2016 年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组 A 卷）一、填空题（共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）1．（8 分）算式 的计算结果是　 　．2．（8 分）销售一种商品，利润率为 25%，如果想把利润率提高到 40%，那么售价应该提高　 　%．3．（8 分）小明发现今年的年份 2016 是一个非常好的数，它既是 6 的倍数，又是 8 的倍数，还是 9 的倍数，那么下一个既是 6 的倍数，又是 8 的倍数，还是 9 的倍数的年份是　 　年．4．（8 分）在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖，有部分山妖被打倒，打倒的比站着的多三分之一；过了一会了再有 2 个山妖打倒，但是又站起来了 10 个山妖，此时站着的比打倒的多四分之一，那么现在站着的山妖有　 　个．5．（8 分）在空格内填入 1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是　 　．二、填空题（共 5 小题，每小题 10 分，满分 50 分）6．（10 分）请将 0﹣9 分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次，或已将“1”、“3”、“0”填入，若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是　 　．7．（10 分）2016 名同学排成一排，从左到右依次按照 1，2…，n报数（n≥2），若第 2016 名同学所报的数恰是n，则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物．那么无论n取何值，有　 　名同学将不可能得到新年礼物．8．（10 分）如图，正十二边形的面积是 2016 平方厘米，那么图中阴影部分的面积是　 　平方厘米．9．（10 分）四位数 除以两位数 的余数恰好为 ，如果不同的汉字表示不同的数字且和 不互质，那么四位数 最大是　 　．10．（10 分）老师用 0 至 9 这十个数字组成五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．”B说：“我的数是一个完全平方数．”C说：“我的数第二小，恰有 6 个因数．”D说：“我的数不是最大的，我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了．”E说：“我的数是某人的数的 3 倍．” 那么这五个两位数之和是　 　．三、填空题（共 4 小题，每小题 12 分，满分 48 分）11．（12 分）如图，直角三角形ABC中，AB的长度是 12 厘米，AC的长度是 24 厘米，D、E分别在AC、BC上，那么等腰直角三角形BDE的面积是　 　平方厘米．12．（12 分）已知S＝ + + +…+ ，那么S的小数点后第 2016 位是　 　．13．（12 分）A、B两地间每隔 5 分钟有一辆班车发出，匀速对开，且所有班车的速度都相同；甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后 5 分钟，两地同时开出第一辆班车；甲乙相遇时，甲被A地开出的第 9 辆班车追上，乙也恰被B地开出的第 6 辆班车追上；乙到A地时，恰被B地开出的第 8 辆班车追上，而此时甲离B地还有 21 千米．那么乙的速度是每小时　 　千米．14．（12 分）将一个固定好的正方形分割成 3 个等腰三角形，有如图的 4 种不同方式：如果将一个固定好的正方形分割成 4 个等腰三角形，那么共有　 　种不同方式．2016 年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）1．（8 分）算式 的计算结果是　 2017 　 ．【解答】解：＝＝＝2016×（1+ ）＝2017；故答案为：2017．2．（8 分）销售一种商品，利润率为 25%，如果想把利润率提高到 40%，那么售价应该提高　 12 　 %．【解答】解：1+25%＝125%1+40%＝140%（140%﹣125%）÷125%＝15%÷125%＝12%答：售价应该提高 12%．故答案为：12． 3．（8 分）小明发现今年的年份 2016 是一个非常好的数，它既是 6 的倍数，又是 8 的倍数，还是 9 的倍数，那么下一个既是 6 的倍数，又是 8 的倍数，还是 9 的倍数的年份是　 2088 　 年．【解答】解：依题意可知：6，8，9 的最小公倍数为：8×3×3＝72．