第 4 节 抽象函数问题内容提要1．轴对称：如果函数 满足若 ，就有 ，则 的图象关于直线 对称.记法：自变量关于 a 对称，函数值相等，如图 1.2．中心对称：若函数 满足若 ，就有 ，则 关于点 对称.记法：自变量关于 a 对称，函数值关于 b 对称，如图 2.3．函数图象的对称轴和对称中心距离（规律：x 系数相反是对称，x 系数相同是周期）或关于直线 对称（当 时， 即为偶函数，关于 y 轴对称）关于直线 对称关于 对称（当 时， 即为奇函数，关于原点对称）关于点 对称4．双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）：（1）如果函数 有两条对称轴，则 一定是周期函数，周期为对称轴距离的 2 倍.（2）如果函数 有一条对称轴，一个对称中心，则 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的 4 倍.（3）如果函数 有在同一水平线上的两个对称中心，则 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的 2 倍.5．原函数与导函数的对称结论：（无需死记结论，想象图象，能理解就行）（1）若 存在导函数 ，且 有对称中心 ，则 必有对称轴 . 特别地，若 为奇函数，则 为偶函数.（2）若 存在导函数 ，且 有对称轴 ，则 必有对称中心 . 特别地，若 为偶函数，则 为奇函数.（3）若 有对称中心 ，则 不一定有对称轴 ；但若 ，则 一定有对称轴 . 特别地，若 为奇函数，则 必为偶函数. 9 ． （ ★★ ★ ★ ） 已知 是 函 数 的导 函 数 ，若 和 均为 奇 函 数 ， 且 ，则 .答案：解析：先把已知条件翻译成 的对称性，再利用对称性求函数值，最好画个图比较容易理解，为奇函数 的图象关于点 对称，所以 ，为奇函数 为偶函数 的图象关于 y 轴对称，所以 的周期为 8，因为 ，且 关于 对称，所以 ，又 为偶函数，且周期为 8，所以 ， ，从而 ，故.10．（2021·新课标Ⅱ卷·★★★★）设函数 的定义域为 R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， . 若 ，则 （ ）（A） （B） （C） （D）答案：D解析： 为奇函数 的图象关于点 对称，所以 ，为偶函数 的图象关于直线 对称，所以 ，从而 是以 4 为周期的周期函数，所以 ，在 中取 可得 ，所以 ，还得把 a 和 b 求出来才能得出答案， 在 中取 可得 ，在 中取 得 ，所以 ，故 ，在 中取 得 ，而 ，所以 ，故 ，所以 .11．（2022·全国乙卷·理·12·★★★★）已知函数 ， 的定义域均为 R，且 ，. 若 的图象关于直线 对称， ，则 （ ）（A） （B） （C） （D）答案：D解析：要求 ，得研究 的性质，先用已知的 把 有关的消掉，在 中将 x 换成 可得 ，所以 ，代入 可得 ，所以 ，故 关于 对称，题干给出了 关于 对称，而 和 显然是有关系的，可以由此条件再推导 的对称性，由 可得 ，将 x 换成 可得 ，从而 可由 左移 4 个单位，下移 7 个单位得到，故 关于直线 对称，所以 是以 4 为周期的周期函数，接下来求一个周期的整点函数值，就可以算出 ，首先， 关于 对称，所以 ，故 ，又 关于 对称，所以 ，结合周期为 4 可得 ，只要求出 和 ，就大功告成，条件中 还没用，先在题干给的等式中将 构造出来，因为 ，在 中取 可得 ，所以 ，故 ，由 以及 关于 对称可得 ，结合周期为 4 可得 ，所以 .12．（2022·新高考Ⅱ卷·★★★★）若函数 的定义域为 R，且 ， ，则 （ ）（A） （B） （C）0 （D）1答案：A解法 1：本题要 ，应该要先求 的周期，可以在 中对 y 赋值， 在 中令 可得 ①，在①中将 x 换成 可得 ，结合式①可得 ，所以 ，从而 ，故 ，所以 的周期为 6；求出了周期，接下来需要计算一个周期内的整点函数值，问题就解决了，因为已知 ，所以可以在 通过赋值构造出 和其它的函数值，在 中令 ， 可得 ，又 ，所以 ，结合周期为 6 可得 ，令 可得 ，所以 ，令 ， 可得 ，所以 ，在 中令 可得 ，令 可得 ，所以 ，故 .解法 2：设 ，不难验证满足题干所有条件，进一步可求得 . （4）若 有对称轴 ，则 必有对称中心 . 