丁丙乙甲小华第 32 讲 逻辑推理（二）一、知识要点解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。二、精讲精练【例题 1】小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。到现在为止，小华已经比赛了 4 盘。甲赛了 3 盘，乙赛了 2 盘，丁赛了 1 盘。丙赛了几盘？这道题可以利用画图的方法进行推理，如图所示，用 5 个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。如果两人之间已经进行了比赛，就在表示两人的点之间连一条线。现在小华赛 4 盘，所以小华应与其余 4个点都连线……甲赛了 3 盘。由于丁只赛了一盘，所以甲与丁之间没有比赛。那么，就连接甲、乙和甲、丙。这时，乙已有了两条线，与题中乙赛 2 盘相结合，就不再连了。所以，从中可以看出，丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。练习 1：1、A，B，C，D，E 五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A 已经比赛了 4 盘。B 赛了 3 盘，C 赛了 2盘，D 赛了 1 盘。E 赛了几盘？ 2、A 先生和 A 太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A 先生问了每个人（包括他妻子）握手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A 太太握了几次手？3、五位同学一起打乒乓球，两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说：“我打了四盘”。乙说：“我打了一盘”。丙说：“我打了三盘”。丁说：“我打了四盘”。戊说：“我打了三盘”。你能肯定其中有人说错了吗？为什么？【例题 2】如图是同一个标有 1，2，3，4，5，6 的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少？用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所要的结果。由（1）、（2）两个图可以看出，1 的对面不可能为 4，6，2，3，所以1 的对面必为 5；由（2）、（3）两个图形可以看出，3 的对面不可能为 1，2，4，5，所以 3 的对面必为 6。由此可知，4 的对面必定为 2。上面正方体三个朝左一面的数字依次为 2，5，6。所以它们的积为 2×5×6=60。练习 2：1、如图是同一个标有 1，2，3，4，5，6 的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？ 2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上（每一面只涂一种颜色）。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它们拼成长方体（如图 32-4 所示），每个小正房体红色面的对面涂的是什么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？3、如图 32-5 所示，每个正方体的 6 个面分别写着数字 1～6，并且任意两个相对的面上所写的两个数之和都等于 7。把这样的 5 个正方体一个挨一个连接起来后，金挨着的两个面上的数字之和等于8。图中写？的这个面上的数字是几？【例题 3】某班 44 人，从 A，B，C，D，E 五位候选人中选举班长。A 得选票 23 张。B 得选票占第二位，C，D 得票相同，E 的选票最少，只得了 4 票。那么 B 得选票多少张？B，C，D 的选票共 44—23—4=17（张），C，D 的选票至少各 5 张。如果他们的选票超过 5 张，那么 B，C，D的选票超过 6+6+6=18（张），这不可能。所以，C，D 各得 5 票，B 得 17—5—5=7（张）练习 3：1、某商品编号是一个三位数，现有 5 个三位数：874、765、123、364、925。其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是多少？2、某楼住着 4 个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最小的 4 岁。最大的男孩比最小的女孩大 4 岁，最大的女孩比最小的男孩大 4 岁。最大的男孩多少岁？3、小明将玻璃球放进大、小两种盒子中。大盒装 12 个玻璃球，小盒装 5 个玻璃球，正好装完。如果玻璃球总数为 99，盒子超过 10 个，那么两种盒子各有多少个？【例题 4】将 1，2，3，4，5，6，7，8 八个数字分成两组，每组 4 个数，并且两组数之和相等。从A 组拿一个到 B 组后，B 组五个数之和将是 A 组剩下三数之和的 2 倍。从 B 组拿一个数到 A 组后，B 组剩下的三个数之和 A 组五个数之和的 5/7。这八个数如何分成两组？八个数的和是 1+2+3+4+5+6+7+8=26，所以每组的四个数之和是 36÷2=18。从 A 组取出一个数到B，两组总和不变。现在 A 组三个数之和是 36÷（1+2）=12，原来 A 组四个数之和是 18，说明 A 组中取6 到 B 组。同样道理，从 B 组取一个数到 A 组后，现在 B 组三个数之和是 36÷（1+5/6）×5/7=15。说明 B 组中取出的数为 18—15=3。除去 6 和 3，还剩 6 个数。A 组的另外三个数之和应是 18—6=12，在剩下的 6 个数中只有 1，4，7三个数，它们的和是 12。所以A 组四个数是 1，4，6，7。B 组四个数是 2，3，5，8。练习 4：1、某年的 8 月份有 4 个星期四，5 个星期三。这年 8 月 8 日是星期几？2、甲、一两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到 20 粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖的粒数是乙的 2 倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖的粒数就是乙的 3 倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？3、某各家庭有四个家庭成员。他们的年龄各不相同，总和是 129 岁，其中有三个人的年龄是平方数。如果倒退 15 年，这四人中仍有三人的年龄是平方数。你知道他们各自的年龄吗？【例题 5】在一次设计联系中，小张、小王、小李各打 4 发子弹，全部中靶。命中的情况如下：（1）每人 4 发子弹所命中的环数各不相同。（2）每人 4 发子弹所命中的总环数均为 17 槐。（3）小王有两法命中的环数分别与小张命中的两法一样；小王另两发命中的环数与小李命中的两法一样。（4）小张和小李只有一发环数相同。（5）每人每发子弹的最好成绩不超过 7 环。小张、小李命中相同的环数是几环？首先，用枚举法找出符合条件（1）、（2）、（5）的所有情况。其次，再用筛选法从这些情况中去掉不符合条件（3）、（4）的情况。剩下的就符合要求了。（1）1+7+3+6=17（环） 741（2）1+7+4+5=17（环）（3）2+6+4+5=17（环）（4）2+7+3+5=17（环）对照条件可知（2）、（1）式和（3）式分别代表王、张、李，所以，小张和小李命中相同的环数是 6 环，练习 5：1、甲、乙、丙三人玩转盘（如图所示），转盘上的数字表示应得的分。甲说：“我转 8 次得 26 分”。乙说：“我转 7 次得 34 分”。丙说：“我转 9 次得 41 分”。其中有一人没说真话，他是谁？2、将 3 张数字卡片（均不超过 10）分给甲、乙、丙三人，各人记下所得卡片上的数再重新分。分了 3 次后，每人将各字记下的数相加，甲为 13，乙为 15，丙为 23。你能西饿出三张卡片上的数吗？3、A，B，C 三个足球队进行一次比赛，每两个队赛一场。按规定每升一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。现在已知：（1）B 对一球未进，结果得一分；（2）C 队进一球，失 2 球，并且胜一场；求 A 队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。