2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛团体赛试卷（口试）上半场（共 21 小题，满分 0 分）1． ＝15上面的算式中，不同的汉子代表 1﹣9 中的不同数字，当三位数“华杯赛”取得最大值时，请你写出一种使等式成立的填数法．2．如图所示，周长为 3 厘米的圆中有一个内接正六边形．阴影部分是由以正六边形 6 个顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧围成的，求阴影部分的周长等于多少厘米？3．班级小书架共有 12 本科普读物．据统计，数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本，而每本科普读物都恰被 3 名数学小组的成员借阅过．问：这个数学小组共有多少人？4．如图，有一个圆和三个正方形，中间正方形的顶点都在圆上，圆与最大正方形的交点以及最小正方形的顶点都是所在线段的中点．最大正方形的面积是 12 平方厘米，问：最小正方形的面积是多少平方厘米？5．国家规定年满 18 周岁不超过 70 周岁的成人才有资格申请机动车驾驶证．小学六年级的学生李明说：“我老爸有汽车驾照，他的年龄数与生辰月、日数的乘积为 2975”，请问李明的父亲多少岁？6．如图，D是BC边上一点，且BD＝2DC，DP∥CA．三角形APD的面积为 14cm2，问三角形ABC的面积是多少cm2．7．如果一个自然数既能写成两个连续自然数之和也能写成三个连续自然数之和，就成为一个“好数”．请找出 2007、2008、2009、2010、1011 中的“好数”．8．如图，大正六边形的面积是 1 平方厘米，问绿色正六边形的面积是多少平方厘米？9．袋里的红球占袋中总数的 ；再往袋里放入 40 个红球后，红球占总数的 ．问最后袋里共有多少个球？10．图中标出的 10 个角的度数总和是多少？ 【解答】解：由题意，最短路线是A→B→C→F→E→D，最短路程为 100+100+100+100+100＝500 米．答：邮递员走的最短路程是 500 米．13．在 3×3×3 的正方体玻璃支架上有 27 个单位立方体空格．每个单位立方体空格中至多放有一个彩球．要使主视图、俯视图、左视图都如图中所示．问正方体支架上至少需放多少个彩球？请你放置出来．【分析】首先分析三个图形中都是 9 个彩球，那么底面一定是 9 个，接下来放的方法要求是两面都能用上的即可．【解答】解：依题意可知：首先底面放 9 个彩图满足俯视图；接下来就是放的位置能显示在主视图和左视图中，那么就放在对角线的位置上，找到一条对角线每一个位置加上 2 个彩球即可满足条件．9+6＝15（个）答：共至少放 15 个彩球满足条件．14．如图，在正方形ABCD中，正方形AMOP的面积是 8 平方厘米，正方形CNOQ的面积是 24.5 平方厘米．问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？【分析】根据正方形AMOP的面积是 8 平方厘米，正方形CNOQ的面积是 24.5 平方厘米，分别求出对角线AO，OC的长，可得正方形ABCD的对角线，即可求出正方形ABCD的面积．【解答】解：在正方形ABCD中，正方形AMOP的面积是 8 平方厘米，所以对角线AO＝4cm，正方形CNOQ的面积是 24.5 平方厘米，所以对角线OC＝7cm，因此正方形ABCD的对角线等于 4+7＝11cm所以正方形ABCD的面积是 ＝60.5 平方厘米．答：正方形ABCD的面积是 60.5 平方厘米．15．在两个□中分别填入整数，使得 7×□+5×□＝11111 成立，请你回答，两个□中填入的整数之和能等于偶数吗？试说明理由．【分析】首先分析奇数偶数的性质，如果□中都是偶数或者都是奇数，接下来判断结果的奇偶性即可．【解答】解：依题意可知：假如两个□中的数字都是整数且都为偶数，那么 7 乘以偶数的结果为偶数，5 乘以偶数的结果还是偶数．根据偶数+偶数的结果为偶数．而 11111 是奇数，所以不可能两个□中的数字都是偶数．假如两个□中的数字都是整数且都为奇数，那么 7 乘以奇数的结果为奇数，5 乘以奇数的结果还是奇数．根据奇数+奇数的结果为偶数．而 11111 是奇数，所以不可能两个□中的数字都是偶数．