2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 C 卷）一．填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）算式 ÷（ ）﹣ 的值为　 　．2．箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为　 　．3．（10 分）设某圆锥的侧面积是 10π，表面积是 19π，则它的侧面展开图的圆心角是　 　．4．设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么对于不同的自然数x，6△[4▽（x△5）]的取值共有　 　个．5．（10 分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要 30 分钟可将水池注满．现在A和B同时打开 10 分钟，即将A关闭，由B继续注水 40 分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要　 　分钟才可将水池注满．6．如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为 2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于　 　．7．（10 分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距 1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第 12 分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第 36 分钟甲与乙两人在B点相遇．那么O与B两点的距离是　 　米．8．（10 分）从 1 到 1000 中最多可以选出　 　个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和．二．解答下列各题（每题 10 分，要求写出简要过程）。9．（10 分）一个四位数与它的反序数之差可否为 1008？请说明理由．10．（10 分）已知 99 个互不相同的质数p1，p2，…p99，．记作N＝ + +…+ ，问N被 3 除的余数是多少？11．（10 分）能否用 500 个如图所示的 1×2 的小长方形形成一个 5×200 的大长方形，使得 5×200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．12．（10 分）小明拿着 100 元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有 4 张不同币值的纸币，4 枚不同的硬币．纸币面值大于一元，硬币的面值小于 1 元．并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被 3 整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被 7 整除．问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为 100 元、50 元、20 元、10 元、5 元和 1 元纸币，面值为 5 角、1 角、5分、2 分和 1 分的硬币找零）三．解答下列各题（每小题 15 分，共 60 分，要求写出详细过程）13．（15 分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点．已知，平行四边形ABCD的面积是 1， ＝ ，三角形BHC的面积是 ，求三角形ADG的面积． 14．（15 分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，…，x+99 的和为a，如果a的数字和等于 50，则x最小为多少？2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 C 卷）参考答案与试题解析一．填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）算式 ÷（ ）﹣ 的值为　 　．【分析】先算小括号里面的加法，再算括号外的除法，最后算减法，由此求解．【解答】解： ÷（ ）﹣ ，＝ ÷ ﹣ ，＝ ﹣ ，＝ ；故答案为： ．2．箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为　 2 ： 5 　 ．【分析】此题中，第一次加球后，变化的是黑球，红球没变（原有的），这时红球数：黑球数＝1：3＝2：6；第二次加球后，黑球是这次没变（球数是第一次变化后的），红球却变化了，这时红球数：黑球数＝1：2＝3：6．对比可知，黑球数一样，红球却多出了 1 份，这正是第二次加入的红球，当然也是第一次加的黑球数．至此就可求得问题答案了．【解答】解：1﹣： ＝ ＝1：3＝2：6＝1：2＝3：63﹣2＝16﹣1＝5原有红球为 2 份、黑球为 5 份．故：原来箱子里的红球与黑球之比为 2：5．3．（10 分）设某圆锥的侧面积是 10π，表面积是 19π，则它的侧面展开图的圆心角是　 324 度　 ．【分析】根据圆锥的特征，圆锥的侧面是一个曲面，侧面展开是一个扇形，底面是一个圆，圆锥的表面积＝侧面积+底面积，由题可知底面面积为 9π，所以底面半径为 3，周长也就是侧面弧长为 6π，设角度为A侧面半径为R，则有 ×πR2＝10π， ×2πR＝6π，据此解答．【解答】解：设角度为A侧面半径为R，则有 ×πR2＝10π， ×2πR＝6π，解得：A＝324 度．