ABGDE（第 25 题）FCABGDEFC（ 图1 ）（ 图2 ）2010 年中考数学压轴题（八）及解答193、（2010 年山西省）25．（本题 10 分）如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE、GC．（1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论．（2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE 和 CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解答】194、（2010 年山西省）26．在直角梯形 OABC 中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系．（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F．求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N．使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理第 1 页 共 34 页 ∵ S△BCE = S△ABC，∴ S△BCF = S△ABC．∴ ．设对称轴 与 轴交于点 ，则 ．由 EF∥CB，得 ．∴ Rt△EDF Rt∽ △COB．有 ．∴ ．结合题意，解得 ．∴ 点 ， ．设直线 的解析式为 ，则 解得 ∴ 直 线 的 解 析 式 为 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为 ，（ ， ）则抛物线的解析式为 ，此时，抛物线与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ， .（ ）过点 作 EF∥CB 与 轴交于点 ，连接 ，则 S△BCE = S△BCF.由 S△BCE = 2S△AOC，∴ S△BCF = 2S△AOC. 得 .设该抛物线的对称轴与 轴交于点 .第 10 页 共 34 页 则 .于是，由 Rt△EDF Rt∽ △COB，有 ．∴ ，即 ．结合题意，解得 ． ① ∵ 点 在直线 上，有 ． ② ∴ 由①②，结合题意，解得 ．有 ， ．∴ 抛 物 线 的 解 析 式 为 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分201、（2010 年云南省红河州）22．（本小题满分 11分）二次函数y=x2的图像如图 8 所示，请将此图像向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位. （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式. （2）求经过两次平移后的图像与 x 轴的交点坐标，指出当 x 满足什么条件时，函数值大于 0？【解答】解：画图如图所示：依题意得：y=( x−1)2−2 =x2−2 x +1−2 =x2−2 x−1∴平移后图像的解析式为：x2−2 x−1（2）当 y=0 时，x2−2 x−1=0 ( x−1)2=2第 11 页 共 34 页 x−1=±√2 x1=1−√2， x2=1+√2∴平移后的图像与 x 轴交与两点，坐标分别为（1−√2，0）和（1+√2，0）由图可知，当 x<1−√2或 x>1+√2时，二次函数y=( x−1)2−2的函数值大于 0.202、（2010 年云南省红河州）23.（本小题满分 14 分）如图 9，在直角坐标系 xoy 中，O 是坐标原点，点A 在 x 正半轴上，OA=12√3cm，点 B 在 y 轴的正半轴上，OB=12cm，动点 P 从点 O 开始沿 OA 以2√3cm/s 的速度向点 A 移动，动点 Q 从点 A 开始沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 移动，动点 R 从点 B开始沿 BO 以 2cm/s 的速度向点 O 移动.如果 P、Q、R 分别从 O、A、B 同时移动，移动时间为 t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB 的度数.（2）以 OB 为直径的⊙O‘与 AB 交于点 M，当 t 为何值时，PM 与⊙O‘相切？（3）写出△PQR 的面积 S 随动点移动时间 t 的函数关系式，并求 s 的最小值及相应的 t 值.（4）是否存在△APQ 为等 腰三角形，若存在，求出相应的 t 值，若不 存 在 请 说明理由. 【解答】解：（1）在 Rt AOB△ 中：tan OAB=∠OBOA=1212√3=√33∴∠OAB=30°（ 2 ） 如 图 10 ， 连 接 O‘P ， O‘M. 当 PM 与⊙O‘相切时，有∠PM O‘= PO O∠‘=90°， △PM O‘PO O≌△‘由（1）知∠OBA=60°∵O‘M= O‘B∴△O‘BM 是等边三角形∴∠B O‘M=60°可得∠O O‘P= M O∠‘P=60°∴OP= O O‘·tan O O∠‘P =6×tan60°=6√3第 12 页 共 34 页yxyx备用图图9EMRQPBAABO'ooyx图10M（R）QPABO'o 又∵OP=2√3t ，∴2√3t=6√3，t=3 ，即：t=3 时，PM 与⊙O‘相切.（3）如图 9，过点 Q 作 QE x⊥ 于点 E ∵∠BAO=30°，AQ=4t ， ∴QE=12AQ=2t ， AE=AQ·cos OAB=4t×∠√32=2√3 t∴OE=OA-AE=12√3-2√3t ，∴Q 点的坐标为（12√3-2√3t，2t） SPQR△= SOAB△ -SOPR△ -SAPQ△ -SBRQ△ =12⋅12⋅12√3−12⋅2√3 t⋅(12−2t )−12(12√3−2√3 t )⋅2 t−12⋅2 t (12√3−2√3 t ) =6√3 t2−36√3 t+72√3 =6√3(t−3 )2+18√3 （0 ＜t ＜6） 当 t=3 时，SPQR△最小=18√3 （4）分三种情况：如图 11.