综上所述所以不可能两个□中的数字和是偶数．16．如图，MN是面积为 76 平方厘米的梯形ABCD的中位线，P是下底BC上一点．问三角形MNP的面积是多少平方厘米？ 【分析】利用三角形和梯形面积公式用等量代换即可得出二者的关系，也就能求得三角形MNP的面积．【解答】解：过P点作PH⊥MN于点H，MN是中位线⇒AD+BC＝2MN，梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×2PH÷2＝2MN×2PH÷2＝2MN×PH＝76∴MN×PH＝38，S△MNP＝MN×PH÷2＝38÷2＝19（平方厘米）答：三角形MNP的面积是 19 平方厘米．17．一种电子表在 10 点 28 分 6 秒时，显示的时间如图所示．那么从 10 点至 10 点半这段时间内，电子表上六个数字都不相同的时间有　 90 　 个．【分析】在 10 点至 10 点半这段时间内，要使电子表上六个数都不相同，前三个数字显然是1，0，2．（如是 1 的话则和前面的 1 重复．）设时间为 10：2a：bc，其中b可在 3，4，5 中选择，a，c可在 3，4，5，6，7，8，9 中选择．先确定b，有 3 种选法；然后确定a，有 6 种选法；最后确定c，有 5 种选法．所以，从 10 点至 10 点半这段时间内，电子表上六个数字都不相同的时间一共有：3×6×5＝90（个）．【解答】解：在 10 点至 10 点半这段时间内，要使电子表上六个数都不相同，前三个数字显然是1，0，2．设时间为 10：2a：bc，其中b可在 3，4，5 中选择，a，c可在 3，4，5，6，7，8，9 中选择．先确定b，有 3 种选法；然后确定a，有 6 种选法；最后确定c，有 5 种选法．所以，从 10 点至 10 点半这段时间内，电子表上六个数字都不相同的时间一共有：3×6×5＝90（个）．18．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，BH与DE的交点为M，BG与DF交点为N，问 ＝？ 【分析】此题充分利用这些中点，连接两个中点，出来中位线．易得出三角形ABD与AEH、BDM与HEM是相似三角形，这样不仅得到面积之比，还得到要用的边之比，这里用三角形EHM为中间量，分别求出三角形BEM、EMH、NHD、BDM之间的面积关系．至此就可以求得所求的问题了．【解答】解：连接BD、EH，∵E、H是中点，∴BD∥EH，BD＝2EH，△EHM∽△DBM∴S△EHM：S△DBM＝1：4，BM＝2HM，设S△EHM是 1，则S△DBM是 4．∴S△EHM：S△BEM＝1：2即S△BEM＝2，同理得：S△DHM＝2，S△AEH＝S△BEH＝3，∴S△ABD：S△BDM＝12：4＝3：1，同理：S△BCD：S△BND＝3：1，∴四边形BMDN的面积与四边形ABCD的面积之比是 1：3．故： ＝ ．19．如图，五行五列共亮着的 25 个灯，共有 5 个行开关和 5 个列开关，每个开关只同时控制一行或一列的 5 个灯泡，规定每次操作都要从中选一列改变状态，再从中选一行改变状态．问能否通过有限次操作使得 25 盏灯都熄灭？【分析】每个灯都要经过奇数次操作才能熄灭，25 盏灯都要熄灭，那操作的总次数就是 25 个奇数的和，这个和还是奇数．而每次操作先选一列，再选一行，对每盏灯的操作次数总和是 10，所以无论经过多少次，这个和都是偶数．【解答】解：假如每盏灯经过奇数次操作后熄灭，那么这 25 个奇数之和是奇数．每次操作，先选一列，再选一行，对每盏灯的操作次数总和是 10，n个 10 的和是偶数．奇数不等于偶数，故不能通过有限次操作使得 25 盏灯都熄灭．20．如图，P为正六边形ABCDEF的AB边上一点，PM∥CD交EF于M，PN∥BC交CD于N．红、蓝两个小精灵从N点同时出发沿五边形NPMED周界和六边形CBAFED周界匀速行走，各绕一周后同时回到N点．问：蓝精灵的速度是红精灵速度的多少倍？ 【分析】先得出蓝精灵和红精灵的路程，再由速度的比等于路程的比即可得出结论．