2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）如图，边长为 12 米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3 米，现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在　 　处的木桩上．2．（10 分）在所有是 20 的倍数的正整数中，不超过 2014 并且是 14 的倍数的数之和是　 　．3．（10 分）从 1～8 这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有　 　种．4．（10 分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．5．（10 分）如果 ＜ ＜ ，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为　 　．6．（10 分）如图，三个圆交出七个部分，将整数 0～6 分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是　 　．7．（10 分）学校组织 1511 人去郊游，租用 42 座大巴和 25 座中巴两种汽车．如果要求恰好每人一座且每座一人，则有　 　种租车方案．8．（10 分）平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB＝8 厘米，BC＝4 厘米，AD＝5 厘米，DE＝1 厘米，AC＝12 厘米，AE＝6 厘米．如果三角形EAB的面积为 24 平方厘米．则点A到CD的距离等于　 　．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6 时所有不同放置的方法，那么n＝9 时有多少种不同放置方法？10．（10 分）有一杯子装满了浓度为 16%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为 10：4：3，首先将小球深入盐水杯中．结果盐水溢出 10%，取出小球；其次把中球深入盐水杯中，又将它取出；接着将大球深入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止．此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数） 11．（10 分）清明节，同学们乘车去烈士陵园招募．如果汽车行驶 1 小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前 20 分钟赶到；如果该车先按原速行驶 72km，再将车速提高三分之一，就可以比预定时间提前 30 分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少km？12．（10 分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于P点，求的值．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）从连续自然数 1，2，3，…，2014 中取出n个数满足：任意取出两个数，不会有一个数是另一个数的 5 倍，试求n的最大值，并说明理由．14．（15 分）在如图的算式中，字母a、b、c、d和“□”代表十个数字 0 到 9 中的一个，其中a、b、c、d四个字母代表不同的数字，求a、b、c、d数字之和．2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）如图，边长为 12 米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3 米，现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在　 B 　 处的木桩上．【分析】分别把A、B、C、D这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择出正确答案．【解答】解：①SA＝ π×42+× π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；②SB＝ π×42＝12π（平方米）；③SC＝ π×42+ ×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；④SD＝ π×42＝8π（平方米），π＜8.25π＜12π，所以为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在B处的木桩上．故答案为：B．2．（10 分）在所有是 20 的倍数的正整数中，不超过 2014 并且是 14 的倍数的数之和是　 14700 　 ．【分析】在所有 20 的倍数中不超过 2014 并且是 14 的倍数最小是 140，最大是 1960，共 14 个， 根据“高斯求和”的方法解答．【解答】解：20 和 14 的最小公倍数是 140，在所有 20 的倍数中不超过 2014 并且是 14 的倍数最小是 140，最大是 1960，共 14 个，（140+1960）×14÷2＝2100×14÷2＝14700．答：在所有 20 的倍数中不超过 2014 并且是 14 的倍数的数之和是 14700．故答案为：14700．3．（10 分）从 1～8 这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有　 20 　 种．