当 AP=AQ1=4t 时，∵OP+AP=12√3∴2√3t+4t=12√3∴t=6√3√3+2或化简为 t=12√3-18当 PQ2=AQ2=4t 时 过 Q2点作 Q2D x⊥ 轴于点 D，∴PA=2AD=2A Q2·cosA=4√3t即2√3t+4√3t =12√3 ，∴t=2当 PA=PQ3时，过点 P 作 PH AB⊥ 于点 H AH=PA·cos30°=（12√3-2√3t）·√32=18-3tAQ3=2AH=36-6t ，得 36-6t=4t， ∴t=3.6 综上所述，当 t=2，t=3.6，t=12√3-18 时，△APQ 是等腰三角形.203、（2010 年云南省昆明市）24．（9 分）已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD BC∥ ，∠DCB = 90°，E 是AD 的中点，点 P 是 BC 边上的动点（不与点 B 重合），EP 与 BD 相交于点 O.（1）当 P 点在 BC 边上运动时，求证：△BOP DOE∽△ ；第 13 页 共 34 页yxDHQ3Q2图11Q1PBAoOPEDCBA （2）设（1）中的相似比为 ，若 AD︰BC = 2︰3. 请探究：当 k 为下列三种情况时，四边形 ABPE 是什么四边形？①当 = 1 时，是 ；②当 = 2 时，是 ；③当 = 3 时，是. 并证明 = 2 时的结论.【解答】24．（9 分） （1）证明：∵AD BC ∥∴∠OBP = ODE∠ ……………1 分 在△BOP 和△DOE 中∠OBP = ODE∠∠BOP = DOE ∠ …………………2 分 ∴△BOP DOE (∽△ 有两个角对应相等的两三角形相似) ……………3 分（2）① 平行四边形 …………………4 分② 直角梯形 …………………5 分 ③ 等腰梯形 …………………6 分证明：∵k = 2 时， ∴ BP = 2DE = AD又∵AD︰BC = 2︰3 BC = ADPC = BC - BP = AD - AD = AD = EDED PC , ∥ ∴四边形 PCDE 是平行四边形 ，∵∠DCB = 90°∴四边形 PCDE 是矩形 …………………7 分∴ ∠EPB = 90° …………………8 分又∵ 在直角梯形 ABCD 中 ，AD BC, AB∥ 与 DC 不平行∴ AE BP, AB∥ 与 EP 不平行四边形 ABPE 是直角梯形 …………9 分204、（2010 年云南省昆明市）25．（12 分）在平面直角坐 标 系 中 ， 抛 物 线 经 过O（0，0）、A（4，0）、B（3， ）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以 OA 的中点 M 为圆心，OM 长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点 P，过第 14 页 共 34 页 点 P 作⊙M 的切线 l ，且 l 与 x 轴的夹角为 30°，若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 【解答】25．(12 分) 解：（1）设抛物线的解析式为： 由题意得： ……………1 分解得： ………………2 分∴抛物线的解析式为： ………………3 分（2）存在 ………………4 分抛物线 的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点 B，与⊙M相切于点 C，连接 MC，过 C 作 CD ⊥ x 轴于 D ∵ MC = OM = 2, CBM = 30°, CM BC∠ ⊥∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , B (∴ -2, 0)， 在 Rt CDM△ 中，∠DCM =CDM ∠ - CMD = 30°∠∴DM = 1, CD = = ∴ C (1,)设切线 l 的解析式为: ，点 B、C 在 l 上，可得： 解得： ∴切线 BC 的解析式为：∵点 P 为抛物线与切线的交点第 15 页 共 34 页l′ 由 解得： ∴点 P 的坐标为： ， ………………8 分∵ 抛物线 的对称轴是直线此抛物线、⊙M 都与直线 成轴对称图形于是作切线 l 关于直线 的对称直线 l′(如图)得到 B、C 关于直线 的对称点 B1、C1l′满足题中要求，由对称性，得到 P1、P2关于直线 的对称点： ， 即为所求的点.∴这样的点 P 共有 4 个： ， ， ， ………12 分205、（2010 年云南省曲靖市）23.（10 分）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长 48 米，下底长108 米，上下底相距 40 米，现要在草坪中修建一条横、纵向 的“”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的 . 设 甬 道的宽为 米.（1）求梯形 的周长； （2）用含 的式子表示甬道的总长；（3）求甬道的宽是多少米？【解答】解：（1）在等腰梯形 中， ，第 16 页 共 34 页 梯形 的周长= (米).···················2 分（2）甬道的总长： 米.·····························································4 分（3）根据题意，得 .·····················································7 分整理，得， ，解之得 .因 ，不符合题意，舍去.答：甬道的宽为 4 米.·················································································································10 分206、（2010 年云南省曲靖市）24.