2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组决赛 C 卷）一、填空题Ⅰ（每题 6 分，共 24 分）1．（6 分）算式 2015﹣22×28 的计算结果是　 　．2．（6 分）如图中共能数出　 　个三角形．3．（6 分）在 2015 和 131 之间插两个数，使这四个数从大到小排列起来，相邻两个数的差都相等，那么插入的两个数的和是　 　．4．（6 分）如图减法算式中，不同的汉字代表不同的数字．那么四位数 的最小值是　 　．二、填空题Ⅱ（每题 10 分，共 40 分）5．（10 分）黑板上写有一些自然数，平均数是 30；再写上 100，平均数就变成了 40；如果最后再写上一个数，平均数就变成了 50，那么最后写上的这个数是　 　．6．（10 分）如图是一个棋盘，开始时，警察在位置A，小偷在位置B．双方交替走棋，警察先走，每次必须沿着线走一步．那么警察至少需要走　 　步才能保证抓住小偷．7．（10 分）30 只老虎和 30 只狐狸分为 20 组，每组 3 只动物．老虎总说真话，狐狸总说假话，当问及组“组内是否有狐狸”时，结果这 60 只动物中有 39 只回答“没有”．那么同组 3 只动物全是老虎的共有　 　组．8．（10 分）正六边形中如图摆放着两个面积各为 30 平方厘米的等边三角形，那么正六边形的面积是平方厘米．三、填空题Ⅲ（每题 12 分，共 48 分）9．（12 分）如图，AB是一条长 28 米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在小路上奔跑．第一次跑 10 米，第二次跑 14 米；…；第奇数次跑 10 米，第偶数次跑 14 米；出发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如果M点在它左边，它就向左跑．如果它跑了 20 次之后在B点左侧 1 米处，那么小狗开始时距A点　 　米．10．（12 分）请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字．那么四位数 是　 　（如图是一个 3×3 的例子）． 11．（12 分）任取一个非零自然数，如果它是偶数就把它除以 2，如果它是奇数就把它乘 3 再加上 1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这种变换，我们就得到一个问题：是否对于所有的自然数最终都能变换到 1 呢？这就是数学上著名的“角谷猜想”．如果某个自然数通过上述变换能变成 1，我们就把第一次变成 1 时所经过的变换次数成为它的路径长，那么“角谷猜想”中所有路径长为 10 的自然数的总和是　 　．2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组决赛 C 卷）参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ（每题 6 分，共 24 分）1．（6 分）算式 2015﹣22×28 的计算结果是　 1399 　 ．【解答】解：2015﹣22×28＝2015﹣616＝1399故答案为：1399．2．（6 分）如图中共能数出　 11 　 个三角形．【解答】解：根据分析可得，（3+2+1）+2+2+1＝6+5＝11（个）答：图中共能数出 11 个三角形．故答案为：11．3．（6 分）在 2015 和 131 之间插两个数，使这四个数从大到小排列起来，相邻两个数的差都相等，那么插入的两个数的和是　 2146 　 ．【解答】解：根据分析，插入两个数后，排成的数成等差数列，利用等差数列的性质，可求出两个数的和，中间两个数之和＝2015+131＝2146．故答案是：2146．4．（6 分）如图减法算式中，不同的汉字代表不同的数字．那么四位数 的最小值是　 1930 ．【解答】解：依题意可知： 若要四位数 的最小值那么 需要取到最大值．首先分析千位和百位数字是固定的 1 和 9．那么当 可以取到 87 时，尾数不能有 5．那么当 为 86 时，尾数是 9 才能构成 5 不符合题意．当 为 85 时．2015﹣85＝1930．故答案为：1930二、填空题Ⅱ（每题 10 分，共 40 分）5．（10 分）黑板上写有一些自然数，平均数是 30；再写上 100，平均数就变成了 40；如果最后再写上一个数，平均数就变成了 50，那么最后写上的这个数是　 120 　 ．【解答】解：（100﹣40）÷（40﹣30）＝60÷10＝6（个）6+1＝7（个）7+1＝8（个）50×8﹣40×7＝400﹣280＝120答：最后写上的这个数是 120．故答案为：120．6．（10 分）如图是一个棋盘，开始时，警察在位置A，小偷在位置B．双方交替走棋，警察先走，每次必须沿着线走一步．那么警察至少需要走　 4 　 步才能保证抓住小偷．