答：它的侧面展开图的圆心角是 324 度．故答案为：324 度．4．设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么对于不同的自然数x，6△[4▽（x△5）]的取值共有　 2 　 个．【分析】首先对x 进行分类讨论，分别得出 2 种结果，据此解答． 【解答】解：当x≥5 时，x△5＝5，4▽（x△5）＝5，6△[4▽（x△5）]＝5；当x＜4 时，x△5＝x，4▽（x△5）＝4，6△[4▽（x△5）]＝4．故答案为：2．5．（10 分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要 30 分钟可将水池注满．现在A和B同时打开 10 分钟，即将A关闭，由B继续注水 40 分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要　 60 　 分钟才可将水池注满．【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间．【解答】解：1÷[（1﹣ ）÷40]，＝1÷ ，＝60（分钟）；答：单独打开B龙头注水，需要 60 分钟才可将水池注满．故答案为：60．6．如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为 2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于　 7 　 ．【分析】如图，两个五边形是折成的五棱柱的底，其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积，正方形的边长是 2，三角形的底和高都是 1，据此可求出这个五边形的面积，也就是五棱柱的底面积，五棱柱的高是 2，根据直棱的体积＝底面积×高，即可求出这个五棱柱的体积．【解答】解：（2×2﹣ ×1×1）×2＝（4﹣0.5）×2＝3.5×2＝7；故答案为：77．（10 分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距 1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第 12 分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第 36 分钟甲与乙两人在B点相遇．那么O与B两点的距离是　 1620 　 米．【分析】设 12 分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620﹣x）米，所以乙走了（1620﹣x）米，考虑甲乙速度不变，36 分钟时，两人到达B点，此时甲行走 3x，乙行走 3×（1620﹣x）米；所以有AB＝4x，OB＝3×（1620﹣x），又已知AO＝1620 米；AB＝AO+OB，得到 3x＝1620+3×（1620﹣x），解得x＝1080 米；代入OB＝3×（1620﹣x）＝3×（1620﹣1080），解决问题．【解答】解：设 12 分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620﹣x）米，所以乙走了（1620﹣x）米，36 分钟时，两人到达B点，此时甲行走 3x，乙行走 3×（1620﹣x）米；因为AB＝AO+OB，得到：3x＝1620+3×（1620﹣x），6x＝6480， x＝1080；O与B两点的距离是：3×（1620﹣1080）＝1620（米）； 答：O与B两点的距离是 1620 米．故答案为：1620．8．（10 分）从 1 到 1000 中最多可以选出　 334 　 个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和．【分析】要使取得数最多，必须使除数尽量小，因为自然数按被 2 除得的余数可以分成 2 类，即余数是：0、1，这些数中任意两个数的差都能整除它们的和，不合要求；那么再看 3，自然数按被 3除得的余数可以分成 3 类，即余数是：0、1、2，然后再把余数分为 1 与 0 和 2 两类讨论即可得出答案．【解答】解：显然，自然数按被 3 除得的余数可以分成 3 类，即余数是：0、1、2，被 3 除余 1 的所有数，任两个数相加的和被 3 除余 2，差能被 3 整除，符合要求，对被 3 除余 2 的所有数也如此，即 2+2＝4，4÷3 还是余 1，在 1 到 1000 中，被 3 除余 1 的有 334 个，余 0、2 的 333 个．因此取被 3 除余 1 的 334 个，这些数符合题意；故答案为：334．二．解答下列各题（每题 10 分，要求写出简要过程）。9．（10 分）一个四位数与它的反序数之差可否为 1008？请说明理由．【分析】由题意得a＝9，d＝1，则 ＜2000， ﹣1008＜1000，则 四位数， ﹣1008 是三位数，没有这样的数．【解答】解：设这个四位数为 ，如果这个四位数与它的反序数之差为 1008，则a＝9，d＝1，所以 ＜2000， ﹣1008＜1000，则是 四位数， ﹣1008 是三位数，没有这样的数．所以，一个四位数与它的反序数之差不能为 1008．10．（10 分）已知 99 个互不相同的质数p1，p2，…p99，．记作N＝ + +…+ ，问N被 3 除的余数是多少？【分析】除 3 以外，质数除以 3 的余数只能是 1 或 2，质数的平方除以 3，余数只能是 1，（2 的平方除以 3 余 1），然后分是否含有质数 3 讨论．【解答】解：除 3 外，质数除以 3 的余数只能是 1 或 2，质数的平方除以 3，余数只能是 1，所以 99 个余数 1 加起来是 99，再除以 3，余数为 0；若这些质数中有 3，因为 32÷3＝3，余数为 0，所以 99 个余数加起来是 98，98÷3＝32…2，答：N除以 3 的余数是 0 或 2．