（12 分）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 向左平移 1个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 .所得抛物线与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，顶点为 .（1）求 的值；（2）判断 的形状，并说明理由；（3）在线段 上是否存在点 ，使 与相似.若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.【解答】解：（1） 的顶点坐标为（0，0），的顶点坐标 ，.························································································································3 分（2）由（1）得 . 当 时， . ..····················································································································4 分当 时， ，点坐标为 ，又 顶点坐标 ，·························································5 分作出抛物线的对称轴 交 轴于点 .作 轴于点 .在 中， ；在 中， ；在 中， ；，是直角三角形. ………7 分（3）存在.由（2）知， 为等腰直角三角形， ，第 17 页 共 34 页 连接 ，过 点作 于点 ， .①若 ，则 ，即 .， . ，. 点在第三象限， .·······························10 分②若 ，则，即 . ，. 点在第三象限， .综 上 ① 、 ② 所 述 ， 存 在 点 使 与 相 似 ， 且 这 样 的 点 有 两 个 ， 其 坐 标 分 别 为.·············································································································· 12 分207、（2010 年云南省玉溪市）22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）如图 a，若 AB∥CD，点 P 在 AB、CD 外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B－∠D．将点 P 移到 AB、CD 内部，如图 b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2） 在图 b 中， 将直线AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线 CD 于点 Q，如图 c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图 d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．第 18 页 共 34 页图 d图 c图 bO图 a 【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.延长 BP 交 CD 于点 E, ∵AB∥CD. ∴∠B=∠BED. 又∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D. …………4 分（2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. …………7 分（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF. ∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°. …………11 分208、（2010 年云南省玉溪市）23．如图 10，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1， ） ，△AOB的面积是 .（1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3 ） 在 （ 2） 中 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 点 C ， 使△AOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在（2）中 轴下方的抛物线上是否存在一点 P，过点 P 作 轴的垂线，交直线 AB 于点 D，线段 OD 把△AOB 分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形 BPOD 面积比为 2：3 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得:12OB⋅√3=√3， ∴ OB=2 . ∴B（－2，0） …………3 分 （2）设抛物线的解析式为 y=ax(x+2)，代入点 A（1, ），得 ，∴ …………6 分（3）存在点 C.过点 A 作 AF 垂直于 x 轴于点 F，抛物线的对称轴 x= - 1 交 x 轴于点 E.当点 C 位于对称轴第 19 页 共 34 页图 10B0AyyAC 由．【解答】第 2 页 共 34 页 与线段 AB 的交点时，△AOC 的周长最小.∵ △BCE∽△BAF,BEBF=CEAF.∴ CE=BE⋅AFBF=√33.∴C (-1,√33). …………9 分 （4）存在. 如图，设 p(x,y)，直线 AB 为 y=kx+b,则 ， ∴直线 AB 为 ，S四BPOD=SΔBPO+SΔ BOD = |OB||YP|+ |OB||YD|=|YP|+|YD| = .∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =√3-12×2×∣√33x+2√33∣=-√33x+√33. ∴SΔA ODSBP四 OD=−√33x +√33−√33x2−√33x+2√33=23. ∴x1=-12 , x2=1(舍去).∴p(-12,-√34) .又∵S△BOD =√33x+2√33, 第 20 页 共 34 页PBDOAxy ∴SΔBODSBP四 OD =√33x+2√33−√33x2−√33x+2√33= 23.∴x1=-12 , x2=-2.P(-2,0)，不符合题意.∴ 存在，点 P 坐标是（-12，-√34）. …………12 分209、（2010 年云南省昭通市）22．（11 分）在如图 8 所示的方格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，且每个小正方形的边长均为 1 个长度单位，以格点为顶点的图形叫做“格点图形”，根据图形解决下列问题：（1） 图中格点 是由格点 通过怎样变换得到的？（2） 如果建立直角坐标系后，点 的坐标为（ ， ），点 的坐标为 ，请求出过 点的正比例函数的解析式，并写出图中格点 各顶点的坐标．【解答】22．解：（1）格点 是由格点 先绕点 逆时针旋转 ，然后向右平移 个长度单位（或格）得到的．························································································································4 分（注：先平移后旋转也行）（2）设过 点的正比例函数解析式为 ，将 代入上式得， ， ．过 点的正比例函数的解析式为 ．······································································8 分各顶点的坐标为：．························································································11 分210、（2010 年云南省昭通市）23．（14 分）如图 9，已知直线 的解析式为 ，它与 轴、第 21 页 共 34 页 轴分别相交于 、 两点，平行于直线 的直线 从原点 出发，沿 轴正方向以每秒 个单位长度的速度运动，运动时间为 秒，运动过程中始终保持 ，直线 与 轴， 轴分别相交于 、两点，线段 的中点为 ，以 为圆心，以 为直径在 上方作半圆，半圆面积为 ，当直线 与直线 重合时，运动结束．（1） 求 、 两点的坐标；（2） 求 与 的函数关系式及自变量 的取值范围；（3） 直线 在运动过程中，当 为何值时，半圆与直线 相切？是否存在这样的 值，使得半圆面积 ？若存在，求出 值，若不存在，说明理由． 【解答】23．解：（1） ，令 ，得 ， ， ．令 ，得 ， ．······························································································2 分（2） ，是等腰直角三角形．，，为等腰直角三角形，．．，第 22 页 共 34 页图 9（2）备用图图 9（1） ，．···········································································································8 分（3） 分别过 、 作 于 、 于 F．，在 中， ， ，．当 时，半圆与 相切．即 ， ．当 时，半圆与直线 相切．·····························································································11 分存在． ．．若 ，则 ， ，， ．存在 ，使得 ．·········································································14 分211、（2010 年重庆市）25．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4 月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数 x 1 2 3 4价格 y（元/千 2 2.2 2.4 2.6第 23 页 共 34 页 克）进入 5 月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格 y（元/千克）从 5 月第 1 周的 2.8 元/千克下降至第 2 周的 2.4 元/千克，且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数 y＝－ x2＋bx＋c.（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出 4 月份 y 与x 的函数关系式，并求出 5 月份 y 与 x 的函数关系式；（2）若 4 月份此种蔬菜的进价 m（元/千克）与周数 x 所满足的函数关系为 m＝x＋1.2，5 月份此种蔬菜的进价 m（元/千克）与周数 x 所满足的函数关系为 m＝−15x＋2．试问 4 月份与 5 月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若 5 月份的第 2 周共销售 100 吨此种蔬菜．从 5 月份的第 3 周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第 2 周销量的基础上每周减少 a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运 2 吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第 2 周仅上涨 0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第 3 周的总销售额与第 2 周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出 a 的整数值．