2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 B 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：57.6× +28.8× ﹣14.4×80+10 ．2．（10 分）甲、乙、丙、丁四人共植树 60 棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树　 　棵．3．（10 分）某个三位数是 2 的倍数，加 1 是 3 的倍数，加 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，加 4 是 6 的倍数，那么这个数最小为　 　．4．（10 分）贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成　 　个两两都是友国的三国联盟．5．（10 分）由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为 106656，则这些四位数中最大的是　 　，最小的是　 　．6．（10 分）如图，三角形ABC的面积为 1，DO：OB＝1：3，EO：OA＝4：5，则三角形DOE的面积为　 ．7．（10 分）三个大于 1000 的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这 3 个数之积的末尾 3 位数字有　 　种可能数值．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）8．（10 分）将 1234567891011 的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．9．（10 分）如图所示，从长、宽、高为 15，5，4 的长方体中切走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为 120，求x和y．10．（10 分）圆形跑道上等距插着 2015 面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了 23 圈，乙跑了 13 圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？11．（10 分）两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得 11 分且对方少于 10 分者胜，10平后多得 2 分者胜．两人的得分总和都是 31 分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）12．（15 分）如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC＝1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为 13cm2，求平行四边形ABCD的面积．13．（15 分）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表 11 个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果 每个成语中四个汉字所代表的数之和都是 21，则“行”可以代表的数最大是多少？2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：57.6× +28.8× ﹣14.4×80+10 ．【分析】把算式中的 28.8× 变成 57.6× ，14.4×80 变成 57.6×20，然后根据乘法的分配律简算．【解答】解：57.6× +28.8× ﹣14.4×80+10＝57.6× +57.6× ﹣57.6×20+10＝57.6×（ + ﹣20）+10＝57.6×（20﹣20）+10＝57.6×0+10＝0+10＝102．（10 分）甲、乙、丙、丁四人共植树 60 棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树　 13 　 棵．【分析】根据题意，甲植树的棵数占总数的 ，乙占总数的 ，丙占总数的 ，因此丁占总数的1﹣ ﹣ ﹣ ＝ ，再根据分数乘法的意义进一步解决问题．【解答】解：60×（1﹣ ﹣ ﹣ ）＝60×（1﹣ ﹣ ﹣ ）＝60×＝13（棵）答：丁植树 13 棵．故答案为：13．3．（10 分）某个三位数是 2 的倍数，加 1 是 3 的倍数，加 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，加 4 是 6 的倍数，那么这个数最小为　 122 　 ．【分析】是 2 的倍数就是偶数，我们发现加 1 是 3 的倍数，加 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，加 4 是 6 的倍数．也就是这个数除以 3，4，5，6 都是余 2 的．属于同余问题．【解答】解：一个偶数除以 3，4，5，6 以后余数都是 2那么这个三位数减去 2 得到 3、4、5、6 的公倍数．3，4，5，6 的最小公倍数：3×4×5＝120，120+2＝122．故答案为 122．4．（10 分）贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成　 7 　 个两两都是友国的三国联盟．【分析】用A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7这 7 个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．则每个国家连出 2 条虚线，4 条实线．共 7×2÷2＝7（条）虚线，其余为实 线．首先说明这 7 个点必然由 7 条虚线依次连接为一个闭合回路．A2必与两个点连接虚线，不妨记为A1，A3，而A3必然再与一个点连接虚线，记为A4；A4虚线连接A5，否则剩下 3 个点互为敌国关系；A5虚线连接A6，否则剩下两个点无法由 2 条虚线连接；A6虚线连接A7，最后A7只能虚线连接A1．最终连线图如下．