的面积是   .5.(12 分)如图,7×7 的表格中,每格填入一个数字,使得相同的数字所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边),现在已经给出了 1,2,3,4,5 各两个,那么,表格中所有数的和是   .1 25 3 3 421546.(12 分)甲、乙两人从A地步行去B地.乙早上 6:00 出发,匀速步行前往;甲早上 8:00 才出发,也是匀速步行.甲的速度是乙的速度的 2.5 倍,但甲每行进半小时都需要休息半小时.甲出发后经过   分钟才能追上乙.三、填空题(每小题 15 分,满分 75 分)7.(15 分)五支足球队伍比赛,每两个队伍之间比赛一场:胜者得 3 分,负者得 0 分,平局各得 1 分,比赛完毕后,发现各队得分均不超过 9 分,且恰有两只队伍同分,设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E(有两个字母表示的数是相同的),若 恰好是 15 的倍数,那么此次比赛中共有多少场平局?8.(15 分)由 2013 个边长为 1 的小正三角形拼成的四边形中,周长的最小值是   .9.(15 分)如图,正六边形ABCDEF的面积为 1222,K、M、N分别AB,CD,EF的中点,那么三角形PQR的边长是   . 10.(15 分)一个自然数恰有 9 个互不相同的约数,其中 3 个约数A,B,C满足:①A+B+C=79②A×A=B×C那么,这个自然数是   .11.(15 分)有一个奇怪的四位数(首位不为 0),它是完全平方数,它的数字和也是完全平方数,用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数,并且它的约数个数还恰好等于它的数字和,那当然也是完全平方数,如果这个四位数的各位数字互不相同,那么这个四位数是多少?2013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷(五年级)参考答案与试题解析一、填空题(共 3 小题,每小题 8 分,满分 24 分)1.(8 分)算式 999999999﹣88888888+7777777﹣666666+55555﹣4444+333﹣22+1 的计算结果的各位数字之和是  45   .【解答】解:由于计算过程没有出现进位借位,故结果各位数字之和就是式中各数的各位数字之和相加减,原式=9×9﹣8×8+7×7﹣6×6+5×5﹣4×4+3×3﹣2×2+1×1(mod10)=(9+8)(9﹣8)+(7+6)(7﹣6)+…+(3+2)(3﹣2)+1=9+8+7+6+5+4+3+2+1=45,故答案为 45.2.(8 分)如图竖式中,使得乘积最小的两个乘数和是  160   .【解答】解:(1)积的最高位是 2,可以得出前面两次算出的积的最高位都是 1,再由此推出第一个乘数的第一位是 1,最后一位是 3;(2)根据积的个位是 1,可以知道两个乘数的个位数字的积的末尾是 1,结合上第一个乘数的个位是 3,就能确定第二个乘数的个位是 7;(3)因为第一个乘数乘第二个乘数的十位数字得到的是一百多,也就能确定第二个乘数的十位数字是 1;(4)根据第一个乘数乘 7 的积是一千零几,可以推出第一个乘数的十位数字是 4.故这题中两个乘数是 143 和 17,第一次算出的积是 1001,第二次的积是 143,最后的积是2431.因此这两个乘数的和是 143+17=160.3.(8 分)把 1﹣8 这 8 个数字放到一个正方体的八个顶点处,然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数,如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数,那么另外四个中点处所写的数中,有  4 个  不是整数.【解答】解:奇偶性问题 1~8 八个数 4 奇 4 偶,上下两组各 4 个数同时满足相邻和为偶数,唯一情况为上下另组数分别同奇同偶.即上面 4 个为奇数,下面 4 个为偶数或者上面 4 个为偶数,下面4 个为奇数.所以上下 4 组数和都是奇数,即它们的平均数都不是整数.所以有 4 个不是整数.故答案为 4 个. 二、填空题(共 3 小题,每小题 12 分,满分 36 分)4.(12 分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边AB上有一点D,已知CD=5,BD比AD长 2,那么三角形ABC的面积是  24   .【解答】解:作CE⊥AB于E.∵CA=CB,CE⊥AB,∴CE=AE=BE,∵BD﹣AD=2,∴BE+DE﹣(AE﹣DE)=2,∴DE=1,在 Rt△CDE中,CE2=CD2﹣DE2=24,∴S△ABC= •AB•CE=CE2=24,故答案为 245.(12 分)如图,7×7 的表格中,每格填入一个数字,使得相同的数字所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边),现在已经给出了 1,2,3,4,5 各两个,那么,表格中所有数的和是  150   .1 25 3 3 42154【解答】解:首先理解题目,找出唯一填法的空格,例如第一行第一个 1,与其唯一相邻的空白空格必须为 1,以此类推,第二行第一个 5 也具有唯一相邻空格.逆推得出唯一图形.相加求和为150. 故答案为 150.6.(12 分)甲、乙两人从A地步行去B地.乙早上 6:00 出发,匀速步行前往;甲早上 8:00 才出发,也是匀速步行.甲的速度是乙的速度的 2.5 倍,但甲每行进半小时都需要休息半小时.甲出发后经过  330   分钟才能追上乙.【解答】解:法一:假设甲一小时走 5 米,乙一小时走 2 米,列表如下:时间 甲(米)乙(米)时间 甲(米)乙(米)0 小时 0 4 3 小时 7.5 100.5 小时2.5 5 3.5 小时10 111 小时 2.5 6 4 小时 10 121.5 小时5 7 4.5 小时12.5 132 小时 5 8 5 小时 12.5 142.5 小时7.5 9 5.5 小时15 15观察得 5.5 小时恰好追上(如果这时间超过了乙,就要用具体追及公式计算追及时间)法二:也可以设甲的速度为每小时 10a(甲要休息,实际每小时走 5a),乙的速度为每小时4a,因此要追 8a.