2012 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）一、填空题1．（8 分）计算：（2012﹣284+135）×7÷69＝　 　．2．（8 分）小明发现在 2012 年 3 月的日历某一列上的 5 个日期的数字之和是 80，那么这一列上的第二个日期是　 　号．3．（8 分）40 只脚的蜈蚣和 9 个头的龙同在一个笼子里，共有 50 个头和 220 只脚，若每只蜈蚣有一个头，则每条龙有　 　只脚．4．（8 分）在右面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，使得算式成立．那么四位数“望子成龙”是　 　．5．（8 分）有一个奇妙的国家，叫“﹣0 国”，他们只有 1 和 0 两个数字，所以，当遇到比较大的数时，他们就要用好多个 1 和 0 组合相加来表示，比如说：12 可以表示成三个数的和 10+1+1，也可以表示成两个数的和 11+1，那么在“﹣0 国”，20120204 最少要用　 　个数相加来表示．二、填空题6．（10 分）农历龙年的第一天（即大年初一）是 01 月 23 日，如果用四个数字来表示这天的日期，应该是 0123．我们会发现，这四个数字正好是四个连续数字，类似的日期还有 02 月 13 日，03 月 12日等．那么 2012 年最后一个用四个连续数字表示的日期是农历龙年的第　 　天．7．（10 分）一串珠子共 31 个，正中间一个最贵．从一端算起，后一个比前一个贵 3 元，到中间那个为止．从另一端算起，后一个比前一个贵 4 元，到中间那个为止．这串珠子总价值 2012 元，那么中间的一颗珠子价值　 　元．8．（10 分）如图，蕾蕾用 12 根小木棍摆成一个 3×3 的正方形，凡凡摆了 9 根小木棍将它切割成 3 个1×2 的小长方形和 3 个 1×1 的小正方形．如果蕾蕾用 40 根小木棍摆成一个 8×12 的矩形，那么凡凡再摆　 　根小木棍，才能将它切割成 40 个小长方形，使得每个小长方形要么是 1×2 的，要么是 1×3 的．9．（10 分）某次考试，得分不超过 30 分的有 153 人，平均 24 分；得分不低于 80 分的有 59 人，平均92 分；得分超过 30 分的平均 62 分，得分低于 80 分的平均 54 分．那么这次考试共有　 　人参加．10．（10 分）2012 位同学排成一列依次报数．若某位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的 2倍；若某位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与 5 的和．已知第一位同学报 1，到了第 100 位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是 5．那么第 100 位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了　 　．三、填空题11．（12 分）桌面上放有四张大小不同的正方形纸片边长分别为 2，3，4，5，若分别取走边长为2，3，4，5 的正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少 2，3，4，5，那么四张纸片覆盖的面积是多少？12．（12 分）红、黄、蓝三种颜色的球共 2012 个排成一排，相邻 2 球之间的距离为 1 厘米．每相邻的4 个球中都有 1 个红球、1 个黄球和 2 个蓝球．左数第 100 个红球和右数第 100 个黄球之间的距离是1213 厘米．那么左数第 100 个蓝球和右数第 100 个蓝球之间的距离是　 　厘米．13．（12 分）将给定的所有数字串填入方格内，每个数字串恰好用一次，每个格内恰好填一个数字，同一个数字串中的数字不能被阴影断开，数字串的方向都是从上到下或者从左到右的．如图中给出了一个例子，图 2 是图 1 的唯一填法．请根据以上的规则，将图 3 填写完整，那么 是　 　． 14．（12 分）池塘中 10 片莲叶如图排列．青蛙在莲叶间跳跃，每次只能从一片莲叶跳到相邻的另一片莲叶．一只青蛙盘算着从其中一片莲叶上起跳，连跳 4 步，那么它有　 　种不同的跳法．2012 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题1．（8 分）计算：（2012﹣284+135）×7÷69＝　 189 　 ．【解答】解：（2012﹣284+135）×7÷69＝（1728+135）×7÷69＝1063÷69×7＝27×7＝189；故答案为：189．2．（8 分）小明发现在 2012 年 3 月的日历某一列上的 5 个日期的数字之和是 80，那么这一列上的第二个日期是　 9 　 号．【解答】解：根据分析，设此 5 个数分别为：a1，a2，a3，a4，a5，数字之和为：Sn，由等差数列性质可知，Sn＝a1+a2+a3+a4+a5＝5×a3＝80，这一列上中间的日期为：a3＝80÷5＝16 号，因此第二个日期应为：a2＝16﹣7＝9 号，故答案为：9．3．（8 分）40 只脚的蜈蚣和 9 个头的龙同在一个笼子里，共有 50 个头和 220 只脚，若每只蜈蚣有一个头，则每条龙有　 4 　 只脚．