【解答】解：如图， 设正六边形的边长为a，则蓝精灵走一周的路程为 6a，连接BE交PN于H，过点作AO∥EF，所以，四边形MEOG是平行四边形，BCNH是平行四边形，△PBH是等边三角形，所以，AF＝MG，AG＝PG＝AP，BP＝PH，BH＝CN，红精灵走一圈的路程为MP+PN+ND+DE＝MG+PG+PH+NH+ND+DE＝AF+AP+BP+BC+CN+DN+DE＝AF+AB+BC+CD+DE＝5a，所以蓝精灵的速度是红精灵速度的 ＝1.2 倍．答：蓝精灵的速度是红精灵速度的 1.2 倍．21．将 33 写成n个连续自然数之和，当n取得最大值时，将写成的和式中的所有“+”号全变为“×”号后，其乘积等于多少？【分析】由题意，3+4+5+6+7+8＝33，将写成的和式中的所有“+”号全变为“×”号后，即可求出乘积．【解答】解：由题意，3+4+5+6+7+8＝33，∴3×4×5×6×7×8＝3960．下半场（共 13 小题，满分 0 分）22．将长方形ABCD绕点A顺时针旋转 90°，边CD扫过的面积如图中阴影所示，请用无刻度直尺、圆规为工具在图中画出一个圆，使它的面积等于中阴影部分的面积．【分析】可以先求得阴影部分的面积，而阴影部分的面积可以用整个图形的面积减去空白部分的面积，整个图形的面积等于 圆的面积与长方形的面积之和，空白部分的面积等于 圆的面积与长方形的面积之和，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如图，蓝色阴影部分的面积＝ π×AC2+AB×AD﹣（AD2+AB×AD）＝ ＝ ＝π×（AB）2， 显然，影响部分的面积等于以AB为半径的圆的面积．23． ＝1在上面的算式中，不同的汉字代表 0﹣9 中不同的数字．若已知“同心＝10”，问：振+兴+中+华＝？【分析】0～9 共 10 个数字，同心＝10，即只剩下 2～9，这 8 个数字，二这 8 个数字的和是一定的，为 44，可以把“振+兴+中+华“的作为一个整体x，把“两+岸+四+地”也作为一个整体y，进而可以算出x的值【解答】解：根据分析，设振+兴+中+华＝x，两+岸+四+地＝y则 …①又∵x+y＝2+3+4+5+6+7+8+9＝44…②由①②得出即：振+兴+中+华＝27故答案是：2724．给出字谜算式：（ + + ）×（ ﹣（金+坛+翻+番））＝2010其中不同的汉字代表 0﹣9 中的不同数字，相同的汉字代表相同数字，使得等式成立．请你写出一种使等式成立的填数法．【分析】先将 2010 分解质因数，再一一带入数字验算即可【解答】解：根据分析，分解质因数：2010＝2×3×5×67＝134×15＝201×10＝335×6＝67×30由题意，① ，②若 ，则 ；67＝14+36+17，30＝46﹣（9+2+0+5）符合题意③ ＝23+91+20则 ＝15＝41﹣（6+7+8+5）符合题意＝23， ＝91， ＝20， ＝41，金＝6，坛＝7，翻＝8，番＝5④ ，则 ＝58， ＝90， ＝53，＝28﹣（7+6+4+1）＝10故答案是：（23+91+20）×（41﹣（6+7+8+5））＝2010；（14+36+17）×（46﹣（9+2+0+5））＝2010；（58+90+53）×（28﹣（6+7+4+1））＝201025．现有 11 个齿轮如图啮合在一起．问这样一个齿轮系统能否转动起来？试说明理由． 【分析】要使这 11 个齿轮转动起来，必须使每个齿轮转动的方向一致，而由图可知，转起来方向一致的个数不是 11 个，故不能转起来．【解答】解：根据分析，如图：显然，若转动起来，齿轮E转动，则A和C之间的距离太小，E将不能转动，会被脱落，同理，齿轮A，D，都是不能转动，综上，这样一个齿轮系统不能转动起来．故答案是：不能．26．将某同学生日的月份数与 31 的乘积、日数与 12 的乘积相加，得到和为 376．问这位同学的生日是几月几号．【分析】假设某同学的生日是X月Y日，以题意有方程 31X+12Y＝376，这个方程的正整数解，就是生日，于是问题转化为求不定方程的正整数解．【解答】解：假设某同学的生日是X月Y日，根据题意有方程 31X+12Y＝376，即 31X＝376﹣12Y（其中X、Y都是正整数，X是 1～12，Y是 1～31）由于方程右边能被 4 整除，所以左边也应能被 4 整除，由于 4 与 31 互质，所以X必能被 4 整除，X只能为 4，8，12 之一，检验知，只有X＝4 满足，这时Y＝21，所以，该同学的生日是 4 月 21 日．