特别地，若 是偶函数，则 不一定是奇函数，只能 关于 对称，但 b 不一定是 0.典型例题【例 1】已知函数 满足 ，且在 上为增函数，则（ ）（ A ） （ B ） （ C ） （ D ）答案：C解析： 的图象关于直线 对称，所以 ，因为 ，且 在 上为增函数，所以 ，从而 .【反思】本题的关键是由 识别出 的对称性.【变式 1】已知函数 满足 ，且在 上为增函数，则（ ）（A） （B） （C） （D）答案：D解析： 关于点 对称，又 在 上 ，所以 的草图如图，由图可知 在 R 上 ，所以 .【反思】本题只需由 识别出 的对称性，结合单调性想象图形就可以解题.【变式 2】已知函数 满足 ，若函数 有 3 个不同的零点 、 、 ，则 .答案：3解析：看到 ，马上想到 的图象关于 对称，而要研究 的零点，可以分离一下，再作图看交点， ，函数 没给解析式，只能从对称的角度来看，由于 和 的图象也都于 对称，故它们的交点关于直线 对称，如图，设 ，则必有 且 ，故 . 【变式 3】已知函数 满足 ，若 ，则 .答案：0解析： ，所以 的图象关于点 对称，而 ， ， ， 这几个函数值中， 和 3 关于 1 对称，0 和 2 关于 1 对称，所以 和 有关系， 和 有关系，抓住这点就可以求 了，在 中取 可得 ，所以 ，取 可得 ，所以 ，故 ，又 ，所以 .【例 2】偶函数 的图象关于直线 对称， ，则 .答案：3解析：由题意， 有对称轴 和 ，所以 的周期为 4，故 .【反思】对称轴 对称轴 周期，周期为对称轴之间距离的 2 倍.【变式 1】偶函数 满足 ，且 ，则 .答案：0解析：由题意， 关于点 对称，又 为偶函数，所以 关于 y 轴对称，从而 的周期为 4，故 ，在 取 可求得 ，所以 .【反思】对称轴 对称中心 周期，周期为二者之间距离的 4 倍.【变式 2】（2018·新课标Ⅱ卷）若 是定义域为 的奇函数，满足 ，若 ，则 （ ）（A） （B）0 （C）2 （D）50答案：C解法 1：首先由双对称，推出周期，下面给出结论的推导方法，因为 是奇函数，且 ，所以 ，故 ，所以 ，即 是以 4 为周期的周期函数，故 ， 接下来还需计算 和 ，不能只由周期来求，要结合奇函数满足 这个隐含条件，在 中取 知 ，又 ，所以 ，故.解法 2：也可以分析已知条件，举一个具体的函数来求解答案，为奇函数 有对称中心坐标原点， 有对称轴 ，既有对称轴又有对称中心，在三角函数中比较好找，结合 ，可取 ，此时不难发现 周期为 4， ， ， ，所以.【变式 3】（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 的定义域为 R，且 是偶函数， 是奇函数，则下列选项中值一定为 0 的是（ ）（A） （B） （C） （D）答案：B解法 1：先由题干的条件推导 的对称性情况， 是偶函数 关于直线 对称，题干给出 是奇函数，这个条件怎么翻译？实际上，它和 为奇函数效果一样，都能得出 关于点 对称，理由如下，设 ，则 是奇函数，所以 ，即 ，从而 ，令 ，则 ，故 ，所以 关于点 对称，从而 周期为 4，且 ，又 的图象关于 对称，所以 ，故 ，选 B.解法 2：也可以直接翻译已知条件，通过赋值来求解答案，但这种解法更抽象，由题意， 是偶函数，所以 ①，又 是奇函数，所以 ②，在②中取 得 ，所以 ，已经得到一个等于 0 的函数值了，但没有这个选项，所以结合式①继续推理，为了在式①中构造出 ，取 得 ，故 ，选项中还是没有 ，所以又结合式②继续推理，为了构造出 ，在②中取 得 ，所以选 B. 【反思】若 的图象关于点 对称，且 在 处有定义，则必有 .【变式 4】定义在 R 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 .答案：解析：由题意， 有对称中心 和 ，故其周期为 2，所以 .【反思】若 有位于同一水平线上的两个对称中心，则 为周期函数，周期为二者之间距离的 2 倍.【例 3 】已知 是函数 的导函数，若 为偶函数，且 在点 处的切线方程为，则 .答案：1解析： 为偶函数 的图象关于直线 对称，又 在 处的切线方程为 ，所以 ， ，因为 的图象关于直线 对称，所以 ，（关于 对称的位置函数值相等）且 （关于 对称的位置的切线也关于 对称，斜率相反，如图），故 .