2013 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题（共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）1．（8 分）计算：2013÷2.2×（ ﹣ ）的计算结果是　 　．2．（8 分）图中，两个圆心角是 90°的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上，它们的圆心都在同一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是 1：3：4，那么阴影图形面积占整个图形面积的　 　%3．（8 分）老师将写有 1～9 的 9 张卡片发给甲、乙、丙 3 个学生，每人 3 张．甲说：我的三张卡片上的数字恰好是等差数列；乙说：我的也是；丙说：就我的不是等差数列．如果他们说的都是对的，那么丙手中拿的三张卡片数字之后最小是　 　．4．（8 分）迎春小学六年级同学在某次体育达标测试中，达标的有 900 人，参加测试但未达标的占参加测试的同学人数的 25%，因故没有参加体育达标测试的占该年级全体同学人数的 4%．没有参加体育达标测试的有　 　人．5．（8 分）在如图的除法竖式中被除数是　 　．二、填空题（共 5 小题，每小题 10 分，满分 50 分）6．（10 分）算式： + + +…+ 的计算结果是　 　．7．（10 分）黑板上有 1﹣2013 共 2013 个数，每次可以擦掉其中两个数，并且写上这两数之和的数字和，一直最后黑板上剩下四个数，其乘积为 27，那么这四个数的和是　 　．8．（10 分）定义：△a＝a+（a+1）+（a+2）+…+（2a﹣2）+（2a﹣1），例如：△5＝5+6+7+8+9，那么，△1+△2+△3+…+△19+△20 的计算结果是　 　．9．（10 分）将 1﹣16 填入 4×4 的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面的大．其中 4 和 13 已经填好，其余 14 个整数有　 　种不同的填法．10．（10 分）n名海盗分金币．第 1 名海盗先拿 1 枚金币，再拿剩下金币的 1%；然后，第 2 名海盗先拿2 枚，再拿剩下金币的 1%；第 3 名海盗先拿 3 枚，再拿剩下金币的 1%；…第n名海盗先拿n枚，再拿剩下金币的 1%．结果金币全被分完，且每位海盗拿的金币都一样多．那么共有金币　 　．三、填空题（共 4 小题，每小题 12 分，满分 48 分）11．（12 分）图中，长方形ABCD的面积是 2013 平方厘米．△AOD、△BOC、△ABE、△BCF、△CDG、△ADH都是等边三角形，M、N、P、Q分别是△ABE、△BCF、△CDG、△ADH的中心．那么阴影部分的面积是　 　平方厘米． 12．（12 分）甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向匀速而行，当甲、乙在途中C地相遇时，丙从B地出发，匀速去A地，当甲与丙在D地相遇时，甲立即调头且速度降为原来的 80%，当甲、丙同时从A地时，乙离A地还有 720 米，如果CD间的路程是 900 米，那么AB间的路程是　 　米？13．（12 分）有 16 名学生，他们做成一个 4×4 的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分公布后，每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右，如坐在角上的同学只有 2 人与他相邻）进行比较，如果最多只有 1 名同学的成绩高于他，那么他会认为自己是“幸福的”．则最多有　 　名同学会认为自己是“幸福的”．14．（12 分）现有一个立方体ABCD﹣EFGH，将其过B点的三个表面的正方形染成红色，现在剪开其中的若干条棱得到它的平面展开图，若展开图中三个红色正方形都没有公共边，那么共有　 　种不同的剪法．（剪开的棱相同但剪的顺序不同的算作同一种剪法）2013 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题（共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）1．（8 分）计算：2013÷2.2×（ ﹣ ）的计算结果是　 732 　 ．【解答】解：2013÷2.2×（ ﹣ ）＝2013÷ ×＝2013× ×＝732；故答案为：732．2．