2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分）1．（10 分）两个正整数的和小于 100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（）A．83 B．99 C．96 D．982．（10 分）现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多 4 厘米，宽比正方形的边长少 2 厘米，那么长比正方形的边长多（　　） 厘米．A．2 B．8 C．12 D．43．（10 分）用 8 个 3 和 1 个 0 组成的九位数有若干个，其中除以 4 余 1 的有（　　）个．A．5 B．6 C．7 D．84．（10 分）甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（　　）种不同的围坐方法．A．10 B．8 C．12 D．165．（10 分）新生开学后去远郊步行拉练，到达A地时比原计划时间 10 点 10 分晚了 6 分钟，到达C地时比原计划时间 13 点 10 分早了 6 分钟，A，C之间恰有一点B是按照原计划时间到达的，那么到达B点的时间是（　　）A．11 点 35 分 B．12 点 5 分 C．11 点 40 分 D．12 点 20 分6．（10 分）如图中的正方形的边长为 10，则阴影部分的面积为（　　）A．56 B．44 C．32 D．78二、填空题（每小题 0 分，满分 30 分）7．（10 分）爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄，爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的 5 倍．那么小林的年龄是　 　岁．8．（10 分）五个小朋友A、B、C、D和E参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21 和 7．那么A、C、E三名选手编号之和是　 　．9．用图 1 的四张含有 4 个方格的纸板拼成了图 2 所示的图形．若在图 2 的 16 个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是　 　．10．（10 分）在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，如图是一示例．现在用 20 根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有　 　个单位边长的正方形． 2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分）1．（10 分）两个正整数的和小于 100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（）A．83 B．99 C．96 D．98【分析】因为一个数是另一个数的两倍，这就说明这两个数的和是另一个数的 3 倍，因此只要判断 100 以内 3 的最大的倍数是多少即可．【解答】解：根据 3 的倍数特征，不难判断 83 和 98 都不是 3 的倍数，99 和 96 都是，但 99＞96，所以这两个数的最大值是 99．故选：B．2．（10 分）现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多 4 厘米，宽比正方形的边长少 2 厘米，那么长比正方形的边长多（　　） 厘米．A．2 B．8 C．12 D．4【分析】显然长方形的周长比正方形的周长多 4 厘米，则长方形的长和宽比正方形的两条边长之和多 2 厘米，而宽比正方形的边长少 2 厘米，则长应该比正方形的边长多：2+2＝4 厘米．【解答】解：根据分析，长方形的周长＝2×（长+宽），正方形的周长＝2×（边长+边长），∵长方形的周长比正方形的周长多 4 厘米，∴长方形的长和宽之和比正方形的两条边长之和多 2 厘米，宽比正方形的边长少 2 厘米，则则长应该比正方形的边长多：2+2＝4 厘米．故选：D．3．（10 分）用 8 个 3 和 1 个 0 组成的九位数有若干个，其中除以 4 余 1 的有（　　）个．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】4 的整除特性是只看后两位是 4 的倍数，只要满足后两位数除以 4 余数是 1 就是满足条件的数．只需要考虑 0 的位置即可．【解答】解：当尾数是 033 时，满足条件，其余数字都是唯一确定的有一个数字．当尾数是 333 时，9 位数字中还有 6 位数字，0 不能在首位，0 的位置有 5 种情况．共 5 个数字．当尾数是 03 或者 30 都不满足条件．故选：B．4．（10 分）甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（　　）种不同的围坐方法．A．10 B．8 C．12 D．16【分析】此题实际上就是按一定的顺序给乙、丙、丁、戊 4 人排位置．故可以：①将 4 人全排列坐法种数为： ＝24．②乙丁相邻时排列分两步：第一步是先把 2 人捆绑为 1 人，此坐法种数是 ＝2；第二步是用捆绑的 2 人作为 1 人，再与丙、戊进行全排列，其排列做法种数为 ＝6．所以乙丁相邻时坐法种数是2×6＝12．③ 4 人全排列坐法种数﹣乙丁相邻时坐法种数＝乙丁不相邻时的坐法种数． 至此问题就解决了．【解答】解：将乙丙丁戊进行全排列坐法种数是 ＝4×3×2×1＝24．乙丁相邻时坐法种数是 × ＝2×1×3×2×1＝12．乙丁不相邻时坐法种数是 24﹣12＝12故选：C．5．