2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10 分）两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（　　）种可能的取值．A．16 B．17 C．18 D．192．（10 分）小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（　）分钟．A．6 B．8 C．10 D．123．（10 分）将长方形ABCD对角线平均分成 12 段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和是（　　）平方厘米．A．14 B．16 C．18 D．204．（10 分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（　　）A．2986 B．2858 C．2672 D．27545．（10 分）在序列 20170…中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（　　）A．8615 B．2016 C．4023 D．20176．（10 分）从 0 至 9 中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（　　）种填法使得方框中话是正确的． 这句话里有（　　）个数大于 1，有（　　）个数大于 2，有（　　）个数大于 3，有（　　）个数大于 4．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）7．（10 分） 若 [ ﹣ ]× ÷ +2.25＝4，那么 A 的值是　 　．8．（10 分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1﹣5 这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有　 　种情况使得这五个和恰为五个连续自然数． 9．（10 分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是 15 平方厘米，则ABCD的面积是　 　平方厘米．10．（10 分）若 2017，1029 与 725 除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是　 　．2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 10 分，共 60 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10 分）两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（　　）种可能的取值．A．16 B．17 C．18 D．19【分析】两个小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个小数的积的整数部分最小是 7×10＝70；这两个小数的积的整数部分最大不超过 8×11＝88，所以，这两个小数的积的整数部分在 70 与88 之间，包括 70，单不包括 88，共有 18 种可能，据此解答．【解答】解：根据题意与分析：这两个小数的积的整数部分最小是 7×10＝70；这两个小数的积的整数部分最大不超过 8×11＝88；所以，这两个小数的积的整数部分在 70 与 88 之间，包括 70，但不包括 88，共有：88﹣70＝18 种可能；答：这两个有限小数的积的整数部分有 18 种可能的取值．故选：C．2．（10 分）小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（　）分钟．A．6 B．8 C．10 D．12【分析】总共用时是 40，去掉换乘 6 分钟．40﹣6＝34 分钟．地铁是 30 分钟，客车是 50 分钟，实际是 34 分钟，根据时间差，比例份数法即可．【解答】解：乘车时间是 40﹣6＝34 分，假设全是地铁是 30 分钟，时间差是 34﹣30＝4 分钟，需要调整到公交推迟 4 分钟，地铁和公交的时间比是 3：5，设地铁时间是 3 份，公交是 5 份时间，4÷（5﹣3）＝2，公交时间为 5×2＝10 分钟．故选：C．3．（10 分）将长方形ABCD对角线平均分成 12 段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和是（　　）平方厘米． A．14 B．16 C．18 D．20【分析】设把中间最小的空白长方形的面积看作单位 1＝ab，那么与它相邻的阴影部分的面积就是 2a×2b﹣ab＝3ab＝3，同理，相邻的空白部分的面积就是 5ab＝5，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是 1+5+9＝15，而实际空白部分面积总和是 10 平方厘米，可得单位 1 的实际面积是 10÷15＝ （平方厘米）；同理，那么阴影部分面积总和是：3+7+11＝21，然后进一步解答即可．【解答】解：设把中间最小的空白长方形的面积看作单位 1＝ab，那么与它相邻的阴影部分的面积就是 2a×2b﹣ab＝3ab＝3，同理，相邻的空白部分的面积就是 5ab＝5，依此规律，面积依次下去为 7，9，11，则空白部分的面积总和是 1+5+9＝15，而实际空白部分面积总和是 10 平方厘米，可得单位 1 的实际面积是 10÷15＝ （平方厘米）；那么阴影部分面积总和是：3+7+11＝21，则实际面积是：21× ＝14（平方厘米）；答：阴影部分面积总和是 14 平方厘米．故选：A．4．（10 分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（　　）A．2986 B．2858 C．2672 D．2754【分析】根据特殊情况入手，结果中的数字 2 如果有进位那么 0 上边只能是 9，根据 910 多除以7 得 130 多，7 前面只能是 1，与数字 0 矛盾，那么就是没有进位．根据已知数字进行分析没有矛盾的就是符合题意的．【解答】解：首先根据结果中的首位数字是 2，如果有进位那么 0 上边只能是 9，根据 910 多除以 7 得 130 多，7 前面只能是 1，与数字 0 矛盾那么乘数中的三位数的首位只能是 1 或者 2，因为乘数中有 7 而且结果是三位数，那么乘数中三位数首位只能是 1．那么已知数字 7 前面只能是 2，根据已知数字 0 再推出乘数三位数中的十位数字是 0．再根据乘数中的数字 7 与三位数相乘有 1 的进位，尾数只能是 2．所以是 102×27＝2754．故选：D．5．（10 分）在序列 20170…中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（　　）A．8615 B．2016 C．4023 D．2017【分析】分析结果中的奇数偶数的性质，如果四个数字中出现一个奇数，那么下一个数字的结果一定是奇数，则 2 个奇数加两个偶数结果就是偶数．分析枚举找到规律即可． 【解答】解：枚举法0170 的数字和是 8 下一个数字就是 8．1708 的数字和是 16 下一个数字就是 6．7086 的数字和是 21 下一个数字就是 1．0861 的数字和是 15 下一个数字是 5．8615 的数字和是 20 下一个数字是 0．6150 的数字和为 12 下一个数字就是 2．