几种典型的连续型随机变量及其分布

发布时间:2024-02-04 20:02:17浏览次数:31
几种典型的连续型随机变量及其分布随机变量可按照其取值情况分为离散型与非离散型两种基本类型。如果随机变量 X 的一切可能取值可以一一列举出来,则称 X 为离散型随机变量。也即能去有限或可列个值的随机变量,如果随机变量 X 的一切可能取值不能一一列举出来,则称 X 为非离散型随机变量。注意连续型随机变量只是非离散型随机变量中的特殊情况,也就是说不能说非离散型随机变量就是连续型随机变量。 几个典型的连续型随机变量由于连续型随机变量涉及到积分,因此对大家业余学习的同学来说可能是个难点,因为大家大脑中积分的计算方法技巧已经模糊。不过这些知识大家又是必须掌握的,所以大家应该克服记忆力的局限,多花点时间温习以前的积分知识。连续型随机变量的定义:如果对于随机变量X的分布函数F(x)存在非负可积的函数f(x),使得对于任何实数x都有: 则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,一般简称为密度函数。密度函数的两大基本性质:⑴ (也即非负性)⑵ (有时称为归一性)注:以上两大性质的作用: ① 验证一个函数是否为一个连续型随机变量的密度函数; ② 求出带参数的密度函数中的参数的具体数值。一般对于连续型随机变量的计算概率问题有如下公式: ⑴ 公式推导如下: ⑵ (a 为任意一个取定的实数)大家注意比较连续型随机变量的这条性质和离散型随机变量在某点取值概率的异同,以下列举出几个重要连续型随机变量,以及相关的大家必须掌握的相关的知识点!一、连续型均匀分布密度函数为:计算 概率的方法:⑴ 当 时⑵ 当⑶ 当 时 ⑷ 当⑸ 当 二、指数分布密度函数为:计算 概率的方法:当三、正态分布(一般记为: )密度函数为: ,其中特别,当 。这时,称 X 服从标准正态分布,记为:注意:一般涉及到正态分布的积分都比较困难(函数比较复杂,而且是无穷区间的广义积分,因此,对积分比较感兴趣的同学可以试着自己积分,大部分同学可以只记住主要结论和公式(包括密度函数),会灵活应用就可以了。关于正态分布的主要结论:⑴ 的图象关于直线 对称,在 处取得最大值, 最 大 值 为 : 。 特 别 , 对 于 标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 数在 取得最大值,最大值为:⑵ 正态分布的计算问题(I)由于标准正态分布用处非常多,因此每本教材的附录上都有它的分布函数在大于 0 处的函数值表,以供查用,因此大家一定要学会使用查表。(在本课程的下半部分几乎处处是查表的计算)由⑴知道, 关于原点对称,因此 在任何点的值都可以计算出来。注意,我们使用的教材上只给出了当 时的值,这是因为当 时,几乎等于 1,因此,一般当 时,我们直接认为 。另外,当 时,我们有:也即: 。(注意此公式会经常用到,大家一定要熟练掌握!)因此由以上推导,我们可以计算出一切 的具体数值:而 的值,我们都可以通过直接或者间接查表求得。 (II)至于非标准正态分布,我们都可以通过公式转化为标准正态分布的问题来解决。若 ,它 的 分 布 函 数 与 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 的 关 系 为 :(证明过程见教材),这里大家只需要会用这个公式就可以了,具体用法为:由于, 都是常数,因此以上公式实际上把计算 转化为查 的函数值表。
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