【变式 1】已知 是函数 的导函数， 为奇函数，设 ， ，且 ，则 .答案：2解析：先利用已知条件推出 的对称性、周期性，再画草图看函数值，为奇函数 关于点 对称，所以 ，又 ，所以 ，如图，关于 对称 关于直线 对称，所以 周期为 4，且 ， ，从而 ，故. 【变式 2】（2022·新高考Ⅰ卷）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 R，记 ，若 ， 均为偶函数，则（ ）（A） （B） （C） （D）答案：BC解析：先把已知的 ， 均为偶函数翻译一下，可以翻译成 和 的对称性，为偶函数 的图象关于直线 对称，为偶函数 的图象关于直线 对称 的图象关于点 对称，（此处必须通过直观想象图形的样子，用 的对称性反推 的对称性，否则无法求解此题）所以 是以 2 为周期的周期函数（双对称周期结论），故 也是以 2 为周期的周期函数，A 项， ，而 的值无法确定，故 A 项错误；B 项， 周期为 2 ，因为 的图象关于直线 对称，所以 必是 的极值，从而 ，故 ，所以 ，故 B 项正确；C 项， 的图象关于直线 对称 ，故 C 项正确；D 项， 周期为 2 ，又 的图象关于直线 对称，所以 的图象在 和处的切线斜率互为相反数，从而 ，所以 ，故 D 项错误.强化训练1．（2022·成都模拟·★★★）已知函数 满足 ，且 在 上为减函数，则（ ）（A） （B）（C） （D） 答案：B解析： 的图象关于直线 对称，结合 在 上为减函数可得当自变量与 2 的距离越大时，函数值越小，如图，而 ， ， ，所以 ，故 .2 ．（ 2022· 甘肃模 拟 ·★★★ ）定义 在 R 上的奇 函数 满 足 ，且 当 时，，则 （ ）（A） （B） （C）2 （D）8答案：D解析： 关于 对称， 为奇函数 关于原点对称，所以周期为 8，故 .3 ． （ 2021· 湖 北模拟 ·★★★ ） （ 多 选） 设 是 定 义 在 R 上的 偶 函数 ， 且 对 任意 的 ，都有，当 时， ，则（ ）（A） 是周期函数，且周期为 2（B）的最大值是 1，最小值是（C） 在 上单调递减，在 上单调递增（D）当 时，答案：BC解析：A 项， 是偶函数 关于 对称， 关于 对称，所以是以 4 为周期的周期函数，故 A 项错误； B 项，当 时， ，结合 是周期为 4 的偶函数可作出 的大致图象如图，由图可知 ， ，故 B 项正确；C 项，由图可知 C 项正确；D 项，由图可知 在 上 ，而 在 上 ，故 D 项错误.4 ． （ ★ ★ ★ ） 若 是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 ， ， 若 ， 则 .答案：1解析： 有对称中心 和对称轴 周期为 4，在 中取 知 ，又 ， ，所以 ，故 .5．（★★★）已知函数 ，定义域为 R 的函数 满足 ，若函数与 的图象的交点为 ， ，…， ，则 （ ）（A）0 （B）5 （C）10 （D）15答案：B解析： 没给解析式，给的是 ，只能得出对称性，所以也要研究 的对称性，注意到 为奇函数，其图象关于原点对称，所以 的图象关于点 对称，又 ，所以 的图象也关于点 对称，故 与 的交点关于点 对称，如图，由图可知， ， ，所以 . 6 ． （ 2022· 四 川 模 拟 ·★★★ ） 奇 函 数 满 足 ， 若 当 时 ，，则函数 的零点个数为 .答案：9解析： 的图象关于点 对称，又 为奇函数，所以 的图象关于原点对称，所以 的周期为 2，如图， 与 的图象共有 9 个交点，所以函数 有 9 个零点.7．（2022·江苏模拟·★★★）偶函数 满足 ，当 时， ，则函数 的所有零点之和为（ ）（A）4 （B）6 （C）8 （D）10答案：B解析： 的图象关于 对称， 为偶函数 的图象关于 y 轴对称，所以 的周期为 2， ，作出图象如图，由图可知两图象有 6 个交点，且它们两两关于直线 对称，故 的零点之和为 6.8．（★★★）已知 是函数 的导函数，若 为奇函数，且 在点 处的切线方程为 ，则 .答案：1解析： 为奇函数 的图象关于点 对称，又 在 处的切线方程为 ，所以 ， ，因为 的图象关于点 对称，所以 ，（点 和 关于 对称）且 （关于 对称的位置的切线斜率相等，如图），故 .