2013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）一、填空题（共 3 小题，每小题 8 分，满分 24 分）1．（8 分）算式 999999999﹣88888888+7777777﹣666666+55555﹣4444+333﹣22+1 的计算结果的各位数字之和是　 　．2．（8 分）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是　 　．3．（8 分）把 1﹣8 这 8 个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有　 　不是整数．二、填空题（共 3 小题，每小题 12 分，满分 36 分）4．（12 分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一点D，已知CD＝5，BD比AD长 2，那么三角形ABC的面积是　 　．5．（12 分）如图，7×7 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4，5 各两个，那么，表格中所有数的和是　 　．1 25 3 3 421546．（12 分）甲、乙两人从A地步行去B地．乙早上 6：00 出发，匀速步行前往；甲早上 8：00 才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的 2.5 倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过　 　分钟才能追上乙．三、填空题（每小题 15 分，满分 75 分）7．（15 分）五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得 3 分，负者得 0 分，平局各得 1 分，比赛完毕后，发现各队得分均不超过 9 分，且恰有两只队伍同分，设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的），若 恰好是 15 的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？8．（15 分）由 2013 个边长为 1 的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是　 　．9．（15 分）如图，正六边形ABCDEF的面积为 1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是　 　． 10．（15 分）一个自然数恰有 9 个互不相同的约数，其中 3 个约数A，B，C满足：①A+B+C＝79②A×A＝B×C那么，这个自然数是　 　．11．（15 分）有一个奇怪的四位数（首位不为 0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？2013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 小题，每小题 8 分，满分 24 分）1．（8 分）算式 999999999﹣88888888+7777777﹣666666+55555﹣4444+333﹣22+1 的计算结果的各位数字之和是　 45 　 ．【解答】解：由于计算过程没有出现进位借位，故结果各位数字之和就是式中各数的各位数字之和相加减，原式＝9×9﹣8×8+7×7﹣6×6+5×5﹣4×4+3×3﹣2×2+1×1（mod10）＝（9+8）（9﹣8）+（7+6）（7﹣6）+…+（3+2）（3﹣2）+1＝9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45，故答案为 45．2．（8 分）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是　 160 　 ．【解答】解：（1）积的最高位是 2，可以得出前面两次算出的积的最高位都是 1，再由此推出第一个乘数的第一位是 1，最后一位是 3；（2）根据积的个位是 1，可以知道两个乘数的个位数字的积的末尾是 1，结合上第一个乘数的个位是 3，就能确定第二个乘数的个位是 7；（3）因为第一个乘数乘第二个乘数的十位数字得到的是一百多，也就能确定第二个乘数的十位数字是 1；（4）根据第一个乘数乘 7 的积是一千零几，可以推出第一个乘数的十位数字是 4．故这题中两个乘数是 143 和 17，第一次算出的积是 1001，第二次的积是 143，最后的积是2431．因此这两个乘数的和是 143+17＝160．3．（8 分）把 1﹣8 这 8 个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有　 4 个　 不是整数．【解答】解：奇偶性问题 1～8 八个数 4 奇 4 偶，上下两组各 4 个数同时满足相邻和为偶数，唯一情况为上下另组数分别同奇同偶．即上面 4 个为奇数，下面 4 个为偶数或者上面 4 个为偶数，下面4 个为奇数．所以上下 4 组数和都是奇数，即它们的平均数都不是整数．所以有 4 个不是整数．故答案为 4 个． 二、填空题（共 3 小题，每小题 12 分，满分 36 分）4．（12 分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一点D，已知CD＝5，BD比AD长 2，那么三角形ABC的面积是　 24 　 ．【解答】解：作CE⊥AB于E．∵CA＝CB，CE⊥AB，∴CE＝AE＝BE，∵BD﹣AD＝2，∴BE+DE﹣（AE﹣DE）＝2，∴DE＝1，在 Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2＝24，∴S△ABC＝ •AB•CE＝CE2＝24，故答案为 245．（12 分）如图，7×7 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4，5 各两个，那么，表格中所有数的和是　 150 　 ．1 25 3 3 42154【解答】解：首先理解题目，找出唯一填法的空格，例如第一行第一个 1，与其唯一相邻的空白空格必须为 1，以此类推，第二行第一个 5 也具有唯一相邻空格．逆推得出唯一图形．相加求和为150． 故答案为 150．6．（12 分）甲、乙两人从A地步行去B地．乙早上 6：00 出发，匀速步行前往；甲早上 8：00 才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的 2.5 倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过　 330 　 分钟才能追上乙．