答：这位同学的生日是 4 月 21 日．27．将半径分别为 1cm，3cm，5cm的三个半圆形量角器的圆心重合于O，直径也重合在一条直线上，如图所示．记甲、乙两块阴影截扇形与半圆丙的面积分别为S甲，S乙，S丙，求S甲：S乙：S丙．【分析】显然甲乙丙的面积之比，可以先分别求得甲乙丙的面积，而甲乙丙为三个不同圆心角的扇形，通过图中标示的弧度，不难求得甲乙丙的面积．【解答】解：根据分析，因丙为一个半圆，故丙的面积S丙＝ ＝ π；乙的圆心角的度数为：120°﹣60°＝60°，故乙的面积S乙＝ ＝π； 甲的圆心角度数为：108°﹣72°＝36°，故甲的面积S甲＝ ＝，∴S甲：S乙：S丙＝（ ）：（ ）：（ ）＝48：40：15，故答案是：48：40：15．28．某城市网上挑选机动车号牌编码规则为：号牌后五位必须有两个英文字母（其中字母I，O不可用）且最后一位必须为数字．问：满足规定的编码共有多少个？【分析】由题意，可供挑选的英文字母有 26﹣2＝24 个，且只能在一至第四位上的两个位置出现，而其余两个位置以及第五位则出现数字，利用乘法原理可得结论．【解答】解：由题意，可供挑选的英文字母有 26﹣2＝24 个，且只能在一至第四位上的两个位置出现，而其余两个位置以及第五位则出现数字．两个字母为前 4 位中占 2 位，共 6 种方法．每个字母有 24 种选法，其余 3 个位置是数字，每个数字有 10 种选法，所以满足规定的编码共有 6×24×24×10×10×10＝345600 个．答：满足规定的编码共有 345600 个．29．机器人在长为 16 米宽为 8 米的长方形场地上，沿图示的小路按箭头的指向进行表演行走．问当机器人从A处走到B处时共走了多少米的路程？假设图中相邻的两条平行小路之间的宽度都是 1 米（B点与竖直路段最近的距离也是 1 米）【分析】首先根据圈数计算，一共是 4 圈和一个长，分别枚举出每一条边长和宽即可．【解答】解：依题意可知：第一圈路程和 16+8+16+7＝47（米）．第二圈的路程和为：15+6+14+5＝40（米）．第三圈的路程和为：13+4+12+3＝32（米）．第四圈的路程和为：11+2+10+1＝22（米）．最后一条直线为：9 米．路程和为：47+40+32+22+9＝150（米）．答：从A处走到B处时共走了 150 米的路程．30．如图为金坛市政区图，现在用棕、绿、黄、粉四种颜色给该市未涂彩色的四个政区涂色．如果要求相邻（有公共边界）政区的颜色不同，则共有多少种涂色方法？ 【分析】根据题意，分类讨论，①直溪镇与指前镇同色．②直溪镇与指前镇异色，由分类加法原理，计算可得答案．【解答】解：分两种情况：①直溪镇与指前镇同色给直溪镇与指前镇染色：有 3 种情况；给朱林镇染色：2 种情况；给薛埠镇染色：2 种情况，共计 3×2×2＝12 种；②直溪镇与指前镇异色给直溪镇与指前镇染色：有 6 种情况；给朱林镇染色：1 种情况；给薛埠镇染色：1 种情况，共计 6×1×1＝6 种；综上所述，共有 12+6＝18 种染色方法．31．由数字 0，1，2（既可全用也可不全用）组成的大于 1000 的自然数，按照从小到大，2010 排在第几个？【分析】由数字 0，1，2（既可全用也可不全用）组成的大于 1000 的自然数，按照从小到大，首位是 1，共有 3×3×3﹣1＝26 个，首位是 2，最小的是 2000，然后 2001，2002，2010，即可得出结论．【解答】解：由数字 0，1，2（既可全用也可不全用）组成的大于 1000 的自然数，按照从小到大，首位是 1，共有 3×3×3﹣1＝26 个，首位是 2，最小的是 2000，然后 2001，2002，2010所以 2010 是第 26+4＝30（个）．答：2010 排在第 30 个．32．如图，P为正方形ABCD内一点，并且∠APB＝90°，AC，BD交于O，已知AP＝3cm，BP＝5cm．求三角形OBP的面积．【分析】由题目中的已知条件可分别求出AB、AO、BO，以及三角形AOB、APB的面积分别为17÷2、15÷2；再利用等量关系求和相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求得S△OBE为 17X＝ ，则S△PAE是 9X＝9× ＝ ；然后用三角形的面积公式求PE和OE的长度为 ；再后用△OEH∽△AEP，求出OH＝$\frac{\sqrt{17}}{4}×3÷\frac{3\sqrt{17}}{4}＝1；最后即可求得所求三角形的面积．