2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第 2 试）一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）某班共 36 人都买了铅笔，共买了 50 支，有人买了 1 支，有人买了 2 支，有人买了 3 支．如果买 1 支的人数是其余人数的 2 倍，则买 2 支铅笔的人数是　 　．2．（10 分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为45，三角形ADO的面积为 18，三角形CDO的面积为 69．则三角形AED的面积等于　 　．3．（10 分）一列数的前三个依次是 1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以 4 所得的余数，则这列数中的前 2011 个数的和是　 　．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．有 57 个边长等于 1 的小等边三角形拼成一个内角都不大于 180 的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？5．（10 分）黑板上写有 1，2，3，…，2011 一串数．如果每次都擦去最前面的 16 个数，并在这串数的最后再写上擦去的 16 个数的和，直至只剩下 1 个数，则：（1）最后剩下的这个数是多少？（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？6．（10 分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字．2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第 2 试）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）某班共 36 人都买了铅笔，共买了 50 支，有人买了 1 支，有人买了 2 支，有人买了 3 支．如果买 1 支的人数是其余人数的 2 倍，则买 2 支铅笔的人数是　 10 　 ．【分析】买 1 支的人数是其余人数的 2 倍，也就是说全班人数相当于其余人数的 1+2＝3 倍，先根据除法意义，求出买 2 支和 3 支铅笔的人数，再设买 2 支铅笔的有x人，进而用x表示出买 3 支铅笔的人数，最后依据买笔总数＝人数×买笔支数，用x表示出买笔总人数，根据铅笔总数是 50 支列方程，依据等式的性质即可求解．【解答】解：36÷（1+2）＝36÷3＝12（人）；设买 2 支铅笔的人数是x人12×2×1+2x+（12﹣x）×3＝50 24+2x+36﹣3x＝50 60﹣x+x＝50+x 60﹣50＝50+x﹣50 x＝10；答：买 2 支铅笔的人数是 10．故答案为：10．2．（10 分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为45，三角形ADO的面积为 18，三角形CDO的面积为 69．则三角形AED的面积等于　 75 　 ． 【分析】若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，那么△ADB，△ADE，△ADC的高为等差数列（可以认为中间三角形的高是两边三角形的高的平均数），所以面积也呈等差数列（可以认为中间三角形的面积是两边三角形的面积的平均数）．据此可解．【解答】解：若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，所以△ADE的高为△ADB和△ADC的高的平均数，因此△ADE的面积就等于△ADB和△ADC的面积的平均数．所以，S△ADE＝（S△ADB+S△ADC）÷2＝（45+18+18+69）÷2＝75；答：三角形AED的面积等于 75．3．（10 分）一列数的前三个依次是 1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以 4 所得的余数，则这列数中的前 2011 个数的和是　 3028 　 ．【分析】根据题意，列出这个数列是：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0…易见，从第 4 个数开始每 8 个数一个循环．由于前面还有 3 个数，所以需用 2011 减去 3 的得数除以 8，求出有多少组，再相加即可解答．【解答】解：这个数列：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0…（2011﹣3）÷8＝251（0+3+3+2+0+1+3+0）×251+1+7+8＝12×251+16＝3028故答案为：3028．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．有 57 个边长等于 1 的小等边三角形拼成一个内角都不大于 180 的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？【分析】在面积不变的情况下，要使得这些等边三角形堆成的边长最短，则使它们堆城一个六边形，且六边形的每个内角都是 120 度．然后构建一个大三角形：把大三角形每条边n等分，连结各边n等分点一共构成n×n个小等边三角形解答即可．【解答】解：我们把一个等边三角形每条边 2 等分，可以连结各边中点一共构成 2×2＝4 个小等边三角形；如果把每条边 3 等分，连结各边三等分点一共构成 3×3＝9 个小等边三角形；以此类推，把每条边n等分，连结各边n等分点一共构成n×n个小等边三角形． 7×7＜57＜8×8＜9×9，8×8＝64，64﹣57＝7，7 不能分解成为 3 个完全平方数之和的形式，9×9＝81，81＝4+4+16，所以我们就可以把这 57 个小三角形放在如图所示的等边三角形中，每条边被 9 等分，△ABC的边长为 9，三个角各被切除一部分，此时DE＝5，EF＝2，FG＝3，GH＝4，HI＝3，DI＝2，则DE+EF+FG+GH+HI+DI＝19，即这个六边形的周长至少是 19．答：这个六边形的周长至少是 19．故答案为：19．5．（10 分）黑板上写有 1，2，3，…，2011 一串数．如果每次都擦去最前面的 16 个数，并在这串数的最后再写上擦去的 16 个数的和，直至只剩下 1 个数，则：（1）最后剩下的这个数是多少？（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？【分析】（1）每操作一次，不影响黑板上所有数的总和，因此最后剩下的和＝1+2+3+…+2011，根据高斯求和公式完成即可．（2）由于倒数第 2 次操作，黑板上就 16 个数，总和是 2023066，这 16 个数来源于 16×16＝256个数，这 256 个数的和也同上．2011﹣（16﹣1）x＝256，x＝117 次显然，从开始，只要 117 次操作，黑板上就剩 256 个数．据此依据规则分析即可．①原有 2011 个数，和 2023066②操作 117 次，黑板剩余 256 个数：1873 到 2011，新出现 117 个和．这 117 个和＝2023066﹣（1873+2011）*139/2＝1753128③操作 16 次，黑板剩余 16 个数都是新出现，和＝2023066④操作 1 次，黑板剩余 1 个数＝2023066；综上，所有出现过的数＝2023066+1753128+2023066+2023066＝7822326【解答】解：（1）1+2+3+…+2011＝（1+2011）×2011÷2＝2012×2011÷2＝2023066答：最后剩下的这个数是 2023066．（2）由于倒数第 2 次操作，黑板上就 16 个数，总和是 2023066，这 16 个数来源于 16×16＝256个数，这 256 个数的和也同上．2011﹣（16﹣1）x＝256，x＝117 次，显然，从开始，只要 117 次操作，黑板上就剩 256 个数．①原有 2011 个数，和 2023066②操作 117 次，黑板剩余 256 个数：1873 到 2011，新出现 117 个和．这 117 个和＝2023066﹣（1873+2011）×139÷2＝1753128③操作 16 次，黑板剩余 16 个数都是新出现，和＝2023066④操作 1 次，黑板剩余 1 个数＝2023066综上，所有出现过的数＝2023066+1753128+2023066+2023066＝7822326．6．（10 分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字．【分析】首先判断出积能被 25 整除，由于各因数均为奇数，则判断积的末两位数字为 25 或75，结合各因数被 4 整除的余数特点判断积的余数，进而判断出末两位数字为 75．【解答】解：设n＝（21+1）×（22+1）×（23+1）×…×（22011+1），由于各因数 2k+1 均为奇数，其中 22+1＝5，26+1＝65＝5×13，所以n≡0（mod25），此时知n的末两位数字要么为 25，要么为 75．又 21+1≡3（mod4），对k≥2，都有 2k+1≡1（mod4），所以n≡3（mod4），即n的末两位数字被 4 除余 3，而 25≡1（mod4），75≡3（mod4），所以n的末两位数字为 75．答：（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字 75．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:42；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800