（参考数据：372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）【解答】212、（2010 年重庆市）26．已知：如图（1），在平面直角坐标 xOy 中，边长为 2 的等边△OAB 的顶点 B 在第一象限，顶点 A 在 x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点 C 在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点第 24 页 共 34 页 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动，点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 A→O→B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积 S 与运动的时间 t 之间的函数关系，并写出自变量 t 的取值范围；（2）在等边△OAB 的边上（点 A 除外）存在点 D，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 D 的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与 OB、AB 交于点 M、 N，连接 MN．将∠MCN绕着 C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得 M、N 始终在边 OB 和边 AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．【解答】第 25 页 共 34 页 ABCx yo备用图ABCEDx yo题图26213、（2010 年重庆市潼南县）26.（12 分）如图, 已知抛物线y=12x2+bx+c与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE⊥x 轴于点 D，连结 DC，当△DCE 的面积最大时，求点 D的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由.【解答】第 26 页 共 34 页 26. 解：（1）∵二次函数y=12x2+bx+c的图像经过点 A（2，0）C(0,－1)∴{2+2 b+c =0 ¿ ¿¿¿ 解得： b=－12 c=－1-------------------2 分∴二次函数的解析式为y=12x2−12x−1 --------3 分（2）设点 D 的坐标为（m，0） （0＜m＜2）∴ OD=m ∴AD=2-m由△ADE∽ AOC△ 得，ADAO=DEOC --------------4 分∴2−m2=DE1∴DE=2−m2-----------------------------------5 分∴△CDE 的面积=12×2−m2×m=−m24+m2=−14(m−1)2+14当 m=1 时，△CDE 的面积最大∴点 D 的坐标为（1，0）--------------------------8 分（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为y=12x2−12x−1设 y=0 则0=12x2−12x−1 解得：x1=2 x2=－1∴点 B 的坐标为（－1，0） C（0，－1）设直线 BC 的解析式为：y=kx＋b∴ {−k +b=0 ¿ ¿¿¿ 解得：k=-1 b=-1∴直线 BC 的解析式为: y=－x－1在 Rt AOC△ 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=√5第 27 页 共 34 页 A BOPQDyx∵点 B(－1,0) 点 C（0，－1）∴OB=OC ∠BCO=450①当以点 C 为顶点且 PC=AC=√5时，设 P(k, －k－1)过点 P 作 PH y⊥ 轴于 H∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k∣ 在 Rt△PCH 中k2+k2=(√5)2 解得 k1=√102， k2=－√102∴P1（√102，－√102−1） P2（－√102，√102−1）---10 分②以 A 为顶点，即 AC=AP=√5设 P(k, －k－1)过点 P 作 PG⊥x 轴于 GAG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣在 Rt APG△ 中 AG2＋PG2=AP2（2－k)2+(－k－1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)∴P3(1, －2) ----------------------------------11 分③以 P 为顶点，PC=AP 设 P(k, －k－1)过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 QPL⊥x 轴于点 L∴L(k,0)∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k，由勾股定理知，CP=PA=√2k ，∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜在 Rt PLA△ 中 ，(√2k)2=(k－2)2＋(k＋1)2解得：k=52∴P4(52,－72) ------------------------12 分综上所述： 存在四个点：P1（√102，－√102−1） P2（-√102，√102−1） P3(1, －2) P4(52,－72)214、（2010 年重庆市綦江县）26．