【分析】首先取 3 个所有的方法有 ＝56 种连续的有两个连续另外一个不连续，如果这两个连续的数在两端，是 12 或 78，则各有 5 种不同的方法，如：124，125，126，127，128，如果这两个两个数在中间，是 23、34、45、56、67，则各有 4 种不同的方法，如：235，236，237，238；这样一共有 5×2+5×4 种方法；三个连续的有 123，234，345，456，567，678，6 种情况；用总种数减去有连续自然数的种数，就是符合要求的数．【解答】解： ＝ ＝56（种）有两个连续数的可能是：5×2+5×4＝30（种）有三个连续的数的可能有 6 种：56﹣30﹣6＝20（种）答：没有连续自然数取法为 20 种．故答案为：20．4．（10 分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 　 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割， 通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．5．（10 分）如果 ＜ ＜ ，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为　 77 　 ．【分析】将 与 ， 和 都通分，然后根据分数大小比较的方法以及不等式的性质确定“○”与“□”的和的最大值即可解决问题．【解答】解： ＜ 通分为：所以，4×□＞35，则□≥9；与 通分为：所以，○×□＜77，则，○×□的乘积最大为 76，只要使“○”与“□”之和最大，应当使两数的差最大，76＝1×76，所以，当○＝1，□＝76 时，两数之和最大，即，○+□＝1+76＝77．答：“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 77．故答案为：77．6．（10 分）如图，三个圆交出七个部分，将整数 0～6 分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是　 15 　 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6 最大，就把 6 写在最中间，还剩的 3 个较大数字 5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的 0、1、2；0 与 6、4、5 结合；1 与6、5、3 结合；2 与 6、3、4 结合，那么每个圆内的四个数字的和都是 15，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得， 所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15；所以，和的最大值是 15．故答案为：15．7．（10 分）学校组织 1511 人去郊游，租用 42 座大巴和 25 座中巴两种汽车．如果要求恰好每人一座且每座一人，则有　 2 　 种租车方案．【分析】全部坐满座，设大巴车有x辆，中巴车有y辆，得到不定方程 42x+25y＝1511，然后讨论x和y的值即可．【解答】解：设大巴车有x辆，中巴车有y辆，得到不定方程：42x+25y＝1511所以x＝因为 42 是偶数，而 1511 是奇数，所以 1151﹣25y必须是偶数；所以y必须是奇数；而 1511÷25＝6…11所以 42x除以 25 也必须余数是 11，所以 42 与x的乘积个位数字是 6，所以当x＝8，而y＝47 或者x＝8+25＝33 时，而y＝5 时符合条件．所以第一种租车方式为租 33 辆大巴，5 辆中巴；第二种租车方式为租 8 辆大巴，47 辆中巴；故共有 2 种租车方案．答：有 2 种租车方案．故答案为：2．8．（10 分）平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB＝8 厘米，BC＝4 厘米，AD＝5 厘米，DE＝1 厘米，AC＝12 厘米，AE＝6 厘米．如果三角形EAB的面积为 24 平方厘米．则点A到CD的距离等于　 4 ．【分析】由AB＝8cm，BC＝4cm，AC＝12cm，可知，A、B、C三点不可能构成三角形，因此A、B、C三点在同一条直线上，同理可知，A、D、E三点也在同一条直线上，由此，可画出图，可知，由AE＝6cm，AB＝8cm，△EAB的面积为 24cm2，可以判断三角形ABE为直角三角形，即∠EAB＝90°，因而三角形ADC是一个直角三角形，利用勾股定理不难求得点A到CD的距离．【解答】解：根据分析，A、B、C三点在同一条直线上，A、D、E三点也在同一条直线上，画出图形如图所示：＝24，即 ×6×8×sin∠EAB＝24，所以 sin∠EAB＝1，所以∠EAB＝90°，在 Rt△ADC中，由勾股定理可得，CD＝ ＝ ＝13（cm），设AF×CD＝AD×AC，即AF×13＝5×12，故AF＝ ，即点A到CD距离为 ． 故答案是： （或写作 4 ）．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6 时所有不同放置的方法，那么n＝9 时有多少种不同放置方法？【分析】通过分析可知：当层数为 2 时：8+1 排列时有 7 种；7+2 排列有 5 种；6+3 排列时 3 种；5+4 排列时 1 种；当层数为 3 时：6+2+1 排列时有 4 种；5+3+1 排列时有 4 种；4+3+2 排列时有 1 种；层数为 4 时无法满足，因此共有 7+5+3+1+4+4+1＝25 种不同的放置方法．