第 40 讲 不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如 5x－3y＝9 就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如 5x－3y＝9 的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定 x、y 的解是小于 5 的整数，那么解就只有 x＝3，Y＝2 这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有 3 个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。二、精讲精练【例题 1】求 3x+4y＝23 的自然数解。先将原方程变形，y＝。可列表试验求解：X 1 2 3 4 5 6 7Y 5 × × × 2 × ×所以方程 3x+4y＝23 的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2练习 11、求 3x+2y＝25 的自然数解。 2、求 4x+5y＝37 的自然数解。3、求 5x－3y＝16 的最小自然数解。【例题 2】求下列方程组的正整数解。5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例 1 那样的不定方程。5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得 13x+13y＝52 X+y＝4 ③把③式变形，得 y＝4－x。因为 x、y、z 都是正整数，所以 x 只能取 1、2、3.当 x＝1 时，y＝3当 x＝2 时，y＝2当 x＝3 时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得 x＝1，y＝3 时，z 无正整数解。 x＝2，y＝2 时，z 也无正整数解。 x＝3 时，y＝1 时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1 y＝1 z＝1 练习 2求下面方程组的自然数解。1、4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝683x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝523、5x+7y+4z＝263x－y－6z＝2【例题 3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装 12 个，每个小盒子装 5 个，恰好装完。如果弹子数为 99，盒子数大于 9，问两种盒子各有多少个？两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。设大盒子有 x 个，小盒子有 y 个，则 12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9） y＝（99－12y）÷5经检验，符合条件的解有： x＝2 x＝7y＝15 y＝3所以，大盒子有 2 个，小盒子有 15 个，或大盒子有 7 个，小盒子有 3 个。练习 3.1、某校 6（1）班学生 48 人到公园划船。如果每只小船可坐 3 人，每只大船可坐 5 人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）2、甲级铅笔 7 角钱一枝，乙级铅笔 3 角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？3、小华和小强各用 6 角 4 分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一枝和 7 分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？【例题 4】买三种水果 30 千克，共用去 80 元。其中苹果每千克 4 元，橘子每千克 3 元，梨每千克2 元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了 x 千克，橘子买了 y 千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得： 4x+3y+2×（30－x－y）＝82 x＝10－由式子可知：y<20，则 y 必须是 2 的倍数，所以 y 可取 2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：苹果9 8 7 6 5 4 3 2 1橘子2 4 6 81012141618梨191817161514131211练习 41、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共 26 只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的 9 倍，蓝皮球有多少只？2、用 10 元钱买 25 枝笔。已知毛笔每枝 2 角，彩色笔每枝 4 角，钢笔每枝 9 角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张 8 分，荧光纸每张 1 角，高级纸每张 2 角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？【例题 5】某次数学竞赛准备例 2 枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发 6 枝，二等奖每人发 3 枝，三等奖每人发 2 枝。后又改为一等奖每人发 9 枝，二等奖每人发 4 枝，三等奖每人发 1 枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？设一等奖有 x 人，二等奖有 y 人，三等奖有 z 人。则 6x+3y+2z＝22 ① 9x+4y+z＝22 ②由②×2－①，得 12x+5y＝22 y ＝ x＝1x 只能取 1。Y＝2，代入①得 z＝5，原方程的解为 y＝2z＝5所以，一等奖的学生有 1 人，二等奖的学生有 2 人，三等奖的学生有 5 人。练习 51、某人打靶，8 发打了 53 环，全部命中在 10 环、7 环和 5 环。他命中 10 环、7 环和 5 环各几发？2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋 30 个，价值 24 元。已知煮蛋每个 0.60 元，茶叶蛋每个 1 元，皮蛋每个 1.20 元。问篮子里最多有几个皮蛋？3、一头猪卖 3 个银币，一头山羊卖 1 个银币，一头绵羊买个银币。有人用 100 个银币卖了这三种牲畜 100 头。问猪、山羊、绵羊各几头？