【解答】解：如图，把六个位置编号如下：第一步警察由F走到C，小偷只能由B走到A；第二步警察由C走到D，小偷只能由A走到B；第三步警察由D走到F，小偷只能由B到A或者B到C第四步小偷无论往哪个方向走都会被警察抓住．答：警察最少需要 4 步才能抓住小偷．故答案为：4．7．（10 分）30 只老虎和 30 只狐狸分为 20 组，每组 3 只动物．老虎总说真话，狐狸总说假话，当问及组“组内是否有狐狸”时，结果这 60 只动物中有 39 只回答“没有”．那么同组 3 只动物全是老虎的共有　 3 　 组．【解答】解：根据分析，因为狐狸有 30 只，它们都说谎话，当问及“组内是否有狐狸”时， 它们肯定都说“没有”，所以狐狸说“没有”的一共 30 声．老虎说真话，当有老虎的这一组中狐狸时，老虎就会说“有”，而当 3 只动物都是老虎时，它们才说“没有”．因此有 3 只老虎在同一组时，就会有 3 声“没有”．故同组 3 只动物全是老虎的共有：（39﹣30）÷3＝9÷3＝3（组）．故答案是：3．8．（10 分）正六边形中如图摆放着两个面积各为 30 平方厘米的等边三角形，那么正六边形的面积是135 　 平方厘米．【解答】解：根据分析，如图，连接FH、EH、BG、CG、AD，由题意可知，△ABG、△DCG、△DEH、△AFH的面积全等，且均与△AOH的面积相等，△BCG、△EFH的面积相等，且二者拼接后如图 2 所示，因四边形BHCG为棱形，且∠B＝∠HAG＝60°，∠H＝∠AGD＝120°，BH：DH＝1：2，S棱形BHCG：S棱形AGDH＝1：4；S△ABG+S△DCG+S△DEH+S△AFH＝S△AOG+S△DOG+S△DOH+S△AOH＝S阴影；S△EFH+S△BCG＝S棱形BHCG＝ ；综上，正六边形的面积═2×S阴影+ ＝ ＝ ＝135（平方厘米）．故答案是：135．三、填空题Ⅲ（每题 12 分，共 48 分）9．（12 分）如图，AB是一条长 28 米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在小路上奔跑．第一次跑 10 米，第二次跑 14 米；…；第奇数次跑 10 米，第偶数次跑 14 米；出发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如果M点在它左边，它就向左跑．如果它跑了 20 次之后在B点左侧 1 米处，那么小狗开始时距A点　 7 　 米．【解答】解：设中点的位置为 0，左边为负，右边为正则第 20 次之后的位置是 28÷2＝14，14﹣1＝13，表示为+13第 19 次之后的位置是+13﹣14＝﹣1第 18 次之后的位置是﹣1﹣10＝﹣11 第 17 次之后的位置是﹣11+14＝+3第 16 次之后的位置是+3+10＝+13从上面可以看出，经过 4 次之后又回到了+13 这个位置由此可以退出，第 4 次之后，小狗回到了+13 这个位置第 3 次之后小狗回到+13﹣14＝﹣1 位置第 2 次之后小狗位置是﹣1﹣10＝﹣11第 1 次之后小狗的位置是﹣11+14＝+3 位置因为原始位置在M点左侧，所以原始位置是+3﹣10＝﹣7 位置原始位置距离A点 14﹣7＝7 米故此题填 7．10．（12 分）请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字．那么四位数 是　 2112 　 （如图是一个 3×3 的例子）．【解答】解：如图，由第二行第一个，第二行第三个，第三行第二个，箭头只指向一个箭头，此位置的数只能是 1，如图红色数字，第三行第一个箭头指向两个数字不同的箭头，所以只能是 2，所以，第四行第一个位置的数字必是 3，如果第四行第二个位置是 1，那么此行第三个必须是 3，但不符合此行第四个数字，所以，第四行第二个箭头上的数字只能是 2，此行第三个数只能是 1，即可得出第三列的数字全部是 1，第二行第二个和第四个也是 2，进而第一行第二个数字也是 2，第一行第四个只能是 3，第三行第四个必是 2，即：A，B，C，D位置的数分别是 2，1，1，2，故答案为 2112．11．（12 分）任取一个非零自然数，如果它是偶数就把它除以 2，如果它是奇数就把它乘 3 再加上 1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这种变换，我们就得到一个问题：是否对于所有的自然数最终都能变换到 1 呢？这就是数学上著名的“角谷猜想”．如果某个自然数通过上述变换能变成 1，我们就把第一次变成 1 时所经过的变换次数成为它的路径长，那么“角谷 猜想”中所有路径长为 10 的自然数的总和是　 1604 　 ．【解答】解：从 1 开始倒推1024+170+28+168+160+26+4+24＝1604声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:11:53；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800