第十二讲 带余除法12．1 一般余数问题[同步巩固演练]1． 两数相除，商是 12，余数是 8，被除数比除数多 822，求除数。2． 一个两位数除 321，余数是 48，这个两位数是多少？3． 641 除以一个两位数，余数是 46，这个两位数是多少？4． 1170 除以一个两位数，余数是 78，这个两位数是多少？5． 244 除以一个两位数的余数是 13，则符合条件的所有两位数有哪些？6． 109 除以一个两位数的余数是 4，这些两位数有哪些？7． 哪些自然数除以 6 所得的商与余数相同？8． 一个四位数被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4，被 6 除余 5，被 7 除余 6，被 8 除余 7, 被 9 除余 8,被 10 除余 9,求出这样的四位数。9． 一个数除以 11 所得的余数是 3，如果把这个数增加 11 后，除以 13 所得的商不变，且余数为 0，这个数是多少？10．某数除 1186 余 1，除 2609 余 2，除 4263 少 3，这个数最大是多少？11．整数除法，余数比除数小，从 1 到 1994 各数都除以 9，所有余数的和是多少？[能力拓展平台]1．（第三届《小学生数学报》竞赛题）五（3）班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 行多 5 人，问上体育课的同学最少多少名？2．（第二届新苗杯数学联赛试题）幼儿园有糖 115 颗，饼干 148 块，桔子 74 个，平均分给大班小朋友，结果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个，问这个大班的小朋友最多有多少人？3．在放暑假的八月份，小明有五天在姥姥家过的，这五天的日期除一天是合数外，其他四天的日期都是质数，这四个质数分别是这个合数减去 1，这个合数加上 1，这个合数乘上 2 减去 1，这个合数乘上 2 加上 1，问小明是哪几天在姥姥家住的？4、有 5 个不同的自然数，它们当中任意 3 个数的和是 3 的倍数，任意 4 个数的和是 4 的倍数，为了使这 5 个数的和尽可能小，这 5 个数分别是什么？5、自然数 a 除以 25 的余数是 10，自然数 b 除以 25 的余数是 17，如果 a 大于 b，那么 a 减 b 的差除以 25 的余数是多少？6、一个三位数除以 37 的余数是 10，这个三位数减一个两位数的差除以 37 的余数是 27，这个两位数除以 37 的余数是多少？7、少年宫游乐厅内悬挂着 200 个彩色灯泡，这些灯炮或明或暗，十分有趣，这 200 个灯炮按 1～200 编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡是编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡是编号为 3 的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第 n 秒凡编号为 n 的倍数的灯泡改变原来一亮暗状态，这样继续下去，每 4 分钟一个周期，问：第 200秒时，亮着的灯泡有多少个？8、能被 5 除尽，被 715 除余 10，被 247 除余 140，被 391 除余 245，被 187 除余 109 的最小整数是多少？9、某高场向顾客以放 9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从 0001 到 9999 号，如果号码的前两位数之和等于后两位数之和，则称这张购物券为“幸运券”例如如号码 0734，因 0＋7=3＋4，所以这个号码的购物券是幸运券，试说明，这个商场所以的购物券中，所有幸运券的号码之和能被 101 整除。12·2 同余问题[同步巩固演练]1、今天是星期二，从今天算起，第 100 天是星期几？2、1990 年元旦是星期一，2000 年五月一日是星期几？3、若今天是星期二，在经过 天是星期几？4、被 3 除余 2，被 5 余 3，被 7 除余 4 的最小自然数是多少？5、有一个不等于 1 的整数，它除 967，1000，2001 得到相同的余数，那么这个整数是多少？ 6、某数被 3 除余 1，被 5 除余 3，被 7 除余 2，这个数至少是多少？7、有一个整数，除 300、262、205，得到相同的余数（且余数都不为 0），问这个整数是几？8、某数用 3 除余 1，用 5 除余 3，用 7 除余 5，此数最小为多少？9、390、369 和 425 被某数除时余数相同（某数≠1），试求 2581 被这个整数除时的余数。10、现有水果 564千克，分装筐中，每筐 54 千克，求最后不足一筐的千克数。11、仓库里有六桶油，分别盛有菜籽油、花生油和豆油，各桶分别盛油 16 千克、23 千克、19 千克、21 千克、13千克、15 千克，可是不知哪一桶盛的是什么油，豆油有多少千克？哪几桶是菜籽油？12、在自然数中，从 1 开始往后数，第 100 个不能被 7 整除的数是多少？13、在 1～3000 之间能同时被 3、5、7 除都余 2 的数有多少个？14、被整除数除以除数 11，余数是 7，如果被除数扩大 6 倍，余数是 多少？15、一副棋，六颗六颗数，会剩下五颗。那么八副同要的棋，六颗六颗数，会剩下几颗？16、求 567987÷10 的余数。[能力拓展平台]1、（北京市第四届迎春初一竞赛试题）如果 69、90、125 能被自然数 N（N 不等于 1）除，所得余数相同，求 81被 N 除的余数。