20170861502…规律总结：查看数字中奇数的个数，奇数一出现就是 2 个．故选：B．6．（10 分）从 0 至 9 中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（　　）种填法使得方框中话是正确的． 这句话里有（　　）个数大于 1，有（　　）个数大于 2，有（　　）个数大于 3，有（　　）个数大于 4．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先考虑共 4 个空的数字不相同而且还有 1，2，3，4 一共是 8 个数字，如果有 0 和 1，那么至少大于 1 的数字还有 5 个，大于 4 的数字最多是 4 个，最少是 1 个，根据这些条件进行枚举筛选．【解答】解：依题意可知：设有a个数是大于 1 的，有b个数是大于 2 的，有c个数是大于 3 的，有d个数是大于 4 的．因为 1，2，3，4 各有一个，还有 4 个空，那么有a＞b＞c＞d．且a≥5，1≤d≤4①若d＝4，那么在这 8 个数字中需要有 4 个数字大于 4，目前只有a，b，c是大于 4 的不满足条件．②若d＝3 时，那么在这 8 个数中需要有 3 个数是大于 4 的，a，b，c都是大于 4 的满足条件．则大于 3 的数字共个 4．与c＞4 矛盾 ③若d＝2 时，则a，b大于 4，c不大于 4，c则是取 3 或者 4，分析a，b，c，d依次是7，5，3，2 或者 7，5，4，2④若d＝1 时，则a是大于 4 的，b，c是不大于 4 的，由 3，4，a都是大于 2 的，所以b≥3，则大于 2 的数共 4 个，所以b＝4，此时大于 3 的数有a，b，4 此时c≥3，那么大于 2 的数字共 5 个，矛盾故选：B．二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）7．（10 分） 若 [ ﹣ ]× ÷ +2.25＝4，那么 A 的值是　 4 　 ．【分析】先把繁分数化简，求出关于未知数A的方程，然后根据等式的性质解方程即可．【解答】解：[ ﹣ ]× ÷ +2.25＝4[ ﹣ ]× ÷ +2.25＝4[ ﹣ ]× ÷ ＝[ ﹣ ]× ＝ ﹣ ＝ × ﹣ ＝ ＝ + ＝ 24＝6A A＝4故答案为：4．8．（10 分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1﹣5 这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有　 10 　 种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为 5 个连续自然数”可以看出这 5 个和比原来1、2、3、4、5 要大些；五角星 5 个顶点的数都算了两次，所以可以算出 5 个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）＝30，原来 5 个自然数的和是：1+2+3+4+5＝15，新的 5 个连续自然数比原来 5 个连续自然数多了：30﹣15＝15，平均每个多 15÷5＝3，则新的 5 个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即 4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可确定每个顶点处有几种选值，再确定共有几种情况．【解答】解：五角星 5 个顶点的数都算了两次，所以可以算出 5 个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）＝30，原来 5 个自然数的和是：1+2+3+4+5＝15，新的 5 个连续自然数比原来 5 个连续自然数多了：30﹣15＝15，平均每个多 15÷5＝3，则新的 5 个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即 4、5、6、7、8；观察这新的 5 个连续自然数，最小的自然数 4 只能是 4＝1+3，最大的自然数 8 只能是 5+3，并且2 与 1，4 与 5 不能组合，这样就有如下组合：因为每个顶点有 2 种不同的选值，所以共有 2×5＝10 种；答：共有 10 种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．故答案为：10．9．（10 分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是 15 平方厘米，则ABCD的面积是　 180 　 平方厘米． 【分析】如图，连接EG， ，根据三角形的面积和底的正比关系，判断出S△BDE、S△DEF、S△BGH与S四边形ABCD的关系，推出S四边形EHGF与S四边形ABCD的关系，再根据四边形EHGF的面积是 15 平方厘米，求出ABCD的面积是多少即可．【解答】解：如图，连接EG， ，因为E为CD的中点，所以DE＝CD，所以S△BDE＝S△ADE＝S四边形ABCD；因为AC和BD的交点为G，所以G为AC的中点，因为E为CD的中点，所以EG∥AD，且 ＝ ，所以 ＝ ＝ ，所以S△DEF＝S△ADE＝S四边形ABCD；因为EG∥AD，且AD∥BC，所以EG∥BC， ＝ ，所以 ＝ ＝ ，所以S△BGH＝S△BCG＝S四边形ABCD；所以S四边形EHGF＝S△BDE﹣S△DEF﹣S△BGH＝S四边形ABCD，所以S四边形ABCD＝S四边形EHGF×12＝15×12＝180（平方厘米）答：ABCD的面积是 180 平方厘米．故答案为：180．10．（10 分）若 2017，1029 与 725 除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是　 35 　 ．【分析】根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304 均能被d整除，不难得出，三个数的最大公因数是 76，即d的值可能是： 76，38，19，4，2，1（被 1 除余数可看成 0）；然后分别用 725 除以d的可能值，求出d﹣r的值，选取d﹣r的最大值即可．【解答】解：根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即 988，1292，304 均能被d整除，988＝2×2×19×131292＝2×2×19×17304＝2×2×2×2×19所以三个数的最大公因数是：2×2×19＝76，d为 76 的因数，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被 1 除余数可看成 0），当d＝76 时，此时：725÷76＝9…41，即r＝41，即此时d﹣r＝76﹣41＝35；当d＝38 时，此时：725÷38＝19…3，即r＝3，即此时d﹣r＝38﹣3＝35；当d＝19 时，此时：725÷19＝38…3，即r＝3，即此时d﹣r＝19﹣3＝16；当d＝4 时，此时：725÷4＝182…1，即r＝1，即此时d﹣r＝4﹣1＝3；当d＝2 时，此时：725÷2＝362…1，即r＝1，即此时d﹣r＝2﹣1＝1；当d＝1 时，此时：725÷1＝725，即r＝0，即此时d﹣r＝1﹣0＝1；则，d﹣r的最大值是 35．故答案为：35．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:03:25；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800