（8 分）图中，两个圆心角是 90°的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上，它们的圆心都在同一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是 1：3：4，那么阴影图形面积占整个图形面积的　 32 　 %【解答】解：依题意可知：设三个圆的半径分别为 1，3，4．整个图形的面积为： π×4×4+ π×3×3＝12.5π．阴影部分的面积为： （π×3×3﹣π×1×1）＝4π． 所以阴影部分占整个商标的面积的 ＝32%．故答案为：323．（8 分）老师将写有 1～9 的 9 张卡片发给甲、乙、丙 3 个学生，每人 3 张．甲说：我的三张卡片上的数字恰好是等差数列；乙说：我的也是；丙说：就我的不是等差数列．如果他们说的都是对的，那么丙手中拿的三张卡片数字之后最小是　 9 　 ．【解答】解：根据分析，甲、乙三张都是等差数列，其和一定是 3 的倍数，9 张和为 1+2+3+…+9＝45，也是 3 的倍数，丙的和一定是 3 的倍数，丙最小不能取 6＝（1+2+3）丙至少为 9，经试验是可以的，甲、乙分别是：（9，8，7）和（5，4，3），丙为：（1，2，6）丙的卡片数字之和最小是：1+2+6＝9故答案为：94．（8 分）迎春小学六年级同学在某次体育达标测试中，达标的有 900 人，参加测试但未达标的占参加测试的同学人数的 25%，因故没有参加体育达标测试的占该年级全体同学人数的 4%．没有参加体育达标测试的有　 50 　 人．【解答】解：900÷（1﹣25%）÷（1﹣4%）×4%＝1200÷96%×4%＝1250×4%＝50（人）答：没有参加体育达标测试的有 50 人．故答案为：50．5．（8 分）在如图的除法竖式中被除数是　 2582 　 ．【解答】解：依题意可知：乘积个位为 3 的有 1×3 组合和 7×9 组合．再根据已知数字 0 和前面的数字，被减后没有余数那么只能是数字 2 满足条件．再根据余数填写处第二个乘积的结果的后两位数字是 83；如果是 ×3，只能是 61，但是此时乘积不能得到 200 多．如果是 ×9，构成后两位是 83，那么a＝8 满足条件．但是 87 的倍数不能得到 200 多点．如果是 ×7，构成后两位是 83 的，那么a＝6，且 69 的 3 倍是 207 满足条件．即 69×37+29＝2582．故答案为：2582．二、填空题（共 5 小题，每小题 10 分，满分 50 分）6．（10 分）算式： + + +…+ 的计算结果是　 108 　 ．【解答】解： + + +…+ ＝ + + +…+＝2×2+2×3+2×4+…+2×10＝2×（2+3+4+…+10）＝2×（2+10）×9÷2＝2×12×9÷2＝108答： + + +…+ 的计算结果是 108．故答案为：108．7．（10 分）黑板上有 1﹣2013 共 2013 个数，每次可以擦掉其中两个数，并且写上这两数之和的数字和，一直最后黑板上剩下四个数，其乘积为 27，那么这四个数的和是　 30 　 ．【解答】解：根据分析，一个数除以 9 的余数等于这个数各位数字之和除以 9 的余数，每次操作将数的和变为数字和，不改变除以 9 的余数，1+2+3+…+2013＝2014×2013÷2＝1007×2013，则剩下的这四个数的和除以 9 也余 3，将 27 拆成四个数的乘积，27＝3×3×3×1＝3×9×1×1＝27×1×1×1，和分别为 10，14，30，只有 30 除以 9 余 3，所以这个数的和为 30．故答案为：30．8．（10 分）定义：△a＝a+（a+1）+（a+2）+…+（2a﹣2）+（2a﹣1），例如：△5＝5+6+7+8+9，那么，△1+△2+△3+…+△19+△20 的计算结果是　 4200 　 ．【解答】解：根据分析，将所有这些数填入一个表中，便于观察，如图：第 1 行代表△1，第 2 行代表△2，第 3 行代表△3，第 20 行代表△20，为方便观察，将此表顺时针旋转 135°，如图 2，此时每行的平均数均为 20，表中共有 1+2+…+20＝210 个数，所以和为210×20＝42009．（10 分）将 1﹣16 填入 4×4 的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面的大．其中 4 和 13 已经填好，其余 14 个整数有　 1120 　 种不同的填法．【解答】解：左上角四个格和右下角的四个格各有两种填法， 剩下的左下角和右上角四个格四个格，还有 8 个数未填，此时可以任选 4 个，填在其中的四个格中，每四个数都有 2 种填法，所以共有 2×2× ×2×2＝1120 种填法．故答案为 1120．10．（10 分）n名海盗分金币．第 1 名海盗先拿 1 枚金币，再拿剩下金币的 1%；然后，第 2 名海盗先拿2 枚，再拿剩下金币的 1%；第 3 名海盗先拿 3 枚，再拿剩下金币的 1%；…第n名海盗先拿n枚，再拿剩下金币的 1%．