E G F 总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题 B（小学高年级组）（时间 2013 年 4 月 20 日 10：00～11：30）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1．计算: 19×0.125+281×18+12.5=________. 解析：原式=（19+281+100）×0.125=400×0.125=502．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012 年 12 月 21 日是冬至, 那么 2013 年的 2 月 10 日是________九的第________天. 解析：31-21+1+31+10=52,52÷9=5…7，2013 年的元旦是六九的第 7 天. 3．某些整数分别被57，79，911，1113除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是25，27，29，211, 则满足条件且大于 1 的最小整数是________. 解析：设整数为 A, 分别被57，79，911，1113除后, 所得的商分别为75A ，97A ，119A ，1311A;75A =1 +25+75( A −1 )，97A=1+27+97( A−1 )，119A =1 +29+119( A −1 )，1311A =1+211+1311( A−1 )显然，当A-1 是[5，7，9，3]的时候满足题意。所以 A-1=3465，A=3466。4．如图所示, P, Q 分别是正方形 ABCD 的边 AD 和对角线 AC 上的点, 且 PD:AP =4:1, QC: AQ =2:3, 如果正方形 ABCD 的面积为 25, 那么三角形 PBQ 的 面积是 . 解析：连接 QD,做 QE⊥BC 于 E, QF⊥AD 于 F, QG⊥CD 于 G, 正方形 ABCD 的面积为 25,所以 AD=EF=5， QC: AQ =2:3,根据正方形对称性，所以 QE=QG=2，QF=3, PD:AP =4:1,AP=1，PD=4。S△PQB=S正- S△CQB-S△DQC-S△PQD-S△PAB =25-2×5÷2×2-4×3÷2-1×5÷2 =25-10-6-2.5 =6.55．有一筐苹果, 甲班分, 每人 3 个还剩 10 个; 乙班分, 每人 4 个还剩 11 个; 丙班分, 每人 5 个还剩 12 个. 那么这筐苹果至少有________个. 解析：10≡1（mod3）=1；11≡3（mod4）=3；12≡5（mod5）=2，苹果数除以 3 余 1，除以 4 少 1，除以 5 多 2。满足除以 3 余 1，除以 4 少 1 的数最小是 7，7 刚好除以 5 余 2，又因为苹果数大于 12，[3，4，5]=60，那么这筐苹果至少有 7+60=67 个.6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为 4, 则这个立体图形的表面积为________. 解析：如图所示，四个三角形面积都是 1×3÷2=1.5， 所以小积木一个面的面积是 42-1.5×4=10。这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。所以面积为 6×42+4×10=136。7．甲、乙两车分别从 A, B 两地同时出发相向而行, 甲车每小时行 40 千米, 乙车每小时行 60 千米. 两车分别到达 B 地和 A 地后, 立即返回. 返回时, 甲车的速度增加二分之一, 乙车的速度不变. 已知两车两次相遇处的距离是 50 千米, 则 A, B 两地的距离为_______千米. 解析：V甲：V乙=40:60=2:3，相遇时两车时间相等，S甲：S乙=2:3，设全程为“1”，第一次相遇时相遇点距离 A 地全程25的地方。当甲车到达 B 地时，乙车已到达 A 地，又走了32-1=12个全程。此时甲车速度为 40+40÷2=60km/h，两车速度相同，一起走完剩下的12，两车各走14，所以第二次相遇距离 A 地全程12+14=34的地方。所以全程为:50÷(34-25)=10007km。8．用“学”和“习”代表两个不同的数字, 四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数, 且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同, 那么“学习”所能代表的两位数共有 个. 解析：乘积七位数个位和百万位数字为学，所以习为 1，学学学学=学×1111，学学学学×习习习习=学×11112=学×1234321，又因为乘积百万位数字为学，所以学只能为 2，3,4；那么“学习”所能代表的两位数共有 3 个. 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过 程） 9．右图中, 不含“*”的长方形有多少个? 解析：所有长方形个数减去包含“*”的长方形个数等于不 含“*”的长方形个数。