2012 中考数学试题及答案分类汇编：三角形2．选择题1. （天津 3 分）sin45°的值等于（A) (B) (C) (D) 1【答案】B。【考点】特殊角三角函数。【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。2.（河北省 3 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC 上，将△ABC 沿 DE折叠，使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为 A、 B、2 C、3 D、4【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质。【分析】∵△ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A′处，∴∠EDA=∠EDA′=90°，AE=A′E，∴△ACB∽△AED。 ∴ 。又∵A′为 CE 的中点，∴AE=A′E=A′C。∴ 。∴ED=2。故选 B。3.（山西省 2 分）如图，△ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 G、F 在 BC 边上，四边形 DEFG 是正方形．若 DE=2cm，则 AC 的长 为 A． cm B．4cm C． cm D． cm【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质， 勾股定理。【分析】根据三角形的中位线定理可得出 BC=4，由 AB=AC，可证明 BG=CF=1，由勾股定理可求出 CE= ，即可得出 AC=2 。故选 D。4.（内蒙古呼和浩特 3 分）如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm，那么它的周长是 A、9cm B、12cm C、15cm 或 12cm D、15cm【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知当 6 为腰，3 为底时，6﹣3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为 6+6+3=15；当 3 为腰，6 为底时，3+3=6，不能构成三角形。故选 D。5.（内蒙古呼伦贝尔 3 分）如图，△ACB≌△A1CB1, ∠BCB1=30°，则∠ACA1的度数为 A． 20° B. 30° C. 35° D. 40°【答案】B。【考点】全等三角形的性质。【分析】根据全等三角形对应角相等的性质，得 ∠ACB=∠A1CB1，所以∠ACB－∠BCA1=∠A1CB1－∠BCA1，即 ∠ACA1=∠BCB1=35°。故选 B。3．填空题1. （山西省 3 分）如图，已知 AB=12；AB⊥BC 于 B，AB⊥AD 于A，AD=5，BC=10．点 E 是 CD 的中点，则 AE 的长是 ▲ 。 ADB CEO【答案】 。【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点 E 作 EG⊥AB，垂足为点 G，AB 与 DC 交于点 F，则 DA∥GE∥BC。 ∵点 E 是 CD 的中点，AB=12，∴根据平行的性质，得 AG=6。 ∵DA∥BC，∴△ADF∽△BCF。∴ 。 ∵AB=12，即 BF=12－AF。∴ 。又∵AD=5，BC=10，∴ ，解得，AF=4，FB=8。FG=6－4=2。∵GE∥BC，∴△FGE∽△FBC。∴ ，即 ，解得，GE= 。∴在 Rt△AGE 中，由勾股定理，得 AE= 。2.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰 3 分）如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠，点 C 落在 C′处，连接 BC′，那么 BC′的长为　 ▲ ．【答案】3。【考点】翻折变换（折叠问题），轴对称的性质，平角定义， 等边三角形的判定与性质。【分析】根据题意：BC=6，D 为 BC 的中点；故 BD=DC=3。 由轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，∴DC=DC′=2，∠BDC′=60°。故△BDC′为等边三角形，故 BC′=3。3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰 3 分）如图，EF 是△ABC 的中位线，将 △AEF 沿 AB方向平移到△EBD 的位置，点 D 在 BC 上，已知△AEF 的面积为 5，则图中 阴影部分的面积为　 ▲ ．【答案】10。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平移的性质。【分析】∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC。∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4。∵△AEF 的面积为 5，∴S△ABC=20。∵将△AEF 沿 AB 方向平移到△EBD 的位置，∴S△EBD=5。∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10。4.（内蒙古包头 3 分）如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：① BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　 ▲ 　 ．【答案】①②。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质， 三角形的内角和定理，相似三角形的判定。【分析】∵△ABD、△AEC 都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°。∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°。∴∠DAC=∠BAE。∴△DAC≌△BAE（SAS）。∴BE=DC。【①正确】DFEABC ∴∠ADC=∠ABE。∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=60°。【②正确】∵由△DAC≌△BAE 和 AB≠AC，得∠ADC≠∠AEB，∴∠ODB≠∠OEC。又∵∠ODB＜60°，∠OCE＞60°，∴∠ODB≠∠OCE。而∠DOB=∠EOC，∴△BOD 和△COE 不相似。【③错误】5.（内蒙古呼和浩特 3 分）如图所示，在梯形 ABCD 中， AD∥BC，CE是∠BCD 的平分线，且 CE⊥AB，E 为垂足，BE=2AE，若四边形 AECD 的面积为 1，则梯形 ABCD 的面积为　 ▲ 　 ．【答案】 。【考点】角平分线和垂直的定义，全等三角形的判定和性 质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面 积，梯形的面积，一元一次方程的应用。【分析】延长 BA 与 CD，交于 F，∵CE 是∠BCD 的平分线，∴∠BCE=∠FCE。∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠FEC=90°。∵EC=EC，∴△BCE≌△FCE（ASA）。∴BE=EF。∵BE=2AE，∴BF=4AF。又∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC。∴ 。设 S△FAD=x，S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，∴S四边形 AECD=7x。∵四边形 AECD 的面积为 1，∴7x=1，∴x= 。∴梯形 ABCD 的面积为：S△BCE+S四边形 AECD=15x= 。6.