结果金币全被分完，且每位海盗拿的金币都一样多．那么共有金币　 9801 　 ．【解答】解：依题意可知：第n名海盗先拿走n枚，再那剩下的 1%，结果金币倍全部拿完．说明剩下的金币为 0．第n名海盗拿走的实际就是n枚．第n﹣1 名海盗先拿走n﹣1 枚，再拿走剩下的 1%，由于每个海盗拿的一样多，所以剩下的金币的 1%是 1 枚，那么剩下的 99%就是 99 枚．故n＝99，每个人拿走 99 枚，共有 99 个人．99×99＝9801．故答案为：9801．三、填空题（共 4 小题，每小题 12 分，满分 48 分）11．（12 分）图中，长方形ABCD的面积是 2013 平方厘米．△AOD、△BOC、△ABE、△BCF、△CDG、△ADH都是等边三角形，M、N、P、Q分别是△ABE、△BCF、△CDG、△ADH的中心．那么阴影部分的面积是　 2684 　 平方厘米．【解答】解：如图，连接AM、OM、OQ，OQ交AD于点K，∵Q为等边△ADH的中心，△AOD与△ADH完全一样，∴QK＝OK∴OQ＝OK，△OQM的高为OQ，底为OM，△AOD的高为OK，底为AD，由于OM＝AD，∴S△OQM＝ ；又 ， ，∴ ＝2684（平方厘米）．故答案是：2684． 12．（12 分）甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向匀速而行，当甲、乙在途中C地相遇时，丙从B地出发，匀速去A地，当甲与丙在D地相遇时，甲立即调头且速度降为原来的 80%，当甲、丙同时从A地时，乙离A地还有 720 米，如果CD间的路程是 900 米，那么AB间的路程是　 5265 　 米？【解答】解：甲速度降为原来的 80%，与丙同时到达A地，则甲丙速度比为：5：4，因此甲从C到D走 900 米，则丙从B到D走：900× ＝72（0 米）甲从A回到A走了两个（全程﹣720 米），同样时间内乙走了一个（全程﹣720 米），甲走的第二个是用 80%的速度走的，是用相当于用原速走了 个（全程﹣720 米），所以甲乙的速度比为：9：4，甲乙相遇时乙从B到C走了：900+720＝1620 米，所以全程为：1620× ＝5265（米）答：那么AB间的路程是 5265 米．故答案为：5265．13．（12 分）有 16 名学生，他们做成一个 4×4 的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分公布后，每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右，如坐在角上的同学只有 2 人与他相邻）进行比较，如果最多只有 1 名同学的成绩高于他，那么他会认为自己是“幸福的”．则最多有　 12 　 名同学会认为自己是“幸福的”．【解答】解：每个 2×2 的方格中最多有 3 个人“幸福”，所以 16 个人中，最多有 16× ＝12 个人“幸福”，构造如下图．其中 16 到 5 号共 12 个人是“幸福的”．故答案为 12．14．（12 分）现有一个立方体ABCD﹣EFGH，将其过B点的三个表面的正方形染成红色，现在剪开其中的若干条棱得到它的平面展开图，若展开图中三个红色正方形都没有公共边，那么共有　 54 　 种不同的剪法．（剪开的棱相同但剪的顺序不同的算作同一种剪法）【解答】解：根据分析，将一个立方体沿棱剪开得到平面展开图需要剪开 7 条棱，因为剪开后，三个红色正方形没有公共边，那么需要把BA、BF、BC剪开，下面对HD、HE、HG三条棱是否剪开进行分类：①HD、HE、HG中剪开 1 条棱，有 3 种情况；不妨设剪开HD，还需要剪开DA、DC、EA、EF、GH、GC中的 3 条棱．其中DA、DC两条棱中选择一条剪开，有 2 中情况；EA、EF两条棱中选择一条剪开，有 2 种情况；GH、GC两条棱中选择一条剪开，有 2 种情况；共有 3×2×2×2＝24 种情况．②HD、HE、HG中剪开 2 条棱，有 3 种情况，不妨设剪开HE、HG， 还需要剪开DA、DC、EA、EF、GH、GC中的 2 条棱．其中DA、DC两条棱中选择一条剪开，有 2 种情况；EA、EF、GH、GC四条棱中选择一条剪开，有 4 种情况；共有 3×2×4＝24 种情况，③HD、HE、HG中剪开 3 条棱，还需要剪开DA、DC、EA、EF、GH、GC中的 1 条棱，共有 6 中情况，综上，共有 24+24+6＝54 种不同的剪法．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:07:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800