半小时内最多追 3a,可以先从要追的 8a中扣除 3a,因为在此之前不可能追上(之前的距离差不止 3a).之后再开始按每半小时列出,若不够半小时的话,用追及公式算.前面追的 5a,相当于每小时追a,可以用 5a÷(5a﹣4a)=5(小时)计算.之后,甲半小时再走 2a,乙再走 5a,加上还差的 3a,正好追上.因此,要追 5.5 小时,即 330 分钟. 故答案为:330.三、填空题(每小题 15 分,满分 75 分)7.(15 分)五支足球队伍比赛,每两个队伍之间比赛一场:胜者得 3 分,负者得 0 分,平局各得 1 分,比赛完毕后,发现各队得分均不超过 9 分,且恰有两只队伍同分,设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E(有两个字母表示的数是相同的),若 恰好是 15 的倍数,那么此次比赛中共有多少场平局?【解答】解:5×(5﹣1)÷2=10(场)比赛一共 10 场,总分在 20 到 30 分之间.五位数 恰是 15 的倍数,利用整除性可知,E可为 0 或者 5,考虑到E最小,如果,总分最小为 8+7+6+5+5=31 分,不成立,所以,即第五名 4 场全负积 0 分. 第五名负四场,则平局最多为 6 场,总分最少为 24 分.又考虑到分数和为 3 的倍数,总分可能情况为 30,27,24.对三种情况分别讨论:(1)总分 30 分:即无平局情况,那么前四名队伍得分只可能为 9,6,3 分.不能在只有两个重复的情况下凑出30.所以总分 30 分情况不存在.(2)总分 27 分:经测试,存在,满足题目分数要求,且四个队 7 场胜 3 场负,恰好满足第五队的 4 场负,所以此为一解,比赛 3 场平局.(3)总分 24 分:在 24 分情况下,只有前四名只能各胜 1 场平 2 场,但不满足只有两队得分相同.所以总分 24 分情况不存在.综上,唯一存在总分 27 分情况下,比赛中共有 3 场平局.8.(15 分)由 2013 个边长为 1 的小正三角形拼成的四边形中,周长的最小值是  127   .【解答】解:由题意,正三角形组成两种四边形:平行四边形和梯形,平行四边形要求偶数个三角形,2013 是奇数,只能拼成梯形,而且是等腰梯形.设梯形的下底边长为a、上底边长为b,则腰的长度为(a﹣b),所以,周长为(a+b)+2(a﹣b). 因为a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=2013=3×11×61,积一定差小和小,所以:(a+b)×2(a﹣b)=2×3×11×61=61×66,当a+b=61、2(a﹣b)=66 时,差小,和就小,最小周长为:66+61=127.(a=47,b=14 可以不必求出来) 故答案为 127.9.(15 分)如图,正六边形ABCDEF的面积为 1222,K、M、N分别AB,CD,EF的中点,那么三角形PQR的边长是  141   .【解答】解:如图延长BA和EF交于点O,并连接AE,由正六边形的性质,我们可知SABCM=SCDEN=SEFAK= 六边形面积,根据容斥原理,重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积,且因为对称,△AKP,△CMQ,△ENR三个三角形是一样的,有KP=RN,AP=ER,RP=PQ,= ,则 = , = ,由鸟头定理可知道 3×KP×AP=RP×PQ,综上可得:PR=2KP=RE,那么由三角形AEK是六边形面积的 ,且S△APK=S△AKE,S△APK=SABCDEF=47,所以阴影面积为 47×3=141故答案为 141. 10.(15 分)一个自然数恰有 9 个互不相同的约数,其中 3 个约数A,B,C满足:①A+B+C=79②A×A=B×C那么,这个自然数是  441   .【解答】解:一个自然数N恰有 9 个互不相同的约数,则可得N=x2y2,或者N=x8,(1)当N=x8,则九个约数分别是:1,x,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,其中有 3 个约数A、B、C且满足A×A=B×C,不可能.(2)当N=x2y2,则九个约数分别是:1,x,y,x2,xy,y2,x2y,xy2,x2y2,其中有 3 个约数A、B、C且满足A×A=B×C,①A=x,B=1,C=x2,则x+1+x2=79,无解.②A=xy,B=1,C=x2y2,则xy+1+x2y2=79,无解. ③A=xy,B=x,C=xy2,则xy+x+xy2=79,无解.④A=xy,B=x2,C=y2,则xy+x2+y2=79,解得: ,则N=32×72=441.⑤A=x2y,B=x2y2,C=x2,则x2y+x2y2+x2=79,无解.故答案为 441.11.(15 分)有一个奇怪的四位数(首位不为 0),它是完全平方数,它的数字和也是完全平方数,用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数,并且它的约数个数还恰好等于它的数字和,那当然也是完全平方数,如果这个四位数的各位数字互不相同,那么这个四位数是多少?【解答】解:,有 25 个约数的末两位为 25(这就是说,这个数含有质因数 5)平方数,一定形如a4×b4或c4(显然太大,放弃),至少为 24×54=10000,不是四位数,所以这个平方数数字和为 9(这就是说,这个数含有质因数 3),含有 9 个约数,那么形如a2×b2或c8,32×172=2601答:这个四位数是 2601.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/5/5 18:00:53;用户:小学奥数;邮箱:pfpxxx02@xyh.com;学号:20913800
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