据此解答即可．【解答】解：当层数为 2 时：（1）8+1：7 种（2）7+2：5 种（3）6+3：3 种（4）5+4：1 种当层数为 3 时：（1）6+2+1：4 种（2）5+3+1：4 种（3）4+3+2：1 种层数为 4 时无法满足．因此共有：7+5+3+1+4+4+1＝25（种）答：n＝9 时有 25 种不同放置方法．10．（10 分）有一杯子装满了浓度为 16%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为 10：4：3，首先将小球深入盐水杯中．结果盐水溢出 10%，取出小球；其次把中球深入盐水杯中，又将它取出；接着将大球深入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止．此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）【分析】溢出水量实际就是大球的体积，即整杯盐水的 10%× ＝ ，所以倒满水后浓度变为，据此解答即可．【解答】解：10%× ＝ ，，答：此时杯中盐水的浓度是 10.7%． 11．（10 分）清明节，同学们乘车去烈士陵园招募．如果汽车行驶 1 小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前 20 分钟赶到；如果该车先按原速行驶 72km，再将车速提高三分之一，就可以比预定时间提前 30 分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少km？【分析】先求出行驶 1 个小时后的预定时间，所用的时间就是预定时间的 1÷（1+ ）＝ ，则预定时间是 20÷（1﹣ ）＝120 分钟，所以全程的预定时间就是 1 小时+120 分钟＝180 分钟；再求出所用时间，所用时间就是预定时间的 1÷（1+ ）＝ ，即提前 180×（1﹣ ）＝45 分钟，最后求出 72 千米所对应的分率即 1﹣ ，解答即可．【解答】解：如果行驶 1 个小时后，将车速提高五分之一，则行驶 1 个小时后所用的时间就是预定时间是 1÷（1+ ）＝ ，则预定时间是 20÷（1﹣ ）＝120 分钟，所以全程的预定时间就是 1 小时+120 分钟＝180 分钟；如果先按原速度行驶 72 千米，再将车速提高三分之一，则所用时间就是预定时间的 1÷（1+ ）＝ ，即提前 180×（1﹣ ）＝45 分钟，但实际却提前了 30 分钟，说明有 30÷45＝ 的路程提高了速度；72÷（1﹣ ）＝216（千米）．答：从学校到烈士陵园有 216 千米．12．（10 分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于P点，求的值．【分析】连接EF、DF．易知EP：DP＝S△EFC：S△DFC，求出S△EFC：S△DFC即可解决问题．【解答】解：连接EF、DF．∵EP：DP＝S△EFC：S△DFC，又∵S△DFC＝S△BFC，S△EFC＝S△AFC，S△FBC＝S△AFC，∴EP：DP＝S△AFC：S△BFC＝S△AFC：S△AFC＝3：1，∴ ＝3．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）从连续自然数 1，2，3，…，2014 中取出n个数满足：任意取出两个数，不会有一个数是另一个数的 5 倍，试求n的最大值，并说明理由．【分析】首先分析 2014 除以 5 结果是 402 余数是 4，那么 403 和以上的数字的 5 倍都是大于 2014的，继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：2014÷5＝402…4．则 403 的 5 倍大于 2014．那么从 403﹣2014 这些数字中不会有一个数是另一个数的 5 倍． 402÷5＝80…2 说明数字可以取值 80 时，也没有 5 倍数的存在．80÷5＝16，那么在 17﹣80 这些数字中没有 5 倍数的存在．16÷5＝3…1．说明取值 1，2，3 时没有 5 倍数的存在．取值为 1﹣3，17﹣80，403﹣20142014﹣403+1+80﹣17+1+3﹣1+1＝1679．综上所述答案为：1679．14．（15 分）在如图的算式中，字母a、b、c、d和“□”代表十个数字 0 到 9 中的一个，其中a、b、c、d四个字母代表不同的数字，求a、b、c、d数字之和．【分析】根据竖式，四位数减去三位数是 2，由 998+2＝1000，999+2＝1001 可得a6b+4cd的结果是 1000 或 1001，然后再根据加法的计算方法进行解答．【解答】解：根据竖式可得：a6b+4cd＝1000 或a6b+4cd＝1001；（1）c＝3 时，b+d进位，假设a6b+4cd＝1000；个位上b+d＝10，向十位进 1；十位上：6+c+1＝10，c＝3，向百位进 1；百位上：a+4+1＝10，a＝5；那么a+b+c+d＝5+10+3＝18；假设a6b+4cd＝1001；个位上b+d＝11，向十位进 1；十位上：6+c+1＝10，c＝3，向百位进 1；百位上：a+4+1＝10，a＝5；那么a+b+c+d＝5+11+3＝19．（4）c＝4 时，b+d不进位，此时b+d＝1，0+1＝1 符合要求．a+b+c+d＝5+1+4＝10．答：a、b、c、d数字之和是 10、18 或 19．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:10；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800