（内蒙古乌兰察布 4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 900, AB = 8cm ,BC = 6cm , 分别以 A,C 为圆心，以 的长为半径作圆, 将 Rt△ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 ▲ cm2（结果保留 π）【答案】 。【考点】直角三角形两锐角的关系，勾股定理，扇形的面积。【分析】由题意可知，阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。 三角形面积为 。 由勾股定理，得 AC=10，圆半径为 5。 ∵在 Rt△ABC 中，∠ABC = 900,∴∠A＋∠C =900。 ∴两个扇形的面积的和为半径 5，圆心角 900的扇形的面积，即四分之一圆的面积 。 ∴阴影部分的面积为 cm2。7.（内蒙古乌兰察布 4 分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的光线 AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 80和 100，大灯 A 与地面离地面的距离为 lm 则该车大灯照亮地面的宽度 BC 是 ▲ m .（不考虑其它因素） 【答案】 。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D。由锐角三角函数定义，得 BC＝BD－CD＝ 。4．解答题1.（北京 5 分）如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D。 在△ABC 和△FDC 中 ， ∴△ABC≌△FDC（ASA）。 ∴AE=FC．【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】利用平行线同位角相等的性质可得∠ABE=∠D，由已知用 ASA 判定△ABC≌△FDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得 AE=FC。2.（北京 5 分）如图，在△ABC，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且∠CBF= ∠CAB．（1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线；（2）若 AB=5，sin∠CBF= ，求 BC 和 BF 的长．【答案】解：（1）证明：连接 AE。∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°。 ∴∠1+∠2=90°。 ∵AB=AC，∴∠1= ∠CAB。 ∵∠CBF= ∠CAB，∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。 即∠ABF=90°。 ∵AB 是⊙O 的直径，∴直线 BF 是⊙O 的切线。 （2）过点 C 作 CG⊥AB 于点 G。 ∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，∴sin∠1= 。 ∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1= 。 ∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2 。 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE=2 ，∴sin∠2= ，cos∠2= 。 在 Rt△CBG 中，可求得 GC=4，GB=2，∴AG=3。 ∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA。∴ 。∴ 。【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°。 （2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用对应边的比求得线段的长即可。3.（北京 5 分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD 相交于点 O．若梯形 ABCD 的面积为 1，试求以 AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的三角形的面积． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的△BDE 即是以 AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的三角形（如图 2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，△ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF．（1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD，BE，CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为 1，则以 AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面 积等于 ．【答案】解：△BDE 的面积等于 1。 （1）如图．以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP。 （2）连接 EF，PE，则△CFP 可公割成△PEF，△PCE 和△EFC。 ∵四边形 BEPF 是平行四边形，∴△PEF≌△BFE。 又∵E，F 是 AC，AB 的中点，∴△BFE 的底和高都是△ABC 的一半。 ∴△BFE 的面积是△ABC 的 ，即△PEF 的面积是△ABC 的 。 同理，△PCE 和△EFC 的面积都是△ABC 的 。 ∴以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 。【考点】平移的性质，三角形的面积，尺规作图。【分析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB 与△ADC 的面积相等，即△BDE 的面积等于梯形 ABCD 的面积。 （1）分别过点 F、C 作 BE、AD 的平行线交于点 P，得到的△CFP 即是以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形。 （2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等。结合图形知以 AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC 的面积的 。4.（天津 8 分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出 发点 A 与望海楼 B 的距离为 300 m．在一处测得望海校 B 位于 A 的北偏东 30°方向． 游轮沿正北方向行驶一段时间后到达 C．在 C 处测得望海楼 B 位于 C 的北偏东 60°方 向．求此时游轮与望梅楼之间的距离 BC ( 取 l.73．结果保留整数)．【答案】解：根据题意，AB=10，如图，过点 B 作 BD⊥AC 交 AC 的延长线 于点 D。 在 Rt△ADB 中，∵ ∠BAD=300，∴。 在 Rt△CDB 中， 。 答：此时游轮与望梅楼之间的距离约为 173 m。【考点】解直角三角形的应用。【分析】要求 BC 的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过 点 B 作BD⊥AC 交 AC 的延长线于点 D，形成两个直角三角形，利用三角 函数解直角三角形先求 BD 再求出 BC。5.