【解答】解：∵正方形ABCD的AC，BD交于O，∠APB＝90°∴AO：AB＝1：：√2，AB＝√32+52，BO＝AO＝√17∵△OBE∽△PAE∴S△OBE：S△PAE＝BO2：AP2＝√172：32＝17：9 设S△OBE为 17X，则S△PAE是 9X∵S△AEB＝S△AOB﹣S△OBE＝SABE﹣S△PAE∴√17×√17÷2﹣17X＝3×5÷2﹣9X解得：X＝ ，S△OBE＝17X＝ ，S△APE＝9X＝9× ＝ ，PE＝ ×2÷3＝ ，OE＝＝∵△OEH∽△AEP∴OH＝$\frac{\sqrt{17}}{4}×3÷\frac{3\sqrt{17}}{4}＝1∴S△BPO＝BP×OH÷2＝5×1÷2＝2.5答：三角形OBP的面积是 2.5 平方厘米．33．如图，房间里有一只老鼠，门外有一只猫，立在北墙根第三块地板砖的右上角点．整个底面由 80块大小相同的正方形地板铺成，那么小猫能监控到的范围占整个地板面积的百分之多少？（小猫和老鼠分别看作两个点，墙的厚度忽略不计）【分析】可以设每块地板的长为 1 份，先算出小猫监控不到的地方的面积所占份数，再用整个底面的总面积减去后即可得到监控到的面积总和，再求百分比．【解答】解：根据分析，设每块地板的长为 1 份，如图：底面图中，DE为门的宽，A为猫所在位置，连接AE延长交FH于C点，连接AD延长交PH于B点，由图可知，猫监控不到的区域为四边形EGFC和三角形DBM所占的面积，由题意得：FN＝10 份，NG＝FG＝PM＝HM＝5 份，NP＝FH＝8 份，AN＝3 份，AG＝2 份，DE＝2 份，DM＝4 份，∵ ； ，∴FC＝ ＝7 份，MB＝ ＝2 份，∴ ＝ ＝ ； ；小猫监控到的区域面积＝S矩形NFHP﹣S四边形GFCE﹣S△DBM＝10×8﹣ ﹣4＝ ，故小猫能监控到的范围占整个地板面积的百分比＝ ＝66.875%．故答案是：66.875%．34．在每个人心里都默记住两个不等于 0 的数．算出这两个数和的平方，其结果记做“共”，算出这两个数差的平方，其结果记做“迎”；再算出这两个数的乘积，记做“接”．请你你的“共”，“迎”，“接”来计算式子： （ ）2＝？．请大家一起同声回答．【分析】（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．首先要掌握着两个展开式再进行计算．【解答】解：设这两个数为a，b．共＝（a+b）2，迎＝（a﹣b）2，接＝ab＝＝＝＝4原式＝ ＝42＝16答：是 16声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:43:59；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800 11．将分别写有华、杯、赛、好的四张卡片，选出其中三张，字面朝下依次摆在桌子上．甲、乙、丙三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况如下： 第一张 第二张 第三张 甲 华 杯 赛 乙 华 好 杯 丙 赛 华 好结果是一人全对，一人全错，另外一人只对一个．请指出全猜错的是谁？12．如图，A是邮局，B，C，D，E，F是五户人家．相邻两家的路程如图标所示，邮递员从邮局出发要给这 5 户人家送信（每家都有信），要求最后把信送到D户．问：邮递员走的最短路程是多少米？13．在 3×3×3 的正方体玻璃支架上有 27 个单位立方体空格．每个单位立方体空格中至多放有一个彩球．要使主视图、俯视图、左视图都如图中所示．问正方体支架上至少需放多少个彩球？请你放置出来．14．如图，在正方形ABCD中，正方形AMOP的面积是 8 平方厘米，正方形CNOQ的面积是 24.5 平方厘米．问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？15．在两个□中分别填入整数，使得 7×□+5×□＝11111 成立，请你回答，两个□中填入的整数之和能等于偶数吗？试说明理由．16．如图，MN是面积为 76 平方厘米的梯形ABCD的中位线，P是下底BC上一点．