2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 B 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是　 　平方厘米．2．（10 分） 在如图的算式中，每个字母代表一个 1 至 9 之间的数，不同的字母代表不同的数字，则 A+B+C＝　 　．3．（10 分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要 30 分钟可将水池注满．现在A和B同时打开 10 分钟，即将A关闭，由B继续注水 40 分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要　 　分钟才可将水池注满．4．（10 分） 将六个数 1，3，5，7，9，11 分别填入右图中的圆圈内（每个圆填一个数） 使每边上三个数的和都等于 19，则三角形三个的圆圈内所填三数之和为　 　．5．（10 分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具．已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件，且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半．若购买的三种文具恰好共用了 66 元，那么甲种文具最多购买了　 　件．6．（10 分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有　 　种不同的走法．7．（10 分）每枚正方体骰子相对面的点数和都是 7．如图摆放的三枚骰子，你只能看到七个面的点数，那么你从该图中看不见的所有面的点数和是　 　．8．（10 分）十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是　 　．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如 1×1＝12，2×2＝22，3×3＝33，类推）二、简答题（每题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9．（15 分）商店进了一批钢笔，如果用零售价 7 元卖出 20 支与用零售价 8 元卖出 15 支所赚的钱数相同．那么每支钢笔的进货价是多少元？10．（15 分）十个互不相同的非零自然数之和等于 102，那么其中最大的两个数之和的最大值等于多少？其中最小的两个数之和的最小值等于多少？11．（15 分）如图是一个净化水装置，水流方向为从 A 先流向 B，再流到 C．原来容器A﹣B 之间有10 个流量相同的管道，B﹣C 之间有 10 个流量相同的管道．现调换了 A﹣B 与 B﹣C 之间的一个管道后，流量每小时增加了 30 立方米．问：通过调整管道布局，从 A 到 C 的流量最大可增加多少立方米？ 12．（15 分）称四位数 是四位数 的反序数．如 1325 是 5231 的反序数，2001 是 1002 的反序数．问：一个四位数与它的反序数的差能等于 1008 吗？如果能，请写出一例；如果不能，请简述理由．2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是　 96 　 平方厘米．【分析】根据正方形的面积公式S＝a×a求出正方形的面积，再根据“占正方形面积的三分之二，”求出两个图形重叠部分的面积，进而求出三角形面积．【解答】解：8×8× ÷ ，＝48×2，＝96（平方厘米），答：这个三角形的面积是 96 平方厘米；故答案为：96．2．（10 分） 在如图的算式中，每个字母代表一个 1 至 9 之间的数，不同的字母代表不同的数字，则 A+B+C＝　 18 　 ．【分析】根据减法各部分间的关系可得：DEF+HIJ＝ABC，又因为 1～9 这 9 个数字的和是 45，假设个位与十位相加都进位，则可得：F+J＝10+C，E+I＝10+B﹣1＝9+B，D+H＝A﹣1，则D+E+F+H+I+J＝10+C+9+B+A﹣1＝A+B+C+18，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+18＝45，即A+B+C＝ ，不符合题意；则假设只有个位数字相加进位，则F+J＝10+C，E+I＝B﹣1，D+H＝A，则D+E+F+H+I+J＝10+C+B﹣1+A＝A+B+C+9，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+9＝45，即A+B+C＝18，符合题意；假设只有十位数字相加进位得到的结果与假设个位数字相加进位得到的结果相同，据此即可解答．【解答】解：根据题得：DEF+HIJ＝ABC，又因为 1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，假设个位与十位相加都进位，则可得：F+J＝10+C，E+I＝10+B﹣1＝9+B，D+H＝A﹣1，则D+E+F+H+I+J＝10+C+9+B+A﹣1＝A+B+C+18，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+18＝45，即A+B+C＝ ，不符合题意；则假设只有个位数字相加进位，则F+J＝10+C，E+I＝B﹣1，D+H＝A，则D+E+F+H+I+J＝10+C+B﹣1+A＝A+B+C+9，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+9＝45，即A+B+C＝18，符合题意；答：A+B+C＝18．