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点 B(12，0)和 C(0，－6)，对称轴为 x＝2．(1)求该抛物线的解析式．(2)点 D 在线段 AB 上且 AD＝AC，若动点 P 从 A 出发沿线段第 28 页 共 34 页 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t(秒)和点 Q 的运动速度；若存在，请说明理由．(3)在(2)的结论下，直线 x＝1 上是否存在点 M，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M的坐标；若存在，请说明理由．【解答】215、（2010年新疆乌鲁木齐市）23.（本题满分 10 分）已知二次函数 的图象经过 和N(n，0)（n≠0）三点.（1）若该函数图象顶点恰为点 ，写出此时 的值及 的最大值；（2）当 时，确定这个二次函数的解析式，并判断此时 是否有最大值；（3）由（1）、（2）可知， 的取值变化，会影响该函数图象的开口方向.请你求出 满足什么条件时， 有最小值？【解答】23.解：（1）由二次函数图象的对称性可知 ； 的最大值为 ······································2′第 29 页 共 34 页 195、（2010 年陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点 P 的坐标。【解答】解：（1）设该抛物线的表达式为 y=ax²+bx+c 根据题意，得a- b+c=0 a=9a+3b+c=0 解之，得 b=c=-1 c=-1 ∴所求抛物线的表达式为 y= x²- x-1 （2）① AB 为边时，只要 PQ∥AB 且 PQ=AB=4 即可。 又知点 Q 在 y 轴上，∴点 P 的横坐标为 4 或-4，这时符合条件的点 P 有两个，分别记为 P1,P2 .而当 x=4 时，y= ；当 x=-4 时，y=7，第 3 页 共 34 页 BPG图 9OFAECy（2）由题意得： ，解这个方程组得：故这个二次函数的解析式为 ····························································5′∵ ∴ 没有最大值. ·····················································································6′（3）由题意，得 ，整理得： ·····································8′∵ ∴故 而若 有最小值，则需 ∴ 即∴ 时， 有最小值.···························································································10′216、（2010 年新疆乌鲁木齐市）24.（本题满分 12 分）如图 9，边长为 5 的正方形 的顶点 在坐标原点处，点 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 是 边上的点（不与点 重合），，且与正方形外角平分线 交于点 .（1）当点 坐标为 时，试证明 ；（2）如果将上述条件“点 坐标为（3，0）”改为“点 坐标为（ ，0）（ ）”，结论是否仍然成立，请说明理由；（3）在 轴上是否存在点 ，使得四边形 是平行四边形？若存在，用 表示点的坐标；若不存在，说明理由.第 30 页 共 34 页M 【解答】24.解：（1）过点 作 轴，垂足为∴ ∵ ∴∴∴ ··················································2′由题意知: ∴ 得∴ ···························································································································3′在 和 中∴ 故 ························································································································5′（2） 仍成立.同理 ∴ ·········································································6′由题意知: ∴ 整理得∵点 不与点 重合 ∴ ∴ ∴在 和 中 ∴ ···························································5′（3） 轴上存在点 ，使得四边形 是平行四边形.·············································9′过点 作 交 轴于点∴ ∴在 和 中 ∴ ∴而 ∴第 31 页 共 34 页xFPGByCMOHRA 由于 ∴四边形 是平行四边形. ····················································11′故 可得 ∴故点 的坐标为 ····························································································12′ 217、（2010 年新疆建设兵团）24.（12 分）张师傅在铺地板时发现，用 8 块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图（1）.