所有长方形个数：（1+2+3+4+5+6）×（1+2+3+4）=210 个包含一个“*”的长方形个数：（1+2+2+2+2+1）×（1+2+2+1）×2=120 个包含两个“*”的长方形个数：（1+2+1）×（1+2+1）=16 个不含“*”的长方形个数：210-120+16=106 个提醒：包含“*”的长方形的长与宽必须经过含“*”基本长方形的边。10． 如右图, 三角形 ABC 中, AD = 2BD, AD = EC, BC = 18, 三角形 AFC的面积和四边形 DBEF 的面积相等, 那么 AB 的长度是多少? 解析：设三角形 ABC 面积为“1”，AD = 2BD,所以 S△DCB=13,三角形 AFC 的面积和四边形 DBEF 的面积相等,都加上三角形 EFC，面积也应该相等，所以 S△AEC=13,所以, EC=13BC=13×18=6，AD = EC, AD=23AB，所以 AB=6÷23=911． 若干人完成了植树 2013 棵的任务, 每人植树的棵数相同. 如果有 5 人不参加植树, 其余的人每人多植 2 棵不能完成任务, 而每人多植 3 棵可以超额完成任务. 问：共有多少人参加了植树? ★☆解析：2013=3×11×61=1×2013=3×671=11×183=33×61快速检验（2013-5）×（1+2）>2013（671-5）×（3+2）>2013（11-5）×（183+2）<2013; （11-5）×（183+3）<2013（11+2）×（183-5）>2013; （11+3）×（183-5）>2013（33+2）×（61-5）<2013; （33+3）×（61-5）>2013（33-5）×（61+2）<2013; （33-5）×（61+3）<2013只有 56×35=1960<2013, 56×36=2016>2013,所以答案为 61 人解法二：原有 x 人植树，每人植 y 棵。xy=2013，（x-5）（y+2）<2013；（x-5）（y+3）>2013xy-5y+2x-10<2013；xy-5y+3x-15>2013即 5y-2x+10>0 3x-5y-15>0,x,y 成对，有以下几种情况（1,2013），（3,671），（11,183），（33,61），y 与 x 可以交换，代入检验的（33,61）可以，且人数为 61。12．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体 的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是________. 解析：将黑点数转化为 1,2,3,4,5,6，根据图可知，2 与 4,6,3,1 相邻，则 2与 5 相对，4 与 6,1 相邻，则 4 与 3 相对，1 与 6 相对。最左边的正方体左右两个面上是 1 和 6，可以重叠 6；最右边的正方体重叠 6；最上面的正方体重叠 5；正中间左右两个面一起重叠 7，上面重叠 1。所以正方体重叠面上的黑点最多是 7+6+5+6+1=25，立体的表面上所有黑点的总数至少是 4×7×3—25=59。三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．用八个右图所示的 2×1 的小长方形可以拼成一个 4×4 的正方形. 若 一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形相同. 问: 可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形? 解析：用 代替所以答案为 4 种。14．对于 155 个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子, 有三种分类方法: 对于每种颜色, 将该颜色的球数目相同的盒子归为一类. 若从 1 到 30 之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数, 那么, 1) 三种分类的类数之和是多少? 2) 说明, 可以找到三个盒子, 其中至少有两种颜色的球, 它们的数目分别相同. 解析：记第一种、第二种和第三种分类分别分了i, j, k 类, 每类的盒子数目分别为a1，a2，a3，…，ai；b1，b2，b3，…，bj；c1，c2，c3，…，ck。令 n=i+j+k1) 因为 a1，a2，a3，…，ai；b1，b2，b3，…，bj；c1，c2，c3，…，ck包含了 1 到 30 的所有整数, 所以 n≥30，另一方面,3×155=a1+a2+a3+…+ai+b1+b2+b3+…+bj+c1+c2+c3+…+ck≥ 1+2+3+…+30=30×312=465=3×155所以 n=i+j+k=30 , 三种分类各自分类的类数之和是 30. 2) 不妨设 a1=30, 记这 30 个盒子的类为 A 类. 因为 i+j+k =30, 必有 j≤14 或 k≤14, 不妨设j≤14. A 类的 30 个盒子分到这不超过 14 个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.