第 21 讲“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。二、精讲精练【例题 1】将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是 18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少 18，切分子是分母的，由此可求出新分数的分子和分母。”分母：（61-43）÷（1－）＝81分子：81×＝6381-61＝20 或 63-43＝20解法二：的分母比分子多 18，的分母比分子多 2，因为分数的与分母的差不变，所以将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9 倍。的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）约分后所得的在约分前是：＝＝所加的数是 81-61＝20答：所加的数是 20。练习 1：1、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？2、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？3、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？【例题 2】将一个分数的分母减去 2 得，如果将它的分母加上 1，则得，求这个分数。解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去 2 得”可知，分母比分子的倍还多 2。由“分母加 1 得”可知，分母比分子的倍少 1，从而将原题转化成一个盈亏问题。分子：（2+1）÷（－）=12分母：12×-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差 3。＝＝，＝②原分数的分母是：18-1＝17 或 15+2＝17答：这个分数为。练习 2：1、将一个分数的分母加上 2 得，分母加上 3 得。原来的分数是多少？2、将一个分数的分母加上 3 得，分母加上 2 得。原来的分数是多少？3、将一个分数的分母加上 5 得，分母加上 4 得。原来的分数是多少？4、将一个分数的分母减去 9 得，分母减去 6 得。原来的分数是多少？【例题 3】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即=，=。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想和的分子和分母再乘以 2。所以＝＝，＝＝故原来的最简分数是。解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的 2 倍。所以（+）÷2＝ 答：原来的最简分数是。练习 3：1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。【例题 4】将一个分数的分母加 3 得，分母加 5 得。原分数是多少？解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即＝，＝。根据题意，两个新分数的分母应相差 2，而现在只相差 1，所以分别将和的分子和分母再同乘以 2。则＝＝，＝＝。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是。解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加 3 后是分子的，分母加 5 后是分子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（－）＝42。原分数的分母是 42÷7×9-3=51，原分数是。练习 4：1、一个分数，将它的分母加 5 得，加 8 得，原来的分数是多少？（用两种方法）2、将一个分数的分母减去 3，约分后得；若将它的分母减去 5，则得。原来的分数是多少？（用两种方法做）3、把一个分数的分母减去 2，约分后等于。如果给原分数的分母加上 9，约分后等于。求原分数。【例题 5】有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于；如果分母加 1，这个分数就等于，这个分数是多少？根据“分子加 1，这个分数等于”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这个分数就等于”可知，分母比分子的 3 倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是 3×2+2=8。所以，这个分数是。练习 5：1、一个分数，如果分子加 3，这个分数等于，如果分母加上 1，这个分数等于，这个分数是多少？2、一个分数，如果分子加 5，这个分数等于，如果分母减 3，这个分数等于，这个分数是多少？三、课后练习1、的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？2、将一个分数的分母加上 2 得，分母加上 2 得。原来的分数是多少？3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。4、一个分数，如果分子减 1，这个分数等于；如果分母加 11，这个分数等于，这个分数是多少？