然后，他用这 8 块瓷砖又拼出一个正方形，如图（2），中间恰好空出一个边长为 1 的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为 ，宽为 ，且（1）请你求出图（1）中 与 的函数关系式；（2）求出图（2）中 与 的函数关系式；（3）在图（3）中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；（4）根据以上讨论完成下表，观察 与 的关系，回答：如果给你任意 8 个相同的长方形，你能否拼出类似图（1）和图（2）的图形？说出你的理由.图（2）中小正方形边长1 2 3 4…610…24.（12 分）解法不唯一解：（1）由图（1）得： 　　 ··································································2′（2）由图（2）得 ··················································································3′第 32 页 共 34 页图（3）图（2）图（1） 整理得： 不成立…………4′即 …………5′（3）···················································································································································7′交点坐标（3，5）··················································································································· 8′实际意义解答不唯一例①：瓷砖的长为 5，宽为 3 时，能围成图（1），图（2）的图形··································9′例②：当瓷砖长为 5，宽为 3 时，围成图（2）的正方形中的小正方形边长为 1.（4）图（2）中小正方形边长1 2 3 4…3 6 9 12…5 10 15 20…·················································································································································11′情况①：不能，长方形的长与宽若不能满足 ，则不能情况②：能，长方形的长与宽只要满足 即可情况③：综合上述两种说法只要符合其中一种情况均给分······························································································12′第 33 页 共 34 页 第 34 页 共 34 页 此时 P1（4， ）P2（-4,7）②当 AB 为对角线时，只要线段 PQ 与线段 AB 互相平分即可又知点 Q 在 Y 轴上，且线段 AB 中点的横坐标为 1∴点 P 的横坐标为 2，这时符合条件的 P 只有一个记为 P3而且当 x=2 时 y=-1 ，此时 P3（2，-1）综上，满足条件的 P 为 P1（4， ）P2（-4,7）P3（2，-1）196、（2010 年陕西省） 25.问题探究 (1) 请你在图①中做一条直线，使它将矩形 ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②点 M 是矩形 ABCD 内一点，请你在图②中过点 M 作一条直线，使它将矩形 ABCD 分成面积相等的两部分。 问题解决（1） 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形 OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中 DC OB,OB=6,CD=4∥ 开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点 P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点 P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线 l 将直角梯形 OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线 l 是否存在？若存在求出直线 l 的表达式；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图①（2）如图②连结 AC 、BC 交与 P 则 P 为矩形对称中心。作直线 MP，直线 MP 即为所求。（3） 如图③存在直线 l过点 D 的直线只要作 DA OB⊥ 与点 A 则点 P(4,2)为矩形 ABCD 的对称中心∴过点 P 的直线只要平分△DOA 的面积即可易知，在 OD 边上必存在点 H 使得 PH 将△DOA 面积平分。从而，直线 PH 平分梯形 OBCD 的面积即直线 PH 为所求直线 l设直线 PH 的表达式为 y=kx+b 且点 P(4,2)∴2=4k+b 即 b=2-4k∴y=kx+2-4k∵直线 OD 的表达式为 y=2x y=kx+2-4k 第 4 页 共 34 页 ∴ 解之 y=2x ∴点 H 的坐标为（ ， ）∴PH 与线段 AD 的交点 F（2,2-2k）∴0＜2-2k＜4∴-1＜k＜1∴SDHF△=∴解之，得 。（ 舍去）∴b=8-∴直线 l 的表达式为 y=197、（2010 年上海市）24．如图 8，已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 过点 A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线 l，设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P 关于直线 l 的对称点为 E，点 E 关于 y 轴的对称点为 F，若四边形 OAPF 的面积为 20，求 m、n 的值.