2016 后的下一个数字就是 2016+72＝2088．故答案为：2088．4．（8 分）在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖，有部分山妖被打倒，打倒的比站着的多三分之一；过了一会了再有 2 个山妖打倒，但是又站起来了 10 个山妖，此时站着的比打倒的多四分之一，那么现在站着的山妖有　 35 　 个．【解答】解：根据分析，一开始打倒的比站着的多 ，所以打倒的占总山妖的 ，过一会儿，站着的比打倒的多 ，∴打倒的占总山妖的 ；这中间打倒的数量减少了 8 个，∴一共有山妖：8÷（ ）＝63；此时，站着的山妖有：63× ＝35 个．故答案是：35．5．（8 分）在空格内填入 1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是　 46123 　 ．【解答】解：依题意可知：首先是第二行第二列的数字只能是 5，第三行第四列只能是 6．继续推理可知答案如图所示：故答案为：46123．二、填空题（共 5 小题，每小题 10 分，满分 50 分）6．（10 分）请将 0﹣9 分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次，或已将“1”、“3”、“0”填入，若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是　 2196 　 ．【解答】解：依题意可知：设字母如图所示 首先这个四位数的千位如果A≥3，则不可能减完以后得 2016．所有A＝2．其次后面的两个数的乘积为整数， 是 100 的倍数．所以这两个乘数一个是 4 的倍数一个是 25 的倍数．所有必有一个数是以 75 结尾的．如果 ＝75．则与 的积大于 200．等式不可能成立．当 ＝375，如果 ≥60，同样的道理等式不成立，所有 是小于 60 的 4 的倍数，剩下的数（4，6，8，9）中，只能是 48 满足要求．所有 ．所有这个四位数是 2016+375×0.48＝2196．原式是 2196﹣375×0.48＝2016．故答案为：2196．7．（10 分）2016 名同学排成一排，从左到右依次按照 1，2…，n报数（n≥2），若第 2016 名同学所报的数恰是n，则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物．那么无论n取何值，有　 576 　 名同学将不可能得到新年礼物．【解答】解：首先从左到右这 2016 名同学编号为 1﹣2016．如果某个同学报的数是n，则说明这个同学的编号恰好是n的倍数，所以n的倍数的同学都是n的倍数，那么n一定能被 2016 整除，对2016 分解质因数 2016＝25×32×7．那么与 2016 互质的数字是永远不可能得到礼物的．互质的个数有 2016× × × ＝576（个）．故答案为：576．8．（10 分）如图，正十二边形的面积是 2016 平方厘米，那么图中阴影部分的面积是　 672 　 平方厘米．【解答】解：根据分析，如图，首先将阴影部分等积变形成下图形状，并设正三角形面积为a，四边形面积为b，整个正十二边形是由 12 个a这样的正三角形和 6 个b这样的四边形组成，而阴影部分是由 4 个a这样的正三角形和 2 个b这样的四边形组成，恰好是整个正十二边形的 ，故阴影部分面积＝2016× ＝672 平方厘米．故答案是：672．9．（10 分）四位数 除以两位数 的余数恰好为 ，如果不同的汉字表示不同的数字且和 不互质，那么四位数 最大是　 7281 　 ．【解答】解：依题意可知：除以两位 的余数恰好为 ，则 除以 余数也是 ．所以 ＝ + ，即 ＝ ×N． 由余数与除数的关系可知， ，设 ， 的公因数为d．则有（ ）×99＝（ ÷d）×N．因为 与 互质，那么 就是 99 的约数．所以 的结果为 9（11，1 和99，33 和 3 都不符合题意）．为了使 最大， ＝9×d， ．当d＝9 时． 取最大值 7281．故答案为：728110．（10 分）老师用 0 至 9 这十个数字组成五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．”B说：“我的数是一个完全平方数．”C说：“我的数第二小，恰有 6 个因数．”D说：“我的数不是最大的，我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了．”E说：“我的数是某人的数的 3 倍．”那么这五个两位数之和是　 180 　 ．