2、（陕西省竞赛题，1994）有四个数：2613、2243、1503、985，它们分别被同一个数相除所得的余数相同，且余数不为零，求此除数和余数。3、（第四十四届莫斯科数学竞赛林匹克试题）自然数 A 被 1981 除余数是 35，被 1982 除的余数也是 35，它被 14除的余数是多少？4、（第三届华杯赛复赛题）某年的 10 月有五个星期六，4 个星期日，问这年的 10 月 1 日是星期几？5、（香港竞赛题，1998）有一种挂历上印有月、日、星期，为节约起见，可将此挂历留作日后使用，问公元1998 年的挂历，最早可在哪一年再使用（公元 2000 年是闰年）？6、（汉城小学生竞赛题）设 A 是一个有 35 位循环节的循环小数 A=0.a1a2a3…a35:把 A 的所有奇数数位划去，得到一个新的无限小数；A1=0.a2a4a6a8……再把 A1的所有奇数位划去，得到一个新的无限小数 A2=0.a4a8an……如此继续下去，问能否经过若干次划去，仍得到原来的循环小数？7、（河南省初中竞赛题）一个盒子里有不多于 200 个棋子，如果每次 2 个，或每次 3 个，或每次 4 个，或每次 6个地取出，最终盒内都剩一个棋子；如果每次 11 个地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少个棋子？[全讲综合训练]1、一个数除 200 余 5，除 300 余 1，除 400 余 10，这个数是多少？2、如果 101 位数 能被 7 整除，那么数字 a 是多少？3、科学家进行一项科学实验，每隔 5 小时做一次记录，做第 12 次记录时，挂钟的时针恰好指向 9，问第一次记录时，时钟指向几？4、将自然数 1～40 从左至右依次排列成一个 71 位数，则这个数除以 11 的余数是多少？5、一个每位数字都是 3 的 1992 位数，除以 13，则商的第 100 位（从左往右数）数字是多少？商的个位数是多少 ？最后的余数是多少？6、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整除题的余数最大。□÷25=104……□7、一排吊灯，三个三个数剩两个，四个四个数剩三个，六个六个数剩五个，这排吊灯至少有多少个？8、一盒围棋子不到 200 个，三个一堆缺两个，五个一堆多三个，七个一堆多五个，这盒围棋子有多少个？9、一盒围棋子，四颗四颗数多三颗；六颗六颗数多五颗；十五颗十五颗数多十四颗，棋子数在 150～200 之间，这盒围棋子有多少颗？10、一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，适合这些条件的最小数是多少？11、50 枚棋子围成一个圆圈，依次编上号码 1，2，3，…，50。按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止。如果剩下的这枚棋子的号码是 39，那么第一个被取走的棋子是多少？12、自然数 A 与 B 之差是 19，A 与 B 的最大公约数最大可以是多少？13、a 和 b 是 1～9 中不同的数码， 和 的最大公约数最大能是多少？14、用一个奇数去除 288 和 214，所得的余数都是 29，求这个奇数？ 15、 ÷11 的余数是几？16、某自然数 m 在除 13511、13903 及 14589 时余数相同，那么 m 的最大值是多少？17、在 298 后面补上三个数字，使组成的六位数同时能被 476 整除。18、在 569 后面补上三个数字，使组成的六位数同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，这个六位数是多少？19、（北京市第二届小学生迎春数学竞赛决赛题）有甲、乙、丙三人，甲每分钟行走 120 米，乙每分钟行走 100米，丙每分钟行走 70 米，如果三个人同时、同向，从同地出发，沿周长是 300 米的圆形跑道上行走，问：多少分钟后三个人又可以相聚？ 20、（北京市第二届小学生迎春数学竞赛决赛题）从 401 到 1000 的所有整数中，被 8 除余数是 1 的数有多少个？21、a 除以 5 余 1，b 除以 5 余 4，如果 3a＞b，那么 3a－b 除以 5 余几？22 、 1 至 1001 各 数 按 以 下 格 式 排 表 ， 如 果 用 正 方 形 框 如 表 中 所 示 框 住 9 个 数 ， 这 9 个 数 的 和 能 否 等 于（1）1996，（2）2529，（3）1989。如果不能，简单说明理由；如果能，写出正方形框中的最大数与最小数。1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28 … …995 996 997 998 999 1000 100123、将奇数按图排好，各列分别用 A、B、C、D、E、F、G 作为代表，则 1991 所在列以字母 作为代表。 A B C D E F G 1 3 5 7 9 11 23 21 19 17 15 13 25 27 29 31 33 35 47 45 43 41 39 37 49 51 53 55 57 59 … … …24、两个代表团乘车去参观，每辆车可乘 36 人，两代表团坐满若干辆车后，第一代表团余下的 13 人去与第二人代表团余下的成员正好又坐满一辆车，参观完后，第一个代表团的每个成员与第二个代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每卷胶卷可拍 36 张照片，问：拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？