2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 C（小学组）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）3 +5 +7 ＝　 　．2．（10 分）工程队的 8 个人用 30 天完成了某项工程的 ，接着增加了 4 个人完成其余的工程，那么完成这项工程共用了　 　天．3．（10 分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的 1.2 倍．乙骑了 4 千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的 ．排除故障后，乙的速度提高了 60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的距离为　 　千米．4．（10 分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯．晚上 9 时 37 分 20 秒时，在分针与时针所夹的锐角内有　 　个小彩灯．5．（10 分）在边长为 2 厘米的正方形ABCD中，分别以A，B，C，D为圆心，2 厘米为半径画四分之一圆，交点E，F，G，H，如图所示．则中间阴影部分的周长为　 　厘米．（取圆周率 π＝3.141）6．（10 分）用同一种颜色对 4×4 方格的 7 个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如图）．那么共有　 　种涂色的图案．7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是　 （立方厘米）8．（10 分）公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则可能的线路号有　 　个．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满足要求的算式中，四位数 的最大值是多少？ 10．（10 分）长方形ABCD的面积是 70 平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．11．（10 分）不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是　 　．12．（10 分）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的 21 日可能是星期几？三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足，则n的最小值是多少？14．（15 分）一个长 40、宽 25、高 60 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中 0＜a≤60．现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 C（小学组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）3 +5 +7 ＝　 17 　．【分析】直接通分，化为同分母分数相加计算即可．【解答】解：3 +5 +7＝3 +5 +7＝17 ．故答案为：17 ．2．（10 分）工程队的 8 个人用 30 天完成了某项工程的 ，接着增加了 4 个人完成其余的工程，那么完成这项工程共用了　 40 　 天．【分析】把这项工程看作单位“1”，用“ ÷30÷8＝ ”求出 1 人 1 天的工作效率，则 8+4＝12 个人工作效率和为 ×12＝ ，剩下的工作总量是 1﹣ ＝ ，然后根据：工作总量÷工作效率＝工作时间“求出后来用的时间，进而求出完成这项工程共用的时间．【解答】解：一个人的工作效率是： ÷30÷8＝ ，8+4＝12（人）12 个人的工作效率和为： ×12＝ ，共需：（1﹣ ）÷ +30 ＝10+30＝40（天）答：那么完成这项工程共用了 40 天．故答案为：40．3．（10 分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的 1.2 倍．乙骑了 4 千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的 ．排除故障后，乙的速度提高了 60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的距离为　 36 　 千米．【分析】设A、B相距为X；乙的速度是V，则甲的速度为 1.2V；当乙走了 4000 的时候，甲肯定走了 4800；假设乙排除故障的时间为t，那这段时间甲走的距离为 1.2V×（ × ）＝0.2X；我们假设从乙排除故障以后的时间为T，可列出：4800+0.2X+1.2VT＝4000+1.6VT；我们得出 800+0.2X＝0.4VT；因为X＝4000+1.6VT，代入得出：VT＝20000，则进而算出X＝36000 米＝36 千米．