2012 中考数学试题及答案分类汇编：四边形一、选择题1. （北京 4 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AD=1，BC=3，则的值为 A、 B、 C、 D、【答案】B。【考点】梯形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】根据梯形对边平行的性质易证△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到 AO：CO 的值：∵四边形 ABCD 是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴。又∵AD=1，BC=3，∴ 。故选 B。2.（天津 3 分）如图．将正方形纸片 ABCD 折叠，使边 AB、CB 均落在 对角线 BD上，得折痕 BE、BF，则∠EBF 的大小为 (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°【答案】C。【考点】折叠对称，正方形的性质。【分析】根据折叠后，轴对称的性质，∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠FBC=22.50，∴∠EBF=450。故选 C。3.（内蒙古包头 3 分）已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是 A．16 B．16 C．8 D．8【答案】C。【考点】菱形的性质，含 30°角直角三角形的性质，勾股 定理。【分析】由四边形 ABCD 是菱形，根据菱形的性质，得 AC⊥BD，OA=AC，∠BAC= ∠BAD；在 Rt△AOB 中，根据 30°角所对的直角边 等于斜边的一半的性质和勾股定理即可求得 OB=2 ，从而得 BD=2OB=4 。根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半，即可求得该菱形的面积。该菱形的面积是： AB•BD= ×4×4 =8 。故选 C。4.（内蒙古呼和浩特 3 分）下列判断正确的有 ①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形；②中心投影的投影线彼此平行；③在周长为定值 的扇形中，当半径为 时扇形的面积最大；④相等的角是对顶角的逆命题是真命题．A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个【答案】B。【考点】三角形中位线性质，正方形的判定，中心投影，弧长的计算，扇形面积的计算，二次函数最值，命题与定理，逆命题。 【分析】根据相关知识逐一判断：①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形，此命题正确，理由如下：如图，由 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，根据三角形中位线定理，得 EFAC，HG AC，HE DB，GF DB。由 AC＝BD，AC⊥BD，根据正方形的判定可知四边形 EFGH 是正方形。故①正确。②中心投影与原物体所对应点的连线都相交于一点，平行投影与原物体所对应点的连线都相互平行，故②错误。 ③在周长为定值 的扇形中，当半径为 时扇形的面积最大，此命题正确，理由如下： 设 a 为扇形圆心角，r 为扇形半径，s 为扇形面积，则由周长为定值 ，弧长为 ，∴ 。由扇形面积 。∴根据二次函数最值性质，得，当 r= 时扇形的面积最大。故③正确。④相等的角是对顶角的逆命题是：若两个角是对顶角，则这两个角相等，为真命题。故④正确。故选 B。二、填空题1.（河北省 3 分）如图，已知菱形 ABCD，其顶点 A，B 在数轴 上对应的数分别为﹣4 和 1，则 BC=　 ▲ ．【答案】5。【考点】菱形的性质；数轴。【分析】根据数轴上 A，B 在数轴上对应的数分别为﹣4 和 1，得出 AB=5，再根据菱形四边相等的性质，得 BC=AB=5。2.（山西省 3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加一 个条件 ▲ ，可使它成为矩形． 【答案】∠ABC=90°或 AC=BD。【考点】矩形的判定。【分析】根据矩形的的判定定理：①对角线相等的平行四边 形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可。故添加条件：∠ABC=90°或 AC=BD。3.（内蒙古乌兰察布 4 分）如图， 是半径为 6 的⊙D 的14圆周，C 点是上的任意一点， △ABD 是等边三角形,则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是 ▲ 【答案】 。【考点】动点问题，等边三角形的性质，勾股定理。【分析】当点 C 与点 B 重合时，不构成四边形，此时△ABC 的周长是 18，则四边形 ABCD 的周长 P 都大于它； 当点 C 与点 E 重合时（如图），四边形 ABCD 的周长 P 最大， 根据勾股定理，可得 BC＝ ，此时四边形 ABCD 的周长 P＝ 。 因此，四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是 。 三、解答题1.（河北省 9 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，K 分别在 BC，AB上，点 G 在 BA 的延长线上，且 CE=BK=AG．（1）求证：① DE=DG； ② DE⊥DG（2）尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只 保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四 边形，并证明你的猜想：（4）当 时，请直接写出 的值．【答案】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°。又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA（SAS）。∴DE=DG。由△DCE≌△GDA 得∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，即∠GDE=90°。∴DE⊥DG。（2）如图．（3）四边形 CEFK 为平行四边形。证明如 下：设 CK、DE 相交于 M 点，∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG。∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形 CKGD 是平行四边形。∴CK=DG=EF，CK∥DG∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°。∴∠KME+∠DEF=180°。∴CK∥EF。∴四边形 CEFK 为平行四边形。（4） =。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，尺规作图。【分析】（1）由已知证明 DE、DG 所在的三角形全等，再通过等量代换证明 DE⊥DG。（2）根据正方形的性质分别以点 G、E 为圆心以 DG 为半径画弧交点 F，得到正方形 DEFG。（3）由已知首先证四边形 CKGD 是平行四边形，然后证明四边形 CEFK 为平行四边形。（4）设 CE=1，由 ，得 CD=CB=在 Rt△CED 中，由勾股定理，得 。∴ 。 2.（内蒙古呼和浩特 7 分）如图所示，四边形 ABCD 是正方形， 点 E 是边 BC的中点且∠AEF=90°，EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F，取边 AB 的中点G，连接 EG．（1）求证：EG=CF；（2）将△ECF 绕点 E 逆时针旋转 90°，请在图中直接画出旋 转后的图形，并指出旋转后 CF 与 EG 的位置关系．【答案】解：（1）证明：∵正方形 ABCD，点 G，E 为边 AB、BC 中点，∴AG=EC，即△BEG 为等腰直角三角形。∴∠AGE=180°﹣45°=135°。又∵CF 为正方形外角平分线，∴∠ECF=90°+45°=135°。∴∠AGE=∠ECF。∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°－∠AEB=∠CEF。∴△AGE≌△ECF（ASA）。∴EG=CF。（2）画图如图所示：旋转后 CF 与 EG 平行。【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性 质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，旋转的 性质，平行的判定。【分析】（1）G、E 分别为 AB、BC 的中点，由正方形的性质可知 AG=EC，△BEG 为等腰直角三角形，则∠AGE=180°﹣45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，可证△AGE≌△ECF，从而得出结论。（2）旋转后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根据内错角相等，两直线平行，可判断旋转后 CF 与 EG 平行。3.（内蒙古呼伦贝尔 8 分）如图,四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O,E、F、G、H 分别是 AD、BD、BC、AC的中点。（1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形；（2）当四边形 ABCD 满足一个什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？并证明你的结论。【答案】解:（1）证明：∵E、F、G、H 分别是AD、BD、BC、AC 的中点∴EF∥AB ，EF= ，GH∥AB ， GH=12AB ，∴EF∥GH ，EF=GH。∴EFGH 是平行四边形。（2）当四边形 ABCD 满足 AB=DC 时， EFGH 是菱形。证明如下：∵ AB=DC， ∴EF=EH。又∵ 四边形 EFGH 是平行四边形， ∴EFGH 是菱形 。【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定。【分析】（1）根据三角形中位线平行且等于第三边一半的性质，可得四边形 EFGH 的对边 EF 和 GH平行且相等，从而根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证。 （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定可证。OHGFECDBA