故答案为：0 或 2．11．（10 分）能否用 500 个如图所示的 1×2 的小长方形形成一个 5×200 的大长方形，使得 5×200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．【分析】500 个小长方形就有 500 个小星星，500 个星星平均分成 5 行，每行就有 100 个，是偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的 100 个平均分给 50 列，每列分 2 个，这 50 列每列就是 2+2＝4（个），剩下的 150 列每列是 2 个，都是偶数，由此可解．【解答】解：可以使 5×200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；500 个小长方形就有 500 个小星星，500÷5＝100（个），每行 100 个是偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的 100 个平均分给 50 列，每列分 2 个，这 50 列每列就是 2+2＝4（个），剩下的 150 列每列是 2 个，都是偶数；所以可以使 5×200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星．12．（10 分）小明拿着 100 元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有 4 张不同币值的纸币，4 枚不同的硬币．纸币面值大于一元，硬币的面值小于 1 元．并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被 3 整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被 7 整除．问小明最多用了 多少钱？（注：商店有面值为 100 元、50 元、20 元、10 元、5 元和 1 元纸币，面值为 5 角、1 角、5分、2 分和 1 分的硬币找零）【分析】根据能够被 3 整除的数的特征是：各个数位上的数的和能够被 3 整除，50+20+10+1＝81元，50+10+5+1＝66 元，20+10+5+1＝36 元，都能够被 3 整除，取最小的数是 36 元，能被 7 整除，是7 的倍数，50+10+2+1＝63 分，再加起来即可．【解答】解：能够被 3 整除，50+20+10+1＝81 元，50+10+5+1＝66 元，20+10+5+1＝36 元，取最小的数是 36 元，能被 7 整除是 50+10+2+1＝63 分，36 元+63 分＝36 元 6 角 3 分，100 元﹣36 元 6 角 3 分＝63 元 3 角 7 分；答：小明最多用了 63 元 3 角 7 分钱．三．解答下列各题（每小题 15 分，共 60 分，要求写出详细过程）13．（15 分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点．已知，平行四边形ABCD的面积是 1， ＝ ，三角形BHC的面积是 ，求三角形ADG的面积．【分析】设出平行四边形的底和高，得出F点的位置，进而用平行四边形的底表示出CF、DF、BE、AE的长度，进而用平行四边形的底和高与三角形ADG的底和高的关系，问题即可得解．【解答】解：设平行四边形ABCD的底为a，高为h，ah＝1．AE＝ ，BE＝ ，h＝ ．1．计算F点在CD上的位置：S△BEH＝BE×h÷2﹣S△BCH，＝a× ﹣ ，＝ ；h1＝2×S△BEH÷BE（h1为△BEH之BE边上的高），＝2× ÷a，＝ ；S△CFH＝CF×（h﹣h1）÷2，＝CF×h÷2﹣S△BCH，所以CF×（ ﹣ ）÷2＝CF× ÷2﹣ ， CF× ＝CF× ﹣ ， CF× ＝ ， CF＝ ；DF＝DC﹣CF＝ ；2．计算△ADG的面积：S△ADG＝S△ADE﹣S△AEG， ＝AE×h÷2﹣AE×h2÷2，（h2为△AEG之AE边上的高）＝ × ÷2﹣ ×h2÷2，＝ ﹣ ×h2，（1）S△ADG＝S△ADF﹣S△DFG，＝DF×h÷2﹣DF×（h﹣h2）÷2，＝（DF×h2）÷2，＝ ×h2÷2，＝ ×h2，（2）（2）代入（1）可得：×h2＝ ﹣ ×h2，×h2＝ ﹣ ×h2， h2＝ ，S△ADG＝ ×h2，＝ ，＝ ；答：△ADG的面积是 ．14．（15 分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，…，x+99 的和为a，如果a的数字和等于 50，则x最小为多少？【分析】先根据等差数列求和公式得到一百个自然数的和，再分 100x+4950 两数相加没有进位；100x+4950 两数相加t次进位进行讨论即可求解．【解答】解：总和a＝100x+9900÷2＝100x+4950，如果 100x+4950 两数相加没有进位，则数字和＝x的数字和+4+9+5＝50，x的数字和＝32，x至少是 5 位数：99950；如果 100x+4950 两数相加t次进位，则数字和＝x的数字和+4+9+5﹣9t＝50，x的数字和﹣9t＝32，进位一次则x的数字和＝41，最小 199949；进位 2 次则x数字和＝50，最小 699899；更多进位，x位数也必超过 5．所以x最小是 99950．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:54:24；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800