只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件，有135，136，146，246，247，257，357，一共 7 种．（为了直观我们用 1，2，3，4，5，6，7 分别代表A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7） ．【解答】解：用A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7这 7 个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．，选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件，有 135，136，146，246，247，257，357，一共 7种．（为了直观我们用 1，2，3，4，5，6，7 分别代表A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7），所以对于一种这样的星球局势，共可以组成 7 个两两都是友国的三国联盟．故答案为：7．5．（10 分）由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为 106656，则这些四位数中最大的是　 9421 　 ，最小的是　 1249 　 ．【分析】4 位不重复的非零的数字共能组成 24 个数字，按照位值原则展开求和，我们要想找到最大最小值，就需要找到这四位数字的和，按照数字大小规律即可求解．【解答】解：设四个互不相同的数字为a，b，c，d，字母a开头的，+ + + + + ＝6000a+200（b+c+d）+20（b+c+d）+2（b+c+d）＝6000a+222（b+c+d）同样b开头的 + + + + + ＝6000b+200（a+c+d）+20（a+c+d）+2（a+c+d）＝6000b+222（a+c+d）c开头 + + + + + ＝6000c+200（b+c+d）+20（b+c+d）+2（b+c+d）＝6000c+222（b+c+d）d开头： + + + + ＝6000d+200（a+b+c）+20（a+b+c）+2（a+b+c）＝6000d+222（a+b+c）6000a+222（b+c+d）+6000b+222（a+c+d）+6000c+222（b+c+d）+6000d+222（a+b+c）＝6000（a+b+c+d）+222（3a+3b+3c+3d）＝6666（a+b+c+d）＝106656∴a+b+c+d＝16 若要使这四位数最大千位数字尽量大，个位最小．同时保证数字不能重复，所以千位 9，个位1，十位数字是 2．百位为 16﹣9﹣1﹣2＝4．所以最大为 9421．最小就是数字前小后大即可，即 1249．故答案为：9421，1249．6．（10 分）如图，三角形ABC的面积为 1，DO：OB＝1：3，EO：OA＝4：5，则三角形DOE的面积为　　．【分析】不难发现当高相同的时候，面积的比等于底边的比，这就是直线间的比例关系的应用．可以根据份数法求出△DOE的份数占总三角形面积的份数即可．【解答】解：依题意可知如图：设三角形DOE的面积为 4x，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为 5x，12x，15x，再设三角形DCE的面积为y，在△DBC中和△ABC中，有 ．得y＝ ．则△DOE的面积为 ．∵△ABC的面积为 1．∴△DOE的面积为 ．故答案为： ．7．（10 分）三个大于 1000 的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这 3 个数之积的末尾 3 位数字有　 4 　 种可能数值．【分析】假设三个数的个位分别为a、b、c，那么根据条件“任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字”可知这三个数可分为三种情况：（1）如果a、b、c都相等，则只能都为 0；（2）如果a、b、c中有两个相等；（3）．如果a、b、c都不相等；据此解答即可．【解答】解：设三个数的个位分别为a、b、c （1）如果a、b、c都相等，则只能都为 0； （2）如果a、b、c中有两个相等，则有以下两种情况：①．a、a、c且a＜c，必有c+a＝10+ ，则c＝10，与c为数字矛盾； ②．a、a、c且a＞c，则有c+a＝a，a+a＝10+ ，则a＝5，c＝0； （3）．如果a、b、c都不相等，设a＜b＜c，则c+b＝10+a，c+a＝10+，则c＝10，与c为数字矛盾； 综上三个数的个位分别为 0，0，0 或 0，5，5； （1）．如果都为 0，则乘积末尾三位为 000； （2）．如果为 0，5，5 ①．如果个位为 0 的数，末尾 3 位都为 0，则乘积末尾三位为 000； ②．如果个位为 0 的数，末尾 2 位都为 0，则乘积末尾三位为 500 或 000； ③．如果个位为 0 的数，末尾 1 位为 0 设末尾两位为c0，设另外两个末尾两位为a5，b5 则 × ＝100ab+50（a+b）+ ，若（α+b）为奇数，则乘积的末两位为 75；若（α+ ）为偶数，则乘积的末两位为 25，再乘上c0，无论c为多少，末尾三位只有 000，250，500，750 这 4 种． 综上所述，积的末尾三位有 000，500，250，750 这四种可能．故答案为：4．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）8．（10 分）将 1234567891011 的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．【分析】因为数字交换不影响数字和，数字和是 48，这个数是 3 的倍数，但不是 9 的倍数，所以不是完全平方数．【解答】解：不能得到完全平方数；因为数字交换不影响数字和，1234567891011 的数字和是 1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1＝48，某两位的数字交换后，数字和仍然是 48，这个数是 3 的倍数，但不是 9 的倍数，所以不是完全平方数．9．（10 分）如图所示，从长、宽、高为 15，5，4 的长方体中切走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为 120，求x和y．