2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组 A 卷）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10 分）森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子、大象中的两个动物去参加，如果派狮子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去．那么，最后能去参加比赛的是（　　）A．狮子、老虎 B．老虎、豹子 C．狮子、豹子 D．老虎、大象2．（10 分）小明有多张面额为 1 元、2 元、5 元的人民币，他想用其中不多于 10 张的人民币购买一只价格为 18 元的风筝，要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（　　）种．A．3 B．9 C．11 D．83．（10 分）如图，在由 1×1 的正方形组成的网格中写有 2015 四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接 1×1 的正方形相邻两边中点的线段，或者是 1×1 的正方形的对角线，则图中 2015 四个数字（阴影部分）的面积是（　　）A．47 B． C．48 D．4．（10 分）新生入校后，合唱队、田径队和舞蹈队共招收学员 100 人，如果合唱队招收的人数比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多 10 人，那么舞蹈队招收（　　）人．（注：每人限加入一个队）A．30 B．42 C．46 D．525．（10 分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（　　）A．快 12 分 B．快 6 分 C．慢 6 分 D．慢 12 分6．（10 分）一次考试共有 6 道选择题，评分规则如下：每人先给 6 分，答对一题加 4 分．答错一题减1 分，不答得 0 分．现有 51 名同学参加考试，那么，至少有（　　）人得分相同．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）7．（10 分）计算：（1000+15+314）×（201+360+110）+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314）＝　．8．（10 分）角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示，如图 1 的∠AOB符号（“∠”表示角）也可以用∠O表示（顶点处只有一个角时）．如图 2 的三角形ABC中，∠BAO＝∠CAO，∠CBO＝∠ABO，∠ACO＝∠BCO，∠AOC＝110°则∠CBO＝　 　．9．（10 分）张叔叔和李叔叔两人年龄和是 56 岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的一半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔的年龄，那么张叔叔现在有　 　岁？10．（10 分）妈妈决定假期带小花驾车去 10 个城市旅游，小花查完地图后惊奇地发现：这 10 个城市的任意三个城市之间或者都开通了高速公路，或者只有两个城市间没有开通高速路，那么这 10 个城市间至少开通了　 　条高速公路．（注：两个城市间最多只有一条高速公路）2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组 A 卷） 参考答案与试题解析一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10 分）森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子、大象中的两个动物去参加，如果派狮子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去．那么，最后能去参加比赛的是（　　）A．狮子、老虎 B．老虎、豹子 C．狮子、豹子 D．老虎、大象【分析】通过分析可知：从题意出发：（1）狮子去则老虎去，逆否命题：老虎不去则狮子也不去，（2）不派豹子则不派老虎，逆否命题：派老虎则要派豹子，（3）派豹子则大象不愿意去，逆否命题：大象去则不能派豹子从（2）出发可以看出答案为B．据此解答即可．【解答】解：题目要求有两个动物去，可以使用假设法，若狮子去，则老虎去，老虎去则豹子也去．三个动物去，矛盾，所以狮子不去．若豹子不去则老虎不去，那么只有大象去，矛盾，所以豹子去．豹子去则大象不去，由两种动物去得到结论，老虎要去．所以答案是B，豹子和老虎去．故选：B．2．（10 分）小明有多张面额为 1 元、2 元、5 元的人民币，他想用其中不多于 10 张的人民币购买一只价格为 18 元的风筝，要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（　　）种．