【解答】解：设蜈蚣和龙的个数分别为x、y，9 个头的龙的脚数为n，x、y、n均为正整数；则 ，整理，可得（360﹣n）y＝1780，y能被 1780 整除，1780＝2×2×5×89，又因为 9y＜x+9y＝50， 所以y≤5，y只能为 1、2、5，（1）将y＝1 代入到（360﹣n）y＝1780，解得n＝﹣1420＜0，不符合题意；（2）将y＝2 代入到（360﹣n）y＝1780，解得n＝﹣530＜0，不符合题意；所以y＝5，解得n＝4．答：每条龙有 4 只脚．故答案为：4．4．（8 分）在右面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，使得算式成立．那么四位数“望子成龙”是　 1468 　 ．【解答】解：依题意可知：龙+龙+龙的尾数是 2，那么有 3+3+3+3 或者 8+8+8+8．当龙＝3 时，成+成+成加上一个进位尾数为 1，没有进位尾数为 0，没有符合条件的数字．当龙＝8 时，成+成+成加上 3 个进位尾数为 1，那么成+成+成尾数为 8，那么 6+6+6 满足条件．子+子加上 2 个进位尾数为 0，同时子+子加上 2 个进位得数不能向千位进位 2，那么子＝4 满足条件．望加上 1 个进位等于 2，望＝1．故答案为：14685．（8 分）有一个奇妙的国家，叫“﹣0 国”，他们只有 1 和 0 两个数字，所以，当遇到比较大的数时，他们就要用好多个 1 和 0 组合相加来表示，比如说：12 可以表示成三个数的和 10+1+1，也可以表示成两个数的和 11+1，那么在“﹣0 国”，20120204 最少要用　 4 　 个数相加来表示．【解答】解：20120204＝10110101+10010101+1+1所以 20120204 最少要用 4 个数相加来表示．故答案为：4．二、填空题6．（10 分）农历龙年的第一天（即大年初一）是 01 月 23 日，如果用四个数字来表示这天的日期，应该是 0123．我们会发现，这四个数字正好是四个连续数字，类似的日期还有 02 月 13 日，03 月 12日等．那么 2012 年最后一个用四个连续数字表示的日期是农历龙年的第　 343 　 天．【解答】解：依题意可知：2012 年 12 月份最后的四个连续数字为 12 月 30 日．2012 年是润年有 366 天那么从 1 月 23 日到 12 月 30 日．经过 366﹣22﹣1＝343．故答案为：3437．（10 分）一串珠子共 31 个，正中间一个最贵．从一端算起，后一个比前一个贵 3 元，到中间那个为止．从另一端算起，后一个比前一个贵 4 元，到中间那个为止．这串珠子总价值 2012 元，那么中间的一颗珠子价值　 92 　 元．【解答】解：根据分析，假设正中间珠子价值为a，由等差数列的性质得：前 15 个珠子的总价值为：（a﹣3×8）×15 元，后 15 个珠子的总价值为：（a﹣4×8）×15 元，∴（a﹣3×8）×15+（a﹣4×8）×15+a＝2012，解得：a＝92，中间的一颗珠子价值 92 元．故答案是：92．8．（10 分）如图，蕾蕾用 12 根小木棍摆成一个 3×3 的正方形，凡凡摆了 9 根小木棍将它切割成 3 个1×2 的小长方形和 3 个 1×1 的小正方形．如果蕾蕾用 40 根小木棍摆成一个 8×12 的矩形，那么凡凡再摆　 116 　 根小木棍，才能将它切割成 40 个小长方形，使得每个小长方形要么是 1×2 的，要么 是 1×3 的．【解答】解：根据分析，假设 40 个小长方形均是 1×3 的，则总面积为 40×3＝120，而长方形面积为 8×12＝96，所以 1×2 的小长方形有（120﹣96）÷（3﹣2）＝24 个，1×3 的小长方形有 40﹣24＝16，这些小长方形的总周长为：8×16+6×24＝272，除矩形最外一周，每条边长位于两个小长方形中，所以矩形内部增加的总长为：（272﹣40）÷2＝116．即需要摆 116 根木棍．故答案是：116．9．（10 分）某次考试，得分不超过 30 分的有 153 人，平均 24 分；得分不低于 80 分的有 59 人，平均92 分；得分超过 30 分的平均 62 分，得分低于 80 分的平均 54 分．那么这次考试共有　 1007 　 人参加．【解答】解：[153×（54﹣24）+59×（92﹣62）]÷（62﹣54）+153+59＝[4590+1770]÷8+212＝6360÷8+212＝795+212＝1007（人）答：这次考试共有 1007 人参加．故答案为：1007．10．（10 分）2012 位同学排成一列依次报数．若某位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的 2倍；若某位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与 5 的和．已知第一位同学报 1，到了第 100 位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是 5．那么第 100 位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了　 8 　 ．