【分析】根据题意可的等量关系式：大长方体的体积﹣切掉的小长方体的体积＝余下部分的体积，然后根据长方体体积公式列出不定方程解答即可．【解答】解：根据题意可得，15×5×4﹣y×5×x＝120，化简可得：xy＝36，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，因为x，y为整数，且x＜4，y＜15，所以x＝3，y＝12．答：x＝3，y＝12．10．（10 分）圆形跑道上等距插着 2015 面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了 23 圈，乙跑了 13 圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？【分析】设每两面旗子间距离为 1，即跑道周长为 2015．因为时间一定，速度比等于圈数比（即路程比），因为v甲：v乙＝23：13，设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，（23x﹣13x）t＝2015n，10x×t＝2015n，即甲追上乙时所花时间t＝ ，则甲追上乙时，所走路程为23x× ；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑 10 圈）解答即可．【解答】解：设每两面旗子间距离为 1，即跑道周长为 2015． 因为v甲：v乙＝23：13，设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t，则（23x﹣13x）t＝2015n 10x×t＝2015n t＝ ，则甲追上乙时，所走路程为：23x× ，要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，所以n＝2，4，6，8，10（最多多跑 23﹣13＝10 圈）；即甲追上乙则需比乙多跑 2，4，6，8，10 圈时，正好在旗子位置追上，综上所述，甲正好在旗子位置追上乙 5 次．答：甲正好在旗子位置追上乙 5 次．11．（10 分）两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得 11 分且对方少于 10 分者胜，10平后多得 2 分者胜．两人的得分总和都是 31 分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？【分析】为了便于说明，设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢．由于每局最多相差 2 分获胜，所以甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得 2+2＝4 分，所以乙第二局至少赢甲 4 分及以上，所以只能以11 分取胜，否则不和比赛规则．然后讨论第二局的可能比分即可．【解答】解：设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢．甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得 2+2＝4 分，所以乙第二局至少赢甲 4 分及以上，所以只能以 11 分取胜．所以第二局的比分可以为：0：11，1：11，2：11，…7：11；共 8 种．（乙在第二局赢了多少分，甲都可以通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从 0～7 都可能；例如三局比分分别为 20：18、0：11、11：2）答：第二局的比分共有 8 种可能．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）12．（15 分）如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC＝1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为 13cm2，求平行四边形ABCD的面积．【分析】想求出平行四边形的面积，就需要找到这个面积差 13 对应的面积份数．需要将这两个三角形建立关系．首先要知道在DEMBC中是沙漏模型，BCFGM也是沙漏模型，两个平行四边形的同底等高的，是面积相等的 2 个平行四边形．△BCF是平行四边形ABCD面积的一半．【解答】解：连接BD根据沙漏模型的对应边成比例可知：∵DE∥BC ∴∴令S△DEM＝a则S△CEM＝S△BDM＝2a，S△CBM＝4a∴S△BCF＝SBCE＝2+4＝6a∵MB∥CF∴∴∴∵S△GCF﹣S△DEM＝13∴∴a＝5s∵S△BCD＝S△BDM+S△BCM＝2a+4a＝6a∴S▱ABCD＝2×SBCD＝2×6a＝12a＝12×5＝60cm2答：平行四边形的面积是 60cm213．（15 分）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表 11 个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是 21，则“行”可以代表的数最大是多少？【分析】首先找出这些字的出现次数，注意重复的个数，然后表示出这 11 个数，再根据数字和为 21，那么 4 个数字和就是 84，在根据数字和一定时一个数字越大则另一个越小的关系找出最大值即可．【解答】解：经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字只有一次．令这五个汉字所代表的数依次为a，b，c，d，e（均为正整数），设 11 个连续自然数为（x+1），（x+2），…（x+11），则（x+1）+（x+2）+…+（x+11）+a+b+c+d+e＝21×4，即 11x+a+b+c+d+e＝18，则x＝0，且a+b+c+d+e＝1+2+3+4＝10 时，e最大为 8，11 个数为 1 到 11．可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”．综上所述：“行”可代表的数最大为 8．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:10；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800