【解答】解：法一：假设甲一小时走 5 米，乙一小时走 2 米，列表如下：时间 甲（米）乙（米）时间 甲（米）乙（米）0 小时 0 4 3 小时 7.5 100.5 小时2.5 5 3.5 小时10 111 小时 2.5 6 4 小时 10 121.5 小时5 7 4.5 小时12.5 132 小时 5 8 5 小时 12.5 142.5 小时7.5 9 5.5 小时15 15观察得 5.5 小时恰好追上（如果这时间超过了乙，就要用具体追及公式计算追及时间）法二：也可以设甲的速度为每小时 10a（甲要休息，实际每小时走 5a），乙的速度为每小时4a，因此要追 8a．半小时内最多追 3a，可以先从要追的 8a中扣除 3a，因为在此之前不可能追上（之前的距离差不止 3a）．之后再开始按每半小时列出，若不够半小时的话，用追及公式算．前面追的 5a，相当于每小时追a，可以用 5a÷（5a﹣4a）＝5（小时）计算．之后，甲半小时再走 2a，乙再走 5a，加上还差的 3a，正好追上．因此，要追 5.5 小时，即 330 分钟． 故答案为：330．三、填空题（每小题 15 分，满分 75 分）7．（15 分）五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得 3 分，负者得 0 分，平局各得 1 分，比赛完毕后，发现各队得分均不超过 9 分，且恰有两只队伍同分，设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的），若 恰好是 15 的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？【解答】解：5×（5﹣1）÷2＝10（场）比赛一共 10 场，总分在 20 到 30 分之间．五位数 恰是 15 的倍数，利用整除性可知，E可为 0 或者 5，考虑到E最小，如果，总分最小为 8+7+6+5+5＝31 分，不成立，所以，即第五名 4 场全负积 0 分． 第五名负四场，则平局最多为 6 场，总分最少为 24 分．又考虑到分数和为 3 的倍数，总分可能情况为 30，27，24．对三种情况分别讨论：（1）总分 30 分：即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为 9，6，3 分．不能在只有两个重复的情况下凑出30．所以总分 30 分情况不存在．（2）总分 27 分：经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队 7 场胜 3 场负，恰好满足第五队的 4 场负，所以此为一解，比赛 3 场平局．（3）总分 24 分：在 24 分情况下，只有前四名只能各胜 1 场平 2 场，但不满足只有两队得分相同．所以总分 24 分情况不存在．综上，唯一存在总分 27 分情况下，比赛中共有 3 场平局．8．（15 分）由 2013 个边长为 1 的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是　 127 　 ．【解答】解：由题意，正三角形组成两种四边形：平行四边形和梯形，平行四边形要求偶数个三角形，2013 是奇数，只能拼成梯形，而且是等腰梯形．设梯形的下底边长为a、上底边长为b，则腰的长度为（a﹣b），所以，周长为（a+b）+2（a﹣b）． 因为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2013＝3×11×61，积一定差小和小，所以：（a+b）×2（a﹣b）＝2×3×11×61＝61×66，当a+b＝61、2（a﹣b）＝66 时，差小，和就小，最小周长为：66+61＝127．（a＝47，b＝14 可以不必求出来） 故答案为 127．9．（15 分）如图，正六边形ABCDEF的面积为 1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是　 141 　 ．【解答】解：如图延长BA和EF交于点O，并连接AE，由正六边形的性质，我们可知SABCM＝SCDEN＝SEFAK＝ 六边形面积，根据容斥原理，重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积，且因为对称，△AKP，△CMQ，△ENR三个三角形是一样的，有KP＝RN，AP＝ER，RP＝PQ，＝ ，则 ＝ ， ＝ ，由鸟头定理可知道 3×KP×AP＝RP×PQ，综上可得：PR＝2KP＝RE，那么由三角形AEK是六边形面积的 ，且S△APK＝S△AKE，S△APK＝SABCDEF＝47，所以阴影面积为 47×3＝141故答案为 141． 10．（15 分）一个自然数恰有 9 个互不相同的约数，其中 3 个约数A，B，C满足：①A+B+C＝79②A×A＝B×C那么，这个自然数是　 441 　 ．【解答】解：一个自然数N恰有 9 个互不相同的约数，则可得N＝x2y2，或者N＝x8，（1）当N＝x8，则九个约数分别是：1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，其中有 3 个约数A、B、C且满足A×A＝B×C，不可能．（2）当N＝x2y2，则九个约数分别是：1，x，y，x2，xy，y2，x2y，xy2，x2y2，其中有 3 个约数A、B、C且满足A×A＝B×C，①A＝x，B＝1，C＝x2，则x+1+x2＝79，无解．②A＝xy，B＝1，C＝x2y2，则xy+1+x2y2＝79，无解． ③A＝xy，B＝x，C＝xy2，则xy+x+xy2＝79，无解．④A＝xy，B＝x2，C＝y2，则xy+x2+y2＝79，解得： ，则N＝32×72＝441．⑤A＝x2y，B＝x2y2，C＝x2，则x2y+x2y2+x2＝79，无解．故答案为 441．11．（15 分）有一个奇怪的四位数（首位不为 0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？【解答】解：，有 25 个约数的末两位为 25（这就是说，这个数含有质因数 5）平方数，一定形如a4×b4或c4（显然太大，放弃），至少为 24×54＝10000，不是四位数，所以这个平方数数字和为 9（这就是说，这个数含有质因数 3），含有 9 个约数，那么形如a2×b2或c8，32×172＝2601答：这个四位数是 2601．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:00:53；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800