（山西省 7 分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲 测量公园内一棵树 DE 的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60°．已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度为 (即 AB：BC= )，且 B、C、E 三点在同一条盲线上。 请根据以上杀件求出树 DE 的高度(测倾器的高度忽略不计)．【答案】解：如图，过点 A 作 AF⊥DE 于 F，则四边形 ABEF 为矩形。∴AF=BE，EF=AB=2。设 DE=x，在 Rt△CDE 中，CE= ，在 Rt△ABC 中，∵ AB：BC= ，AB=2，∴BC= 。在 Rt△AFD 中，DF=DE－EF=x－2，∴AF= 。 ∵AF=BE=BC+CE，∴ ，解得 x=6。答：树 DE 的高度为 6 米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角、坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值。。【分析】通过构造直角三角形分别表示出 BC 和 AF，得到有关的方程求解即可。6.（山西省 9 分）如图（1），Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D．AF 平 分∠CAB，交 CD于点 E，交 CB 于点 F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE 沿 AB 向 右平移到△A′D′E′的位置，使点 E′落在 BC 边上， 其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论． 【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠CFA=90°－∠CAF。 ∵CD⊥AB，∴∠CEF=∠AED=90°－∠EAD。 又∵AF 平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD。∴∠CFA=∠CEF。∴CE=CF。 （2）BE′与 CF 相等。证明如下：如图，过点 E 作 EG⊥AC 于 G。又∵AF 平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG。 由平移的性质可知：D’E’=DE，∴D’E’ =GE。 ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°。 ∵CD⊥AB 于D，∴∠B+∠DCB=90°。∴∠ACD=∠B。在 Rt△CEG 与 Rt△BE’D’中，∵∠GCE=∠B，∠CGE=∠BD’E’，CE=D’E’，∴△CEG≌△BE’D’（AAS）。∴CE=BE’。 由（1）CE=CF，得 CF=BE’。【考点】三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）要证 CE=CF，根据等腰三角形等角对等边的判定，只要∠CFA=∠CEF 即可。由已知，知∠CFA 与∠CAF 互余，∠CEF=∠AED 与∠EAD 互余，而 AF 平分∠CAB。从而∠CAF=∠EAD。得证。 （2）由角的等量关系转换和平移的性质，根据 AAS 证得△CEG≌△BE’D’，即可根据全等三角形的对应边相等的性质得到 CE=BE’。由（1）的结论即可得到 CF=BE’。7.（内蒙古呼和浩特 6 分）在一次课外实践活动中，同 学们要测量某公园人工湖两侧 A，B 两个凉亭之间的距离．现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算 A，B 两个凉亭之 间的距离．【答案】解：如图，作 CD⊥AB 于点 D．在 Rt△CDA 中，∵AC=30，∠CAD=180°－∠CAB=180°－120°=60°，∴CD=AC•sin∠CAD=30•sin60°=15 ，AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15。在 Rt△CDB 中，∵BC=70，BD2=BC2﹣CD2，∴BD= 。∴AB=BD﹣AD=65﹣15=50。 答：A，B 两个凉亭之间的距离为 50m。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】构造直角三角形，过 C 点作 CD⊥AB 于点 D，先在 Rt△CDA 中应用锐角三角函数求得 AD、CD的长，再利用勾股定理求得 BD 的长，从而由 AB=BD﹣AD 即得 A，B 两个凉亭之间的距离。8.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰 10 分）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在 A 处测到空投地点 C 的俯角 α=60°，测到地面指挥台 β 的俯角=30°，已知 BC 的距离是 2000 米，求此时飞机的高度（结果保留根号）．【答案】解：作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D， ∵EA∥BC，∴∠ABC=β=30°。 又∵∠BAC=α－β=30°，∴∠ABC=∠BAC。 ∴AC=BC=2000。 ∴在 Rt△ACD 中，AD= AC·cos∠CAD=AC·cos300=1000 。 答：此时飞机的高度为 1000 米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），平行的性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D， 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定，易得 AC=BC=2000，从而在 Rt△ACD 中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。9.（内蒙古包头 8 分）一条船上午 8 点在 A 处望见西南方向有一座 灯塔 B，此时测得船和灯塔相距 36海里，船以每小时 20 海里的速度向南偏西 24° 的方向航行到 C 处，此时望见灯塔在船的正北方向．（参考数据sin24°≈0.4，cos24°≈0.9）（1）求几点钟船到达 C 处；（2）当船到达 C 处时，求船和灯塔的距离．【答案】解：（1）延长 CB 与 AD 交于点 E．∴∠AEB=90°，∵∠BAE=45°，AB=36，∴BE=AE=36。根据题意得：∠C=24°，sin24°= ，∴AC= 。∴90÷20=4.5。∴8＋4.5=12.5。∴12 点 30 分船到达 C 处。（2）在直角三角形 ACE 中，cos24°= ，即 cos24°=，∴BC=45。∴船到 C 处时，船和灯塔的距离是 45 海里。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数。【分析】（1）要求几点到达 C 处，需要先求出 AC 的距离，根据时间=距离除以速度，从而求出解．（2）船和灯塔的距离就是 BC 的长，作出 CB 的延长线交 AD 于 E，根据直角三角形的角，用三角函数可求出 CE 的长，减去 BE 就是 BC 的长．10.（内蒙古呼伦贝尔 6 分）如图，从热气球 C 上测得 两建筑物A、B 底部的俯角分别为 30°和 60°，如果这时气球的高度 CD 为 90 米，且点 A、D、B 在同一直线上，求建筑物 A、B 间的距离（结 果保留根号）。【答案】解：∵ ， ∴ 。 在 中， , ∴ 。在 中， ，∴ 。∴ 。答：建筑物 A、B 间距离为120√3米。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分别在 和 中应用锐角三角函数求出 AD，BD 即可。