问三角形MNP的面积是多少平方厘米？17．一种电子表在 10 点 28 分 6 秒时，显示的时间如图所示．那么从 10 点至 10 点半这段时间内，电子表上六个数字都不相同的时间有　 　个． 18．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，BH与DE的交点为M，BG与DF交点为N，问 ＝？19．如图，五行五列共亮着的 25 个灯，共有 5 个行开关和 5 个列开关，每个开关只同时控制一行或一列的 5 个灯泡，规定每次操作都要从中选一列改变状态，再从中选一行改变状态．问能否通过有限次操作使得 25 盏灯都熄灭？20．如图，P为正六边形ABCDEF的AB边上一点，PM∥CD交EF于M，PN∥BC交CD于N．红、蓝两个小精灵从N点同时出发沿五边形NPMED周界和六边形CBAFED周界匀速行走，各绕一周后同时回到N点．问：蓝精灵的速度是红精灵速度的多少倍？21．将 33 写成n个连续自然数之和，当n取得最大值时，将写成的和式中的所有“+”号全变为“×”号后，其乘积等于多少？下半场（共 13 小题，满分 0 分）22．将长方形ABCD绕点A顺时针旋转 90°，边CD扫过的面积如图中阴影所示，请用无刻度直尺、圆规为工具在图中画出一个圆，使它的面积等于中阴影部分的面积．23． ＝1在上面的算式中，不同的汉字代表 0﹣9 中不同的数字．若已知“同心＝10”，问：振+兴+中+华＝？24．给出字谜算式：（ + + ）×（ ﹣（金+坛+翻+番））＝2010 其中不同的汉字代表 0﹣9 中的不同数字，相同的汉字代表相同数字，使得等式成立．请你写出一种使等式成立的填数法．25．现有 11 个齿轮如图啮合在一起．问这样一个齿轮系统能否转动起来？试说明理由．26．将某同学生日的月份数与 31 的乘积、日数与 12 的乘积相加，得到和为 376．问这位同学的生日是几月几号．27．将半径分别为 1cm，3cm，5cm的三个半圆形量角器的圆心重合于O，直径也重合在一条直线上，如图所示．记甲、乙两块阴影截扇形与半圆丙的面积分别为S甲，S乙，S丙，求S甲：S乙：S丙．28．某城市网上挑选机动车号牌编码规则为：号牌后五位必须有两个英文字母（其中字母I，O不可用）且最后一位必须为数字．问：满足规定的编码共有多少个？29．机器人在长为 16 米宽为 8 米的长方形场地上，沿图示的小路按箭头的指向进行表演行走．问当机器人从A处走到B处时共走了多少米的路程？假设图中相邻的两条平行小路之间的宽度都是 1 米（B点与竖直路段最近的距离也是 1 米）30．如图为金坛市政区图，现在用棕、绿、黄、粉四种颜色给该市未涂彩色的四个政区涂色．如果要求相邻（有公共边界）政区的颜色不同，则共有多少种涂色方法？31．由数字 0，1，2（既可全用也可不全用）组成的大于 1000 的自然数，按照从小到大，2010 排在第几个？32．如图，P为正方形ABCD内一点，并且∠APB＝90°，AC，BD交于O，已知AP＝3cm，BP＝5cm．求三角形OBP的面积． 33．如图，房间里有一只老鼠，门外有一只猫，立在北墙根第三块地板砖的右上角点．整个底面由 80块大小相同的正方形地板铺成，那么小猫能监控到的范围占整个地板面积的百分之多少？（小猫和老鼠分别看作两个点，墙的厚度忽略不计）34．在每个人心里都默记住两个不等于 0 的数．算出这两个数和的平方，其结果记做“共”，算出这两个数差的平方，其结果记做“迎”；再算出这两个数的乘积，记做“接”．请你你的“共”，“迎”，“接”来计算式子：（ ）2＝？．请大家一起同声回答．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛团体赛试卷（口试）参考答案与试题解析上半场（共 21 小题，满分 0 分）1． ＝15上面的算式中，不同的汉子代表 1﹣9 中的不同数字，当三位数“华杯赛”取得最大值时，请你写出一种使等式成立的填数法．【分析】首先分析因为分数值是 15，所以分子必须是 15 的倍数，而且要求三位数的数值最大，那么这个三位数是 975．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：①因为分数值是 15，所以分子必须是 15 的倍数，而且要求三位数的数值最大，那么这个三位数是 975．