2014 年第五届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组笔试二）一、填空题（每题 20 分，共 60 分）1．（20 分）甲参加铁人三项比赛，先是游泳 1.5 千米，接着骑自行车 40 千米，最后跑 10 千米．甲的跑步速度是游泳速度的 5 倍，骑车速度是跑步速度的 2.5 倍，甲的游泳和跑步的总时间比骑车的时间多 6 分钟，那么甲完成整个比赛的时间为　 　分钟．2．（20 分）如图，圆圈上有 7 个点，每个点处放有一个盒子，每个盒子里装有棋子的数目见该点处的数字．老师让 7 名小朋友分别站在盒子旁做传棋子游戏：小朋友们同时将自己面前的盒子里的一半棋子放到逆时针相邻的盒子里，然后老师向只有奇数枚棋子的盒子里放一枚棋子．重复上述传递方式 20 次后，老师共向所有的盒子里放了　 　枚棋子．3．（20 分）十个毕业班级都向低年级同学捐献了图书，其中任意六个班所捐献的册数之和都不少于总捐献册数 50%．那么捐献册数最多的班级所捐献册数占总册数的最大百分比是　 　．二、解答题（每题 20 分，共 60 分）4．（20 分）如图是手机上设置“手势密码”的图片，在 2×2 方格中有 9 个格点．“手势密码”是以某个格点为起点，用线段依次连接若干格点．每次连接的线段中间不能有未被用过的格点并且线段的两个端点不能都是已用的格点．若一个人的手势密码以中心的格点为起点且只用了三个格点，则有多少种连接方式？5．（20 分）两个相同的长方形纸片，每块面积为 48 平方厘米．如图所示叠放在一起盖住的面积为 72平方厘米．已知重叠部分的四边形ABCD的一条对角线BD为 6 厘米，则每张长方形纸片的长是多少厘米？6．（20 分）将分别写有数 1 至 23 的 23 张卡片分成三堆，已知三堆卡片上的数的平均数分别是13、4、17，问：平均数为 13 的那堆至少有几张卡片？2014 年第五届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组笔试二）参考答案与试题解析一、填空题（每题 20 分，共 60 分）1．（20 分）甲参加铁人三项比赛，先是游泳 1.5 千米，接着骑自行车 40 千米，最后跑 10 千米．甲的跑步速度是游泳速度的 5 倍，骑车速度是跑步速度的 2.5 倍，甲的游泳和跑步的总时间比骑车的时间多 6 分钟，那么甲完成整个比赛的时间为　 134 　 分钟．【分析】根据题意可设游泳的速度为每分钟x千米，跑步的速度是每分钟 5x千米，骑车的速度 是每分钟 2.5×5x千米，根据游泳的时间+跑步的时间﹣骑车的时间＝6，据此可列方程进行解答．【解答】解：设游泳的速度为每分钟x千米，跑步的速度是每分钟 5x千米，骑车的速度是每分钟 2.5×5x千米+ ﹣ ＝6 ＝6 1.5+2﹣3.2＝6x 0.3＝6x x＝0.055x＝5×0.05＝0.252.5×5x＝2.5×5×0.05＝0.625（1.5÷0.05）+（10÷0.25）+（40÷0.625）＝30+40+64＝134（分钟）答：整个比赛的时间为 134 分钟．故答案为：134．2．（20 分）如图，圆圈上有 7 个点，每个点处放有一个盒子，每个盒子里装有棋子的数目见该点处的数字．老师让 7 名小朋友分别站在盒子旁做传棋子游戏：小朋友们同时将自己面前的盒子里的一半棋子放到逆时针相邻的盒子里，然后老师向只有奇数枚棋子的盒子里放一枚棋子．重复上述传递方式 20 次后，老师共向所有的盒子里放了　 42 　 枚棋子．【分析】按题设要求进行操作，找出其规律，这样往往是周期现象问题．【解答】解：每次传递后盒子里棋子数目变化如下：原来棋子数：2，4，6，8，10，12，14 （逆时针方向排列） 第 1 次：8，3，7，7，9，11，13， 放 6 枚后：8，4，8，8，10，12，14 第 2 次操作后：12，6，6，8，10，12，14，放了 6 枚； 第 3 次操作后：14，10，6，8，10，12，14，放了 6 枚； 第 4 次操作后：14，12，8，8，10，12，14，放了 4 枚； 第 5 次操作后：14，11，10，8，10，12，14，放了 4 枚； 第 6 次操作后：14，14，12，10，10，12，14，放了 4 枚； 第 7 次操作后：14，14，14，12，10，12，14，放了 4 枚； 第 8 次操作后：14，14，14，14，12，12，14，放了 4 枚； 第 9 次操作后：14，14，14，14，11，12，14，放了 2 枚； 第 10 次操作后：14，14，14，14，14，14，14，放了 2 枚； 第 11 次操作后：14，14，14，14，14，14，14，放O枚； 以后不论进行多少次，每盒棋子数不变，也不用放棋子，共计放入 3×6+5×4+2×2＝42（枚）．答案：42 枚．3．