【解答】解：按照规则将前面几位同学所报数写出：1，2，4，8，16，11，6，12，7，14，9，18，13，8，16…可以发现从第 5 位同学开始，每 10 位同学为一个周期，所以第 99 位同学报的数为 7；由于最后一位同学报的数是 5，则倒数第 2 位只能报 10，倒数第 3 位只能报 5 或 15…以此类推可知，第 100 位同学报的数只能为 15，是把前一位同学报的数加上了 8．故答案为 8．三、填空题11．（12 分）桌面上放有四张大小不同的正方形纸片边长分别为 2，3，4，5，若分别取走边长为2，3，4，5 的正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少 2，3，4，5，那么四张纸片覆盖的面积是多少？【解答】解：如图： 四张纸的面积分别为 4、9、16、25，每张纸片与其他纸片重叠部分的面积分别为 2、6、12、20，由于 2+6+12＝20，所以只能前 3 张纸片与第四张分别重叠，没有三张重叠在一起的部分，重叠部分的面积是 20，最大的正方形纸片与其他三张纸片都重叠，而其他三张纸片彼此都不重叠．也就是只存在两两重叠的情况，并且重叠的面积是 20 平方米．所以覆盖面积用四张正方形纸片总面积减去 20 平方米，所以总的覆盖面积为：4+9+16+25﹣20＝34答：四张纸片覆盖的面积是 34．12．（12 分）红、黄、蓝三种颜色的球共 2012 个排成一排，相邻 2 球之间的距离为 1 厘米．每相邻的4 个球中都有 1 个红球、1 个黄球和 2 个蓝球．左数第 100 个红球和右数第 100 个黄球之间的距离是1213 厘米．那么左数第 100 个蓝球和右数第 100 个蓝球之间的距离是　 1615 　 厘米．【解答】解：根据分析，每 4 个球有 1 个红球、1 个黄球，那么左数第 100 个红球应在（3979，398，399，400）中；右数第 100 个黄球应在（1613，1614，1615，1616）中，由于两球之间的距离是 1213 厘米只能是 400 和 1613，即第 400 个为红球，第 1613 个为黄球，所以从第一个球起，球的颜色按照“黄，蓝，蓝，红”循环，左数第 100 个篮球应为（197，198，199，200）中的第 199 个，右数第 100 个篮球应为（1813，1814，1815，1816）中的第 1814 个，之间的距离是 1814﹣199＝1615 厘米．故答案是：1615．13．（12 分）将给定的所有数字串填入方格内，每个数字串恰好用一次，每个格内恰好填一个数字，同一个数字串中的数字不能被阴影断开，数字串的方向都是从上到下或者从左到右的．如图中给出了一个例子，图 2 是图 1 的唯一填法．请根据以上的规则，将图 3 填写完整，那么 是　 12204 ． 【解答】解：两个五位数只有中间的数不同，因此可以确定 4 个数；每个三位数末位均为 0，均可以确定填出；末位为 0 的两位数只有 40，所以E只能为 4，首位为 4 的只有 40 和 42，40 已用，因此C左侧只能为 2，如图 1：以 1 为首的四位数只有两个，且前三位均为 102，所以第 1 列可以确定为 102；以 2 为首的四位数只有一个，所以 2224 可以确定；以 4 为首的三位数只有 410，1 可以确定；以 10 结尾的三位数只剩下 210，所以 2 可以确定；以 2 为首、0 结尾的三位数只有 220，所以C可以确定为 2；以 2 为首的两位数只有 21，所以C下方只能填 1，如图 2：第 3 列，以 22 结尾的四位数只有 1022 和 0022，两个五位数的第 3 位只能是 0 或 2，所以第 1 行的五位数中间数只能为 0，第 3 列的四位数为 0022，所以B为 2；以 0 为首、2 结尾的四位数只剩 0102，所以第 5 列下方的四位数可以确定，进而以 01 为首的四位数只剩下 0110，所以D只能为 0，如图 3： 三位数 220、410、210 均出现过，所以倒数第 2 行的三位数只能是 120，剩下的两个两位数 12 和11，12 只能在第 2 列下方，所以A为 1，如图 4：至此可确定这个五位数为 12204，故答案为：12204．14．（12 分）池塘中 10 片莲叶如图排列．青蛙在莲叶间跳跃，每次只能从一片莲叶跳到相邻的另一片莲叶．一只青蛙盘算着从其中一片莲叶上起跳，连跳 4 步，那么它有　 2304 　 种不同的跳法．【解答】解：如图 1，青蛙若要跳到点A位置，可以从点B、D这 2 种跳法到达，若要跳到点B位置，可以从点A、D、E、C这 4 种跳法到达，…如图 2，图中每点所标示的数即代表跳 1 步到达这个点的跳法总数，共有 36 种； 如图 3，图中每点所标的数表示跳 2 步到达这个点的跳法总数（由图 2 中于此点相邻点上所标数相加而得到），共有 144 种，由此可以发现，每多跳一步，跳法就增加为原来的 4 倍，所以跳 3 步有 144×4＝576 种，跳 4 步有 576×4＝2304 种，故答案为：2304．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:04:11；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800