【解答】解：设A、B相距为X；乙的速度是V，则甲的速度为 1.2V：当乙走了 4000 的时候，甲走了：4000×1.2＝4800（米）；设乙排除故障的时间为t，那这段时间甲走的距离为：1.2V×（ × ）＝0.2X；设从乙排除故障以后的时间为T，可列出：4800+0.2X+1.2VT＝4000+1.6VT；得出 800+0.2X＝0.4VT；因为X＝4000+1.6VT，代入得出：VT＝20000，把VT＝20000 代入 4800+0.2X+1.2VT＝4000+1.6VT，得出：X＝36000 米＝36 千米．答：A，B两地之间的：距离为 36 千米．故答案为：36．4．（10 分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯．晚上 9 时 37 分 20 秒时，在分针与时针所夹的锐角内有　 11 　 个小彩灯．【分析】首先分析以整点钟面为例，当 9 点时再走 37 分 20 秒，计算出时针的路程和分针的路程找到中间的格数差即可．【解答】解：依题意可知：从晚上 9 点开始，分针走了 37 格 20 秒时，时针走（37+ ）× ＝3 ；时针走了 3 格多．分针果了 37，那么就是 38 到 48 之间的共有 11 个．故答案为：11．5．（10 分）在边长为 2 厘米的正方形ABCD中，分别以A，B，C，D为圆心，2 厘米为半径画四分之一圆，交点E，F，G，H，如图所示．则中间阴影部分的周长为　 4.188 　 厘米．（取圆周率 π＝3.141）【分析】如图所示：由题意很容易就可以得出△ABF为等边三角形，则弧 为 圆的周长，同理弧 也为 圆的周长，所以弧 ＝ + ﹣ ＝ 圆的周长，同理其余三段也为 圆的周长，故阴影部分图形的周长＝ 圆的周长，再据圆的周长公式即可得解． 【解答】解：依题易知△ABF为等边三角形，故弧 为 圆的周长，同理弧 也为 圆的周长，所以弧 ＝ + ﹣ ＝ 圆的周长，同理其余三段也为 圆的周长，故阴影部分的周长＝ 圆的周长＝ ＝4.188（厘米）；答：中间阴影部分的周长为 4.188 厘米．故答案为：4.188．6．（10 分）用同一种颜色对 4×4 方格的 7 个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如图）．那么共有　 9 　 种涂色的图案．【分析】按照要求把 4x4 方格的 7 个格子进行涂色，左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数，把 7 分成几个数的和，左边的数最大是 4，例如 4+3＝7，涂在第一列开始到第三列开始有 3种图案；3+2+2＝7，分别从 1、2 列开始涂色，有 2 种图案；3+2+1+1，只有从第 1 列开始涂色，有 1 种图案；4+1+1+1，只有从第 1 列开始涂色 1 种图案；4+2+1＝7，分别从 1、2 列开始涂色，有 2 种图案；把它们加起来，即可得解．【解答】解：如图，3+2+1+1+2＝9（种）， 答：那么共有 9 种涂色的图案．故答案为：9．7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是　9000 　 （立方厘米）【分析】观察三视图可知，原来的几何体是四棱锥，底面积为 30×30，高为 30，根据锥体的体积公式＝sh计算即可．【解答】解：观察三视图可知，原来的几何体是四棱锥，底面积为 30×30，高为 30，所以 ×30×30×30＝9000 立方厘米，故答案为 9000．8．（10 分）公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则可能的线路号有　 5 　 个．【分析】根据七支荧光管能组成一个数字，则在 351 基础上讨论可能的所有情况即可．【解答】解：把三个数字“351”看成一个三位数，坏在个位上，1 加上 1 个荧光管，可以变成 7，所以可能是 357，坏在十位上，5 加上一个荧光管可以变成 6 或者 9，所以可能是 361，391；坏在百位上，3 加上一个荧光管可以变成 9，所以可能是 951；还有一种情况，路线就是 351，坏的正好处在不需要亮的位置．答：一共有 5 个不同的线路．故答案为：5．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满足要求的算式中，四位数 的最大值是多少？【分析】根据题干，要使四位数 的值最大，则上面的两位数加数和三位数加数的值应该最小，则两位数加数最小是 10，三位数加数最小是 100，则四位数 的最大值就是 2011﹣100﹣10＝1901．【解答】解：根据题干分析可得，两位数加数最小是 10，三位数加数最小是 100，则四位数 的最大值就是 2011﹣100﹣10＝1901．答：四位数 的最大值是 1901． 10．（10 分）长方形ABCD的面积是 70 平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和三角形DGF的面积就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可．【解答】解：三角形ADF＝70÷2＝35（平方厘米），因为点D为EG的中点，所以三角形AED+三角形DFG＝35（平方厘米），梯形AFGE的面积：35+35＝70（平方厘米），答：梯形AFGE的面积是 70 平方厘米．11．