（10 分）新生开学后去远郊步行拉练，到达A地时比原计划时间 10 点 10 分晚了 6 分钟，到达C地时比原计划时间 13 点 10 分早了 6 分钟，A，C之间恰有一点B是按照原计划时间到达的，那么到达B点的时间是（　　）A．11 点 35 分 B．12 点 5 分 C．11 点 40 分 D．12 点 20 分【分析】首先分析时间差为 12 分钟，那么要恰好准点，需要赶回第一个时间差 6 分钟即可．【解答】解：依题意可知：开始晚到 6 分，最后提前 6 分，那么时间差是 12 分．从起始点A到C共用时间是 3 小时．那么准点是时间就是需要时间差为 6 分钟的时候．6 分钟和 12 分钟比较正好为一半的时间，即从 10：10 分开始过后的 1.5 小时正好是准时的．即时间是 11：40 分．故选：C．6．（10 分）如图中的正方形的边长为 10，则阴影部分的面积为（　　）A．56 B．44 C．32 D．78【分析】如下图进行切割，图中a、b、c、d 4 个部分空白处面积和对应的阴影部分面积相等，找到这个等量关系即可解．【解答】解：如上图的方法进行切割，可知：图中a、b、c、d 4 个部分空白处面积和对应的阴影部分面积相等；空白的面积＝（正方形面积﹣3×4 的小长方形面积）÷2＝（10×10﹣3×4）÷2＝44；阴影部分面积＝正方形面积﹣空白的面积＝10×10﹣44＝56．故选：A．二、填空题（每小题 0 分，满分 30 分） 7．（10 分）爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄，爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的 5 倍．那么小林的年龄是　 9 　 岁．【分析】设爷爷的年龄为 ＝10a+b，则爸爸的年龄为 ＝10b+a，根据“爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的 5 倍．”可得 10a+b﹣（10b+a）＝9（a﹣b），所以 9（a﹣b）是 5 的倍数，再根据a﹣b的值只能小于 10，可以推算出小林的年龄．【解答】解：设爷爷的年龄为 ＝10a+b，则爸爸的年龄为 ＝10b+a，爷爷与爸爸的年龄差是：10a+b﹣（10b+a）＝9（a﹣b），因为爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的 5 倍，所以，9（a﹣b）是 5 的倍数，即（a﹣b）是 5 的倍数，又因为a﹣b＜10，所以a﹣b＝5，则小林的年龄只能是 9 岁．答：小林的年龄是 9 岁．故答案为：9．8．（10 分）五个小朋友A、B、C、D和E参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21 和 7．那么A、C、E三名选手编号之和是　 24 　 ．【分析】因为“站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为 13、31、21 和 7”，即小朋友的位置越靠左，右边的人数的越多，则编号之和越大，31＞21＞13＞7，所以EDAC四位小朋友的顺序从左到右为D、A、E、C．C右边小朋友的编号和为 7，说明C右边还有一位小朋友B，那么五位小朋友从做到右依次为D，A，E，C，B．D右边的和为 31，所以D为 35﹣31＝4A右边的和为 21，所以A为 35﹣21﹣4＝10，E右边的和为 13，所以E为 35﹣13﹣4﹣10＝8，C右边的和为 7，所以C为 35﹣7﹣4﹣10﹣8＝6C右边的和为 7，所以B为 7 那么A、C、E三名选手编号之和是 10+8+6＝24 据此解答即可．【解答】解：根据分析知：右侧数字和越大的位置越向左，由题意可知：E，D，A，C，从左到右的顺序为DAEC．C右边的选手号为 7，只能是B．而最右侧的D应为：35﹣31＝4所以：A+C+E＝35﹣（7+4）＝24故答案为：24．9．用图 1 的四张含有 4 个方格的纸板拼成了图 2 所示的图形．若在图 2 的 16 个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是　 4 　 ．【分析】如图 2， ，根据每个纸板内四个格子里的数不重复，可得：A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，据此求出A，B，C，D 四个方格中数的平均数是多少即可．【解答】解：如图 2， ，因为每个纸板内四个格子里的数不重复，所以A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，所以A，B，C，D四个方格中数是 1，3，5，7（每个方格填一个数），所以A，B，C，D四个方格中数的平均数是：（1+3+5+7）÷4＝4．答：A，B，C，D四个方格中数的平均数是 4．故答案为：4．10．（10 分）在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，如图是一示例．现在用 20 根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有　 7 　 个单位边长的正方形．【分析】从上图可以看出，只要小正方形的边相邻，才能节省小木棍，摆成的图形越接近大正方形就越节省木棍．因此这题可以从 2×2 的正方形和 3×3 的正方形入手．从上图可以看出左边 2×2 的正方形需要 12 根木棍，右边 3×3 的正方形需要 24 根木棍，20 根摆成的图形可以由 3×3 这个图形去掉一些木棍得到．【解答】解：将上面 3×3 这个图形去掉 4 根木棍得到下图故此题填 7声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:46:58；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800