【解答】（1）解：将 A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：解之得：b=4，c=0所以抛物线的表达式为：将抛物线的表达式配方得：所以对称轴为 x=2，顶点坐标为（2，4）（2）点 p（m，n）关于直线 x=2 的对称点坐标为点 E（4-m，n），则点 E 关于 y 轴对称点为点 F 坐标为（4-m,-n），则四边形 OAPF 可以分为：三角形 OFA 与三角形 OAP，则第 5 页 共 34 页图 8 = + = =20所以 =5，因为点 P 为第四象限的点，所以 n<0，所以 n= -5代入抛物线方程得 m=5198、（2010 年上海市）25．如图 9，在 Rt ABC△ 中，∠ACB＝90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D，与边 AC 相交于点 E，连结 DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P.（1）当∠B＝30°时，连结 AP，若△AEP 与△BDP 相似，求 CE 的长；（2）若 CE=2，BD=BC，求∠BPD 的正切值；（3）若 ，设 CE=x，△ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式.图 9 图 10（备用） 图 11（备用） 【解答】（1）解：∵∠B＝30° ACB∠ ＝90°∴ BAC∠ ＝60°∵AD=AE ∴ AED∠ ＝60°= CEP∠∴∠EPC＝30°∴三角形 BDP 为等腰三角形∵△AEP 与△BDP 相似∴∠EAP= EPA= DBP= DPB=30°∠ ∠ ∠∴AE=EP=1∴在 RT△ECP 中，EC= EP=（2）过点 D 作 DQ⊥AC 于点 Q，且设 AQ=a，BD=x∵AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ACB＝90°∴△ADQ 与△ABC 相似∴第 6 页 共 34 页 即 ，∴∵在 RT ADQ△ 中∵∴解之得 x=4，即 BC=4过点 C 作 CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似， ∴ ，即 AF=AC，即 DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似，∴ ，即：BC=CP=4，∴tan BPD=∠(3)过 D 点作 DQ⊥AC 于点 Q，则△DQE 与△PCE 相似,设 AQ=a，则 QE=1-a∴ 且 ，∴∵在 Rt ADQ△ 中，据勾股定理得：即： ，解之得∵△ADQ 与△ABC 相似，∴ ，∴∴三角形 ABC 的周长 ，即： ，其中 x>0199、（2010 年天津市）25.（本小题 10 分） 在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 轴、 轴的正半轴上，， ，D 为边 OB 的中点.（Ⅰ）若 为边 上的一个动点，当△ 的周长最小时，求点 的坐标；（Ⅱ）若 、 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 、 的坐标.第 7 页 共 34 页FQAEDPCB温馨提示：如图，可以作点 D 关于轴的对称点 ，连接 与 轴交于点E，此时△ 的周长是最小的.这样，你只需求出 的长，就可以确定点 的坐标了. 【解答】25.（本小题 10 分） 解：（Ⅰ）如图，作点 D 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点 E，连接 .若在边 上任取点 （与点 E 不重合），连接 、 、 .由 ，可知△ 的周长最小.∵ 在矩形 中， ， ， 为 的中点，∴ ， ， .∵ OE∥BC，∴ Rt△ ∽Rt△ ，有 .∴ .∴ 点 的 坐 标 为 （ 1 ， 0 ） .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分（Ⅱ）如图，作点 关于 轴的对称点 ，在 边上截取 ，连接 与 轴交于点 ，在上截取2EF .∵ GC∥EF， ，∴ 四边形 为平行四边形，有 .又 、 的长为定值，第 8 页 共 34 页xACDOByExACDOBy第（25）题FGExACDOByExACDOBy ∴ 此时得到的点 、 使四边形 的周长最小. ∵ OE∥BC，∴ Rt△ ∽Rt△ , 有 .∴ . ∴ .∴ 点 的坐标为（ ，0），点 的坐标为（ ，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10 分200、（2010 年天津市）26.（本小题 10 分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧），与轴的正半轴交于点 ，顶点为 .（Ⅰ）若 ， ，求此时抛物线顶点 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中 的抛物线 向 下 平移，若 平移后，在四 边形 ABEC 中满足 S△BCE = S△ABC，求此时直线 的解析式；（ Ⅲ ） 将 （ Ⅰ ） 中 的 抛 物 线 作 适 当 的 平 移 ， 若 平 移 后 ， 在 四 边 形 ABEC 中 满 足S△BCE = 2S△AOC，且顶点 恰好落在直线 上，求此时抛物线的解析式.【解答】26.（本小题 10 分）解：（Ⅰ）当 ， 时，抛物线的解析式为 ，即 .∴ 抛物线顶点 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点 在对称轴 上，有 ，∴ 抛物线的解析式为 （ ）．∴ 此时，抛物线与 轴的交点为 ，顶点为 ．∵ 方程 的两个根为 ， ，∴ 此时，抛物线与 轴的交点为 ， ．如图，过点 作 EF∥CB 与 轴交于点 ，连接 ，则 S△BCE = S△BCF．第 9 页 共 34 页CyE