②所以就有 975÷15＝65 所以分母数值就是 65，剩余的数字是 1，2，3，4，6，8．③如果是 6×8＝48 其他数字和为 17 不行，如果是 4×8＝32 其他数字是 33 不行，如果是 3×8＝24 那么其他数字和是 41 也不行．2×8+43+1×6＝65 满足条件．故答案为：9752．如图所示，周长为 3 厘米的圆中有一个内接正六边形．阴影部分是由以正六边形 6 个顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧围成的，求阴影部分的周长等于多少厘米？【分析】按题意，可以将图中阴影部分分割成面积相等的弧，利用正六边形的边长求得弧的周长，而每段弧所对的圆心角为 120°，不难求得弧的长．【解答】解：根据分析，图中阴影部分可以分成 6 个度数为 120°的弧形， 每一段弧的长＝ ＝2π，故阴影部分的周长＝6×2π＝12π．故答案是：12π．3．班级小书架共有 12 本科普读物．据统计，数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本，而每本科普读物都恰被 3 名数学小组的成员借阅过．问：这个数学小组共有多少人？【分析】因为小书架共有 12 本科普读物，而每本科普读物都恰被 3 名数学小组的成员借阅过，所以共被借阅过 12×3＝36（人次），设数学小组共有x人，由于数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本，所以共被借阅 2x人次，由此可得 2x＝36，然后解答即可．【解答】解：设数学小组共有x人，每本科普读物都恰被 3 名数学小组的成员借阅过，所以共被借阅过 12×3＝36（人次），由于数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本，所以共被借阅 2x人次，所以，2x＝36，解得：x＝18，答：这个数学小组共有 18 人．4．如图，有一个圆和三个正方形，中间正方形的顶点都在圆上，圆与最大正方形的交点以及最小正方形的顶点都是所在线段的中点．最大正方形的面积是 12 平方厘米，问：最小正方形的面积是多少平方厘米？【分析】把原图形绕中心O旋转圆面，使的点P重合于E，于是点Q重合于F，点S重合于G，点T重合于H，成上图，由于PQTS是所在线段的中点，很容易看出SPQST＝SABCD，同理可得，SIJKL＝SPQST，然后进一步解答即可．【解答】解：根据分析可得，SIJKL＝SPQST＝ （SABCD）＝SABCD＝ ×12＝3（平方厘米）答：最小正方形的面积是 3 平方厘米．5．国家规定年满 18 周岁不超过 70 周岁的成人才有资格申请机动车驾驶证．小学六年级的学生李明说：“我老爸有汽车驾照，他的年龄数与生辰月、日数的乘积为 2975”，请问李明的父亲多少岁？【分析】李明是小学六年级的学生大约是 12 岁左右，法定结婚年龄 22 岁，所以爸爸的年龄一定大于 30 岁．年龄数×生辰月数×日数＝2975，然后把 2975 分解质因数，即 2975＝5×5×7×17，根 据质因数讨论即可．【解答】解：李明是小学六年级的学生大约是 12 岁左右，法定结婚年龄 22 岁，所以爸爸的年龄一定大于 30 岁．2975＝5×5×7×17把 5、5、7、17 这四个因数，要组合成生辰月、日数、年龄，由于爸爸的年龄要大于 30 岁，所以只能是 5×7＝35 岁，符合题意；月数最大是 12，所以月数是 5，则日数是 17；答：李明的父亲 35 岁．6．如图，D是BC边上一点，且BD＝2DC，DP∥CA．三角形APD的面积为 14cm2，问三角形ABC的面积是多少cm2．【分析】连接PC，因为，DP∥CA，又等底等高的三角形面积相等，所以，S△PCD＝S△APD＝14，又因为，BD＝2DC，等高的两个三角形面积比等于底的长度比，所以S△PBD是S△PCD的 2 倍，由此求出S△ABD的面积，然后再求三角形ABC的面积即可．【解答】解：连接PC，见上图，因为，DP∥CA，所以，S△PCD＝S△APD＝14，又因为，BD＝2DC，所以，S△PBD＝2×14＝28（平方厘米），所以，S△ABD＝S△PBD+S△APD＝28+14＝42（平方厘米），所以，S△ABC＝ ×S△ABD＝ ×42＝63（平方厘米），答：三角形ABC的面积是 63 平方厘米．