（10 分）不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是　 17 　 ．【分析】在正整数中，三个最小的合数是 4，6，8，先计算它们的和，然后将其与最接近的奇数比较，最后再来证明此结论的正确性．【解答】解：在正整数中，三个最小的合数是 4，6，8，它们的和是 4+6+8＝18，于是 17 是不能用三个不同的合数的和表示的奇数． 下面证明大于等于 19 的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示．由于当k≥3 时，4，9，2k是三个不同的合数，并且 4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于 19 的奇数n都能用 4，9，2k（k＝ ）的和来表示．综上所述，不能表示为 3 个不相等的合数的和的最大奇数是 17．故答案为：17．12．（10 分）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的 21 日可能是星期几？【分析】设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7），则这个月内星期日的日期是 7k+a，k 是整数，7k+a≤31．要求有三个奇数．然后分当a＝1 时，当a＝2 时，当a＝3 时，4≤a≤7 时，进行讨论，作出解答．【解答】解：设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7），则这个月内星期日的日期是7k+a，k 是整数，7k+a≤31．当a＝1 时，要使 7k+1 是奇数，k 为偶数，即k 可取 0，2，4 三个值，此时，7k+a＝7k+1，分别为 1，15，29，这时 21 号是星期六．当a＝2 时，要使 7k+2 是奇数，k 为奇数，即k 可取 1，3 两个值，7k+2 不可能有三个奇数．当a＝3 时，要使 7k+3 是奇数，k 为偶数，即k 可取 0，2，4 三个值，此时 7k+a＝7k+3，分别为 3，17，31，这时 21 号是星期四．当 4≤a≤7 时，7k+a不可能有三个奇数．故答案为：4 或 6．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足，则n的最小值是多少？ 【分析】当n是 15 的倍数时，得到的整数商是 1、2、3、…k，所以前 14 个分数取整都是 0，从＝1 后面，令每 15 个分数的取整分别为 1、2、3、…k，所以可以得到：14×0+15×1+15×2+15×3+…+15×k＝15×（1+2+3+…+k）＞2000，即（k+1）×k＞ ，然后讨论k的取值范围即可．【解答】解：当n是 15 的倍数时，前 14 个分数取整都是 0，从 ＝1 后面，令每 15 个分数的取整分别为 1、2、3、…k，所以可以得到：14×0+15×1+15×2+15×3+…+15×k＝15×（1+2+3+…+k）＞2000，即（k+1）×k＞ ，则（k+1）×k≥267，先找到接近的整数，则，15×（15+1）＝240（16+1）×16＝272，当k＝16 时，即n＝15×（16﹣1）+1+14＝240则， 以前的数取整的和是：即，15×（1+2+3+…+15）＝1800，1800＜2000，还差 2000﹣1800﹣ ＝184，所以，还需要再向后取 184÷16≈12 个，所以，n的最小值是：240+12＝252．答：n的最小值是 252．14．（15 分）一个长 40、宽 25、高 60 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中 0＜a≤60．现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？【分析】由题意，长 40、宽 25、高 60 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中 0＜a≤60，由此可知水深是个未知数，不确定，因此要分情况来讨论，根据放入铁块后不同的水深讨论解答即可．【解答】解：由题设知容器底面积S＝40×25＝1000，体积V＝1000×60＝60000，铁块底面积S铁＝10×10＝100，铁块体积V铁＝10×10×10＝1000，（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 60 时，1000a+1000＝60000，得 a＝59．所以，当 59≤a≤60 时，水深为 60（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10 时，1000a+1000＝10000，得 a＝9．所以，当 9≤a＜59 时，水深为 ＝a+1；（3）由（2）知，当 0＜a＜9 时，设水深为x，则1000x＝1000a+100x，得x＝a；答：当 0＜a＜9 时，水深为a；当 9≤a＜59 时，水深为a+1；当 59≤a≤60 时，水深为 60．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:53:58；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800