第 28 讲 表面积与体积（二）一、知识要点解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。二、精讲精练【例题 1】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 6 米、3 米、2 米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了 6厘米和 4 厘米，两堆碎石的体积就是 3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是 0.7 立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）0.7÷6 的平方=7/360（米）=1 又 17/18（厘米）答：大水池的水面升高了 1 又 17/18 厘米。练习 1：1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 4 米、3 米、2 米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了 4 厘米和 11 厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？2、用直径为 20 厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为 30 厘米、20 厘米、5 厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到 0.1 厘米）？3、将表面积为 54 平方厘米、96 平方厘米、150 平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。【例题 2】一个底面半径是 10 厘米的圆柱形瓶中，水深 8 厘米，要在瓶中放入长和宽都是 8 厘米、高是 15 厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中，排开水的体积是 8×8×15=960（立方厘米）。而现在瓶中水深是 8 厘米，要淹没 15 厘米高的铁块，水面就要上升 15—8=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在水中。当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是 3.14×10×10—8×8=250（平方厘米）。水的形状变了，但体积还是 3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。水的高度是 2512÷250=10.048（厘米），上升 10.048—8=2.048（厘米）3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8=2512÷250—8=10.048—8=2.048（厘米）答：水面上升了 2.048 厘米。练习 2：1、一个底面积是 15 平方厘米的玻璃杯中装有高 3 厘米的水。现把一个底面半径是 1 厘米、高 5 厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（∏取 3）？2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积市 2 平方里。在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？3、在底面是边长为 60 厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长 100 厘米、底面边长为15 厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水 50 厘米深。现在把铁棍轻轻地向上方提起 24 厘米， 露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？【例题 3】某面粉厂有一容积是 24 立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的 2 倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图 28-1 所示）。设圆锥体的底面半径是 r，则长方体的高和宽也都是 r，长是 2r。长方体的容积是 2r×r×r=24，即 r 的立方=12。这个半圆锥体的体积是 1/3×∏r 的平方×r÷2=1/6∏r 的立方，将 r 的立方=12 代入，就可以求得面粉的体积。设圆锥体的底面半径是 r，则长方体的容积是 2r×r×r=24，r 的立方=12。1/3×3.14×r 的平方×r÷2=1/6×3.14×r 的立方=1/6×3.14×12=6.28（立方米）答：这堆面粉的体积是 6.28 立方米。练习 3：1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是 216 立方分米。求这个圆锥体的体积。2、一个正方体的纸盒中如图 28-2 所示，恰好能装入一个体积 6.28 立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大（∏取 3.14）？3、如图 28-3 所掷，圆锥形容器中装有 3 升水，水面告诉正好是圆锥高读的一半。这个容器还能装多少水？【例题 4】如果把 12 件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？ 设长方体物品的长、宽、高分别是 a、b、c，并且 a＞b＞c（入土 28-4）。比较“3×4”和“2×6”两种包法。图 28-5 中大长方体表面积为 6ab+8ac+24bc①，图 28-6 中大长方体的表面积为4ab+12ac+24bc②，两个式子中都曲调相同的部分 4ab+8ac+24bc 后，①式与②式的大小要看 2ab 与 4ac的大小。（1）当 b=2c 时，2ab=￥ac，两种包法相同。（2）当 b＜2c 时，“3×4”的包法表面积最小。（3）当 b＞2c 时，“2×6”的包法表面积最小。练习 4：1、如果把长 8 厘米，宽 7 厘米，高 3 厘米的 2 件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？2、一个精美小礼品盒的形状是长 9 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体。请你帮厂家设计一个能装 10 个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？3、一包香烟的形状是长方体，它的长是 9 厘米，宽是 5 厘米，高是 2 厘米。把 10 包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？【例题 5】一只集装箱，它的内尺寸是 18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸是 1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱？因为集装箱内尺寸 18 不是货箱尺寸 4 的倍数，所以，只能先在 18×16×18 的空间放货箱，可放18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。这时还有 18×2×18 的空间，但只能在 18×2×16 的空间放货箱，可放 18×2×16÷（1×4×9）=16（只）。最后剩下 18×2×2 的空间无法再放货箱，所以最多能装 144+16=160（只）。18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9）=144+16=160（只）答：这只集装箱能装 160 只货箱。练习 5：1、有一个长方体的盒子，从里面量长为 40 厘米、宽为 12 厘米、高为 7 厘米。在这个盒子里放长5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，最多可放几块？2、从一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？3、现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？图28—4cba图28—5图28—6