华罗庚金杯少年数学精英邀请赛试卷(小学组笔试二)

发布时间:2025-03-04 09:03:08浏览次数:31
2010 年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷(小学组笔试二)一、填空题(每题 20 分,共 60 分)1.(20 分)如图,∠ABE=∠DCF=90°,AB=3,DC=5,BC=6,BE=EF=FC,AF 交DE 于 G.则三角形 DFG 与三角形 AGE 面积的和为    .2.(20 分)在正八边形的 8 个顶点和中心 O 处放上 9 个不同的自然数,使得位于每对平行边与中心 O 上的 5 个数之和都等于位于顶点的 8 个数之和.那么位于中心 O 处的数最小是    .3.(20 分)如图,对 A,B,C,D,E,F,G 七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色,规定相邻的区域着不同的颜色.那么有    种不同的着色方法.二、解答题(每题 20 分,共 60 分)4.(20 分)对于平面上垂直的两条直线 a 和 b,称 (a,b) 为一个“垂直对”,而 a 和 b都是属于这个“垂直对”的直线.那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”?5.(20 分)方格网上有三个地点 A,B,C,每个小方格的边长为 100 米.如果沿着网格线修路把三个地点连起来,问:修的总路长最短为多少米?第 1 页(共 6 页) 6.(20 分)自然数 a,b 满足 23a﹣13b=1,求 a+b 的最小值.第 2 页(共 6 页) 2010 年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷(小学组笔试二)参考答案与试题解析一、填空题(每题 20 分,共 60 分)1.(20 分)如图,∠ABE=∠DCF=90°,AB=3,DC=5,BC=6,BE=EF=FC,AF 交DE 于 G.则三角形 DFG 与三角形 AGE 面积的和为   .【分析】过 E 点作 EH⊥BC 交 AF 于 H,过 F 点作 FI⊥BC 交 DE 于 I,根据等高的三角形面积比等于底之比求解即可.【 解 答 】 解 : 过 E 点 作 EH⊥BC 交 AF 于 H , 过 F 点 作 FI⊥BC 交 DE 于 I , 因为∠ABE=∠DCF=90°,AB=3,DC=5,BC=6,BE=EF=FC,所以 EH=1.5,FI=2.5,三角形 EFH 面积=三角形 AEH 面积=2×3÷2÷2=1.5,三角形 EFI 面积=三角形 FID 面积=2×5÷2÷2=2.5.所以 HG:GF=1.5:2.5,IG:GE=2.5:1.5,所以三角形 EGH 面积=1.5×1.5÷(1.5+2.5)= ,三角形 GFI 面积=2.5×2.5÷(1.5+2.5)= .第 3 页(共 6 页) 故三角形 DFG 与三角形 AGE 面积的和=三角形 AEH 面积+三角形 EGH 面积+三角形FID 面积+三角形 GFI 面积,=1.5+ + +2.5= .故答案为: .2.(20 分)在正八边形的 8 个顶点和中心 O 处放上 9 个不同的自然数,使得位于每对平行边与中心 O 上的 5 个数之和都等于位于顶点的 8 个数之和.那么位于中心 O 处的数最小是  14   .【分析】设这 9 个数分别为 A,B,C,D,E,F,G,H,O.然后根据题意列出式子,求出 O 的最小值.【解答】解:由题意可知:A+B+E+F+O=B+C+F+G+O=C+D+G+H+O=D+E+H+A+O=A+B+C+D+E+F+G+H,整理得:A+E=C+G,B+F=D+H,所以 A+B+C+D+E+F+G+H=2O,即当 A,B,C,D,E,F,G,H 为 0,1,2,3,4,5,6,7 时,O 最小,即 O= •(0+1+2+3+4+5+6+7)=14.故答案为:14.3.(20 分)如图,对 A,B,C,D,E,F,G 七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色,规定相邻的区域着不同的颜色.那么有  2880   种不同的着色方法.【分析】将问题分解为七步进行:A→B→C→D→E→F→G,得到每一步的着色方式,利用乘法原理解答即可.第 4 页(共 6 页) 【解答】解:对这五个区域,我们分五步依次给予着色:(1)区域 A 共有 5 种着色方式;(2)区域 B 因不能与区域 A 同色,故共有 4 种着色方式;(3)区域 C 因不能与区域 B 同色,故共有 4 种着色方式;(4)区域 D 因不能与区域 A,B,C 同色,故共有 2 种着色方式;(5)区域 E 因不能与区域 A,D 同色,故共有 3 种着色方式.(6)区域 F 因不能与区域 D,E 同色,故共有 3 种着色方式.(7)区域 G 因不能与区域 A,E,F 同色,故共有 2 种着色方式.于是,根据乘法原理共有 5×4×4×2×3×3×2=2880 种不同的着色方式.故答案为:2880.二、解答题(每题 20 分,共 60 分)4.(20 分)对于平面上垂直的两条直线 a 和 b,称 (a,b) 为一个“垂直对”,而 a 和 b都是属于这个“垂直对”的直线.那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”?【分析】如下图:当二十条直线有 10 条互相平行;另 10 条不仅互相平行而且与前 10 条垂直时垂直对最多共 100 对.【解答】解:当二十条直线有 10 条互相平行;另 10 条不仅互相平行而且与前 10 条垂直时垂直对最多.10×10=100(对)答:平面上有二十条直线时最多可组成 100 个“垂直对”.5.(20 分)方格网上有三个地点 A,B,C,每个小方格的边长为 100 米.如果沿着网格线修路把三个地点连起来,问:修的总路长最短为多少米?第 5 页(共 6 页) 【分析】由于要沿着网格线修路把三个地点连起来,可以先找到交点 D,再分别求出各段的长相加即可.【解答】解:如图所示,可得 100×4+100×3+100×2+100=1000(米).答:修的总路长最短为 1000 米.6.(20 分)自然数 a,b 满足 23a﹣13b=1,求 a+b 的最小值.【分析】由 23a﹣13b=1,可得 13b=23a﹣1=26a﹣(3a+1),得到 b 关于 a 的解的形式:b=26a÷13﹣(3a+1)÷13=2a﹣(3a+1)÷13.因为 a、b 都是自然数,因此 3a+1 能被13 整除,显然 a 最小为 4,b 同时取得最小值 b=7,进而求得 a+b 的最小值.【解答】解:由 23a﹣13b=1,可得 13b=23a﹣1=26a﹣(3a+1)推出 b=26a÷13﹣(3a+1)÷13=2a﹣(3a+1)÷13要使 3a+1 能被 13 整除,显然 a 最小为 4,b 同时取得最小值 b=7所以 a+b 最小值=4+7=11.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/5/7 10:52:46;用户:小学奥数;邮箱:pfpxxx02@xyh.com;学号:20913800第 6 页(共 6 页)
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