（20 分）十个毕业班级都向低年级同学捐献了图书，其中任意六个班所捐献的册数之和都不少于总捐献册数 50%．那么捐献册数最多的班级所捐献册数占总册数的最大百分比是　 25% 　 ．【分析】按题意，可以设甲为捐献册数最多的班级，x%是其所捐献册数占总数的百分比，其余的 9 个班按 3 个班级一组分为A、B和C三组，可以利用所捐献册数之和不少于 50%，可解得x的取值范围，取的最大值即是所求的最大百分比． 【解答】解：根据分析，设甲为捐献册数最多的班级，x%是其所捐献册数占总数的百分比，其余的 9 个班按 3 个班级一组分为A、B和C三组，设他们所捐献册数占总数百分比为a%，b%和c%．则：2（100﹣x）＝2（a+b+c）＝（a+b）+（b+c）+（c+a）≥50+50+50，解得：x≤25．∴捐献册数最多的班级所捐献册数占总数的最大百分比不能超过 25%，当 9 个班级每一个捐书册数占总数的 %＝ %时，则他们中任意 6 个所捐献册数之和恰好为总数的 50%，而甲的恰好为 25%．故答案是：25%．二、解答题（每题 20 分，共 60 分）4．（20 分）如图是手机上设置“手势密码”的图片，在 2×2 方格中有 9 个格点．“手势密码”是以某个格点为起点，用线段依次连接若干格点．每次连接的线段中间不能有未被用过的格点并且线段的两个端点不能都是已用的格点．若一个人的手势密码以中心的格点为起点且只用了三个格点，则有多少种连接方式？【分析】如右图所示，9 个格点分别用字母标示，以O为起点，可以先用线段连接另外 8 个格点的任意一个，然后再连接第三个点，分两类推理，利用分类计数原理可得结论．【解答】解：如右图所示，9 个格点分别用字母标示，以O为起点，可以先用线段连接另外 8 个格点的任意一个，然后再连接第三个点．①第二个格点为A时，由题意，连接的第三个格点可以是B，D，E，F，H，所以有 5 种连接方式；类似地，第二个格点为C，E，G时各有 5 种连接方式；②第二个格点为B时，连接的第三个格点可以是O和B以外的其它 7 个格点，所以有 7 种连接方式；类似地，第二个格点为D，F，H时，各有 7 种连接方式，因此满足条件的连接方式共有 4×（5+7）＝48 种．故答案为：48．5．（20 分）两个相同的长方形纸片，每块面积为 48 平方厘米．如图所示叠放在一起盖住的面积为 72平方厘米．已知重叠部分的四边形ABCD的一条对角线BD为 6 厘米，则每张长方形纸片的长是多少厘米？【分析】易知ABCD是平行四边形，其面积为 48+48﹣72＝24 平方厘米．又设长方形纸片的宽为h，则h也是平行四边形的两组平行线间的距离，所以AD×h＝▱ABCD的面积＝DC×h，得AD＝DC，因此ABCD是菱形，菱形的对角线AC与BD互相垂直于O，所以AC×6÷2＝24，因此AC＝8．在直角三角形COD中，OD＝3 厘米，OC＝4 厘米，所以DC＝5 厘米． 因此 5×h＝24，所以，h＝4.8 厘米．由于长方形的面积为 48 平方厘米，所以长方形的长为 10 厘米．【解答】解：平行四边形ABCD的面积是：48+48﹣72＝24 平方（厘米）．又设长方形纸片的宽为h，则h也是平行四边形的两组平行线间的距离，所以AD×h＝▱ABCD的面积＝DC×h，得AD＝DC，因此ABCD是菱形，菱形的对角线AC与BD互相垂直于O，所以AC×6÷2＝24，因此AC＝8 厘米．在直角三角形COD中，OD＝3 厘米，OC＝4 厘米，所以DC＝ ＝5（厘米）．因此 5×h＝24，所以，h＝24÷5＝4.8（厘米）48÷4.8＝10（厘米）答：每张长方形纸片的长是 10 厘米．6．（20 分）将分别写有数 1 至 23 的 23 张卡片分成三堆，已知三堆卡片上的数的平均数分别是13、4、17，问：平均数为 13 的那堆至少有几张卡片？【分析】根据题意，设平均数是 13、4、17 的堆各有a、b、c张卡片，则：a+b+c＝23，13a+4b+17c＝1+2+3+…+23＝276，将c＝23﹣b﹣a代入 13a+4b+17c＝276，可得：4a+13b＝115，据此求出平均数为 13 的那堆至少有几张卡片即可．【解答】解：设平均数是 13、4、17 的堆各有a、b、c张卡片，则：a+b+c＝23（1），13a+4b+17c＝1+2+3+…+23＝276（2），由（1），可得：c＝23﹣b﹣a，将c＝23﹣b﹣a代入 13a+4b+17c＝276，可得：4a+13b＝115，由 13b＜115，可得：b＜8.8，且b是整数，因为b＝8 时，a＝2.75（不符合题意），所以b最大只能是 7，所以a的最小值是：（115﹣13×7）÷4＝24÷4＝6（张）答：平均数为 13 的那堆至少有 6 张卡片．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:47；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800