A．3 B．9 C．11 D．8【分析】分三种情况讨论：不多于 10 张① 1 元和 2 元的；② 1 元和 5 元的；③ 2 元和 5 元，结合张数及其最后面值是 18 元讨论即可．【解答】解：① 1 元和 2 元的：8 张 2 元 2 张 1 元 ② 1 元和 5 元的：2 张 5 元 8 张 1 元；3 张 5 元 3 张 1 元 ③ 2 元和 5 元：2 张 5 元 4 张 2 元 ④ 1 元、2 元和 5 元：3 张 5 元 1 张 2 元 1 张 1 元 2 张 5 元 3 张 2 元 2 张 2 元 2 张 5 元 2 张 2 元 4 张 1 元 2 张 5 元 1 张 2 元 6 张 1 元 1 张 5 元 6 张 2 元 1 张 1 元 1 张 5 元 5 张 2 元 3 张 1 元 1 张 5 元 4 张 2 元 5 张 5 元 共有：1+2+1+7＝11（种）故选：C．3．（10 分）如图，在由 1×1 的正方形组成的网格中写有 2015 四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接 1×1 的正方形相邻两边中点的线段，或者是 1×1 的正方形的对角线，则图中 2015 四个数字（阴影部分）的面积是（　　）A．47 B． C．48 D．【分析】将每个数字中的阴影小三角形进行位置的移动，组合成小正方形，然后数出一共有多少个小正方形，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：据分析可知： 将小三角形移到空白处补全完整正方形，共 47.5 个，所以阴影部分的面积是 47 ；故选：B．4．（10 分）新生入校后，合唱队、田径队和舞蹈队共招收学员 100 人，如果合唱队招收的人数比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多 10 人，那么舞蹈队招收（　　）人．（注：每人限加入一个队）A．30 B．42 C．46 D．52【分析】把田径队的人数看作 1 倍数，则合唱队的人数就是 2 倍数，舞蹈队的人数就是（2 倍数+10 人），那么（100﹣10）人就是田径队人数的（2+2+1）倍，由此用除法可求得田径队的人数，进而求得舞蹈队的人数；据此解答．【解答】解：（100﹣10）÷（2+2+1）＝90÷5＝18（人）18×2+10＝36+10＝46（人）答：舞蹈队招收 46 人．故选：C．5．（10 分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（　　）A．快 12 分 B．快 6 分 C．慢 6 分 D．慢 12 分【分析】分针与时针除 12 时（包括 24 时或 0 时）外，每小时重合 1 次，因此，24 小时重合 22次，旧钟每隔标准时间 66 分钟重合 1 次，因此，旧钟 24 小时是标准时间 22×66＝1452（分钟），而标准钟 24 小时是 60×24＝1440（分钟），两者之差就是这只旧钟慢的时间．【解答】解：66×（24﹣2）＝66×22＝1452（分钟）60×24＝1440（分钟）1452﹣1440＝12（分钟）即这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时慢 12 分钟．故选：D．6．（10 分）一次考试共有 6 道选择题，评分规则如下：每人先给 6 分，答对一题加 4 分．答错一题减1 分，不答得 0 分．现有 51 名同学参加考试，那么，至少有（　　）人得分相同．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】按这种记分方法，最高可得（30 分），最低是倒扣 6 分后得 0 分，共有 30+1＝31（种）不同分数．由于每错一题少得：1+4＝5 分，有一道题不答，至多扣 4 分，所以最高分是 30 分，第二高分是：30﹣4＝26 分或 30﹣5＝25 分，这样，30 分～26 分之间的数 29、28，27 分就不可能得到；同理，23，24，19 分也不能得到，故实际有 31﹣6＝25（种）不同分数．然后根据抽屉原理，考虑最不利的情况解答即可．【解答】解：按这种记分方法，最高可得 6×4+6＝30（分），最低是减 6 分后得 0 分，共有30+1＝31（种）不同分数．由于每错一题少得：1+4＝5 分，有一道题不答，至多扣 4 分，所以最高分是 30 分，第二高分是：30﹣4＝26 分或 30﹣5＝25 分，这样，30 分～26 分之间的数 29、28，27 分就不可能得到；同理，23，24，19 分也不能得到，故实际有 31﹣6＝25（种）不同分数．则 51÷25＝2…1，则至少有 3 人得分相同．故选：A．二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）7．（10 分）计算：（1000+15+314）×（201+360+110）+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314）＝　1000000 　 ． 