【解答】解：A能判断出自己的数最小，说明A的十位是 1，又因为是一个质数，所以A可能是13，17，19；C能判定自己的数第二小，且有 6 个因数，所以可能是 20，28，32；B是一个完全平方数，但不能含有 1、2，所以B的数可能是 36，49，64；D又能刚好知道A，B，C三人中的其中两个数，经实验，D＝36，37，39，40，47，48，49 时，可以推断出A，B，C三人中的其中两个数，如下：发现无论哪种情况，5 均没有出现，所以E中一定有一个数字 5；E说自己的数字是某个人的数的三倍，与 5 组合能构成 3 的倍数的数只有 7 还没有被用到，所以E的数只能是 57 或 75，显然 75÷3＝25 没有在上表中出现过，所以E的数是 57，则ABCDE这 5 个人手中的数有以下两种可能：19，36，28，40，57 或者 19，36，20，48，57，19+36+28+40+57＝18019+36+20+48+57＝180答：这五个两位数之和是 180．故答案为：180．三、填空题（共 4 小题，每小题 12 分，满分 48 分）11．（12 分）如图，直角三角形ABC中，AB的长度是 12 厘米，AC的长度是 24 厘米，D、E分别在AC、BC上，那么等腰直角三角形BDE的面积是　 80 　 平方厘米．【解答】解：根据分析，如图，作DF⊥BC交BC于F，在等腰直角三角形BDE里，很显然FB＝FD＝FE，在△ABC中，在AB⊥AC的情况下，AB：AC＝1：2，同样的道理，DF⊥FC，所以DF：FC＝1：2， 又∵DF＝FE，∴DF＝EC，即FD＝FB＝FE＝EC，∴BE＝ ，故，所以，阴影部分的面积S＝ ＝ （平方厘米）．故答案是：80．12．（12 分）已知S＝ + + +…+ ，那么S的小数点后第 2016 位是　 4 　 ．【解答】解：根据分析，S＝ + + +…+ ＝0. + + + +…+ ； ＝ ，小数点后第n，2n，3n…位都是 1，当n是 2016 的约数时，小数点后第 2016 位是 1，其它情况小数点的 2016 位是 0，，2016＝25×32×7，有（5+1）×（2+1）（1+1）＝36 个约数，而大于 1000 的约数有两个：1008、2016，不大于 1000 的约数有：36﹣2＝34 个；在不考虑进位的情况下，这一位上有 34 个 1 相加，这一位的数字是 4．下面考虑进位，第 2017 位：2017 是质数∴2017 位上只有 1 个 1 相加，不构成进位；第 2018 位：2018＝2×1009，有 4 个约数，所以 2018 位上有 2 个 1 累加，也不构成进位；第 2019 位及以后都不足以进位到第 2016 位上；综上所述，S小数点后第 2016 位是 4．故答案是：4．13．（12 分）A、B两地间每隔 5 分钟有一辆班车发出，匀速对开，且所有班车的速度都相同；甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后 5 分钟，两地同时开出第一辆班车；甲乙相遇时，甲被A地开出的第 9 辆班车追上，乙也恰被B地开出的第 6 辆班车追上；乙到A地时，恰被B地开出的第 8 辆班车追上，而此时甲离B地还有 21 千米．那么乙的速度是每小时　 27 　 千米．【解答】解：依题意可知：设甲乙在C点相遇，由于班车的速度一定，所以从某一辆车追上甲（乙）到下一辆车追上甲（乙）的时间是相等的．先考虑乙B到C（相遇点），乙被 6 辆车追上，从C到A又被 2 辆车追上，说B到C的时间是A到C的时间的 3 倍．所以BC＝3AC．又因为C是相遇点，所以乙的速度是甲的速度的 3 倍．所以当乙走完全程时，甲走完全程的 ．此时甲距离B还有 21 千米，所以全程的路程是 21÷（1﹣ ）＝ 千米．当甲乙相遇时，甲被 9 辆车追上，乙被 6 辆车追上，追上乙的那辆车比追上甲的那辆车早出发了15 分钟．即 小时．因为两车相遇是全程的四等分点，所以追上乙的那辆车比追上甲的那辆车夺走了全程的 ，即千米．所以班车的速度是 ÷ ＝63 千米/小时．所以班车跑完全程需要 ÷63＝ 小时． 在乙到达A第 8 辆车恰好追上，这辆车出发时乙已经走了 40 分钟，即 小时．这辆车在路上用去 小时．乙从B到A共用了 小时．那么乙的速度是 ＝27 千米/小时；故答案为：2714．（12 分）将一个固定好的正方形分割成 3 个等腰三角形，有如图的 4 种不同方式：如果将一个固定好的正方形分割成 4 个等腰三角形，那么共有　 21 　 种不同方式．【解答】解：如图：1+8+4+8＝21（种）答：共有 21 种不同的方法．故答案为：21．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:16:37；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800