7．如果一个自然数既能写成两个连续自然数之和也能写成三个连续自然数之和，就成为一个“好数”．请找出 2007、2008、2009、2010、1011 中的“好数”．【分析】两个连续自然数它们一定是一个偶数、一个奇数，它们的和一定是一个奇数，所以首先排除偶数；由三个连续自然数的和一定是 3 的倍数，再根据 3 的倍数的特点，各个位上数字和是 3的倍数，找出奇数中是 3 的倍数的数，就是一个好数．【解答】解：两个连续自然数之和一定是奇数，那么 2008，2010 一定不是好数；2007 中 2+0+0+7＝9，9 是 3 的倍数，所以 2007 是 3 的倍数，它可以化成 3 个连续自然数的和，它是一个好数；即：2007＝1003+1004＝668+669+670；2009 中 2+0+0+9＝11 不是 3 的倍数，所以 2009 不是 3 的倍数，它不是一个好数；1011 中 1+0+1+1＝3，3 是 3 的倍数，所以 1011 是 3 的倍数，它是一个好数，即：1011＝505+506＝336+337+338．答：这其中的好数有 2007，1011．8．如图，大正六边形的面积是 1 平方厘米，问绿色正六边形的面积是多少平方厘米？ 【分析】首先分析正六边形的特点，然后根据割补法即可求解．【解答】解：依题意可知：1 和 2 和 3 是等底同高面积相等，同时面积 2 和 4 是相同的，那么图中的所以面积都是相等的．共是 18 份．阴影部分的面积是 6 块，所以阴影的面积是整个图形的 ．1× ＝ （平方厘米）综上所述绿色正六边形的面积是 平方厘米．9．袋里的红球占袋中总数的 ；再往袋里放入 40 个红球后，红球占总数的 ．问最后袋里共有多少个球？【分析】增加 40 个红球后红球的数量和球的总数量都发生了变化，不变的是其它颜色的球，把其它颜色球的个数看成单位“1”；袋里的红球占袋中总数的 ，其它颜色的球就占总数的 1﹣＝ ，那么红色球就占其它颜色球个数的 ÷ ＝ ；同理可得后来红球是其它颜色球的： ÷（1﹣ ）＝3 倍，那么增加的 40 个红球就是其它颜色球个数的（3﹣ ），由此根据分数除法的意义求出其它颜色球的个数，进而求出后来的总个数．【解答】解： ÷（1﹣ ）＝ ÷＝ ；÷（1﹣ ）＝ ÷＝340÷（3﹣ ）＝40÷＝18（个）18÷（1﹣ ）＝18÷ ＝72（个）答：最后袋里共有 72 个球．10．图中标出的 10 个角的度数总和是多少？【分析】首先直接分析内角不容易，转换分析外角和为 720 度，再根据互补即可求解．【解答】解：依题意可知如图所示：首先观察这个图形的外角和是走 2 圈，走一圈外角和为 360 度，2 圈即是 720 度．那么外角分别是 180﹣∠1＝∠a．所有的外角就是 180×10﹣（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10）＝720所有内角和为 1800﹣720＝1080．答内角和为 1080 度．11．将分别写有华、杯、赛、好的四张卡片，选出其中三张，字面朝下依次摆在桌子上．甲、乙、丙三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况如下： 第一张 第二张 第三张 甲 华 杯 赛 乙 华 好 杯 丙 赛 华 好结果是一人全对，一人全错，另外一人只对一个．请指出全猜错的是谁？【分析】按题意，一人全对，另外一人只对一个，可以得出，这两人肯定有一张的答案是一样的，从表可以看出，答案是一样的只有第一张，甲乙的答案相同，故可得出全错的人．【解答】解：根据分析，一人全对，另外一人只对一个，可以得出，这两人肯定有一张的答案是一样的，从表可以看出，答案是一样的只有第一张，甲乙的答案相同，故可知全对的和只对一个的是甲乙二人，而全错的肯定就是丙．故答案是：丙．12．如图，A是邮局，B，C，D，E，F是五户人家．相邻两家的路程如图标所示，邮递员从邮局出发要给这 5 户人家送信（每家都有信），要求最后把信送到D户．问：邮递员走的最短路程是多少米？【分析】由题意，最短路线是A→B→C→F→E→D，由此即可解决问题．