【分析】首先根据乘法分配律，把（1000+15+314）×（201+360+110）化成1000×（201+360+110）+（15+314）×（201+360+110），然后再应用乘法分配律，求出算式（15+314）×（201+360+110）+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314）的值是多少；最后用所求的结果和 1000×（201+360+110）求和，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1000+15+314）×（201+360+110）+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314）＝1000×（201+360+110）+（15+314）×（201+360+110））+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314）＝1000×（201+360+110）+（15+314）×[（201+360+110））+（1000﹣201﹣360﹣110）]＝1000×671+329×1000＝1000×（671+329）＝1000×1000＝1000000故答案为：1000000．8．（10 分）角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示，如图 1 的∠AOB符号（“∠”表示角）也可以用∠O表示（顶点处只有一个角时）．如图 2 的三角形ABC中，∠BAO＝∠CAO，∠CBO＝∠ABO，∠ACO＝∠BCO，∠AOC＝110°则∠CBO＝　 20° 　 ．【分析】由题意知，如图，在三角形AOC中，∠AOC＝110°，由三角形的内角和为 180°，可知∠CAO+∠ACO＝180°﹣110°＝70°，由∠BAO＝∠CAO，∠ACO＝∠BCO，则有∠BAO+∠BCO＝∠CAO+∠ACO＝70°，可得∠BAC+∠BCA＝70°+70°＝140°，因此∠ABC＝180°﹣140°＝40°，又∠CBO＝∠ABO，所以∠CBO＝40°÷2＝20°．由此即可解决．【解答】解：在三角形AOC中，∠CAO+∠ACO＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，因为∠BAO＝∠CAO，∠ACO＝∠BCO，所以∠BAO+∠BCO＝∠CAO+∠ACO＝70°，所以∠BAC+∠BCA＝70°+70°＝140°，在三角形ABC中，∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣140°＝40°，所以∠CBO＝∠ABO＝40°÷2＝20°．答：∠CBO的度数是 20°．故答案为：20°．9．（10 分）张叔叔和李叔叔两人年龄和是 56 岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的一半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔的年龄，那么张叔叔现在有　 24 　 岁？【分析】二人年龄差不变，设这个差等于x．由题意容易判定李叔叔的年龄大．由“当张叔叔的年龄是李叔叔现在年龄的一半时，李叔叔恰是张叔叔现在的年龄”可知，当x年前，李叔叔的年龄（减少x岁）是张叔叔现在的岁数时，张叔叔的年龄也要减去一个x而降为李叔叔现在岁数的一半，即李叔叔现在的年龄＝2×（李叔叔现在的年龄﹣x﹣x），可得李叔叔的年龄是 4x，张叔叔的年龄是4x﹣x＝3x，由此可得方程：3x+4x＝98，解此方程后即能求得张叔叔现在各多少岁．【解答】解：设两人的年龄差为x，根据题意可知，李叔叔现在的年龄＝2×（李叔叔现在的年龄﹣x﹣x），李叔叔现在的年龄＝4x，则张叔叔的年龄是 4x﹣x＝3x，可得方程： 3x+4x＝56 7x＝56 x＝8．则张叔叔的年龄为：8×3＝24（岁）；李叔叔的年龄为：8×4＝32（岁）．答：张叔叔现在 24 岁．故答案为：24．10．（10 分）妈妈决定假期带小花驾车去 10 个城市旅游，小花查完地图后惊奇地发现：这 10 个城市的任意三个城市之间或者都开通了高速公路，或者只有两个城市间没有开通高速路，那么这 10 个城市间至少开通了　 40 　 条高速公路．（注：两个城市间最多只有一条高速公路）【分析】设 10 个城市为：A1，A2，A3，…，A10．先考虑A1，A1 至少要开通 8 条高速公路，因为若A1 只开通 7 条高速公路，那么A1 和A2～A10 中的两个城市没有开通，设A1 和A2，A3 没有开通，那么A1，A2，A3，三个城市不满足要求．同理，每个城市都至少要开通 8 条，这 10 个城市间至少开通：8×10÷2＝40 条，据此解答即可．【解答】解：8×10÷2＝40（条）答：那么这 10 个城市间至少开通了 40 条高速公路．故答案为：40．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:35；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800