故答案为：18．3．（10 分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要 30 分钟可将水池注满．现在A和B同时打开 10 分钟，即将A关闭，由B继续注水 40 分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要　 60 　 分钟才可将水池注满．【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间． 【解答】解：1÷[（1﹣ ）÷40]，＝1÷ ，＝60（分钟）；答：单独打开B龙头注水，需要 60 分钟才可将水池注满．故答案为：60．4．（10 分） 将六个数 1，3，5，7，9，11 分别填入右图中的圆圈内（每个圆填一个数） 使每边上三个数的和都等于 19，则三角形三个的圆圈内所填三数之和为　 21 　 ．【分析】由于三角形三个顶点上 3 个数重复加了一遍，所以各边数字之和减去所填入数字和等于重复多加的各顶点之和，即 19×3﹣（1+3+5+7+9+11）＝21，所以顶点上三个数的和是 21．【解答】解：19×3﹣（1+3+5+7+9+11），＝19×3﹣36，＝21；这个幻方可以是：故答案为：21．5．（10 分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具．已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件，且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半．若购买的三种文具恰好共用了 66 元，那么甲种文具最多购买了　 11 　 件．【分析】设购买甲文具为x元，则乙为（x﹣2）元，由于甲、乙、丙三种文具恰好用了 66 元钱，则买甲、乙两种文具的钱≤66，再根据购买甲文具的费用不超过总费用的一半，列不等式解答．【解答】9 解：设买甲种文具数量为x，丙种文具数量为y，则乙种文具数量为（x﹣2），则 3x+2（x﹣2）+y＝66，即y＝70﹣5x，又 3x≤ ，解得x≤11，所以甲文具最多购买 11 件，答：甲种文具最多购买了 11 件．故答案为：11．6．（10 分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有　 6 　 种不同的走法． 【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有一条最短路线，这样有 3 种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2＝6 种不同的走法；据此解答．【解答】解：根据分析可得，共有：3×2＝6（种），答：蚂蚁有 6 种不同的走法．故答案为：6．7．（10 分）每枚正方体骰子相对面的点数和都是 7．如图摆放的三枚骰子，你只能看到七个面的点数，那么你从该图中看不见的所有面的点数和是　 41 　 ．【分析】此图中共三枚正方体骰子，从上到下编为①②③．因为每枚正方体骰子相对面的点数和都是 7，即每个骰子的点数和有 3 个 7 构成．因此①看不见的所有面的点数和为 7×3﹣（4+3+2）＝9；②看不见的所有面的点数和为 7×3﹣（5+1）＝15；③看不见的所有面的点数和为 7×3﹣（3+1）＝17．所以，从该图中看不见的所有面的点数和为 9+15+17＝41．【解答】解：①看不见的所有面的点数和为：7×3﹣（4+3+2）＝9；②看不见的所有面的点数和为：7×3﹣（5+1）＝15；③看不见的所有面的点数和为：7×3﹣（3+1）＝17．所以，从该图中看不见的所有面的点数和为 9+15+17＝41．故答案为：41．8．（10 分）十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是　 1328 　 ．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如 1×1＝12，2×2＝22，3×3＝33，类推）【分析】十个不同奇数的平方之和的最小值，即从 1 开始，到 19 结束，求出 1～19 的 10 个不同奇数的平方之和，然后求出这个最小值被 4 除的余数，然后用 10 个不同奇数的平方之和减去这个最小值被 4 除的余数即可．【解答】解：12+32+52+72+92+112+132+152+172+192，＝1+9+25+49+81+121+169+225+289+361，＝1330，1330÷4＝332…2，1330﹣2＝1328；故答案为：1328．二、简答题（每题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9．（15 分）商店进了一批钢笔，如果用零售价 7 元卖出 20 支与用零售价 8 元卖出 15 支所赚的钱数相同．那么每支钢笔的进货价是多少元？【分析】我们运用方程进行解答较容易理解，设每支钢笔的进货价是x元．（7﹣x）×20 与（8﹣x）×15 钱数是相等的，列方程求出进价即可．【解答】解：设每支钢笔的进货价是x元．（7﹣x）×20＝（8﹣x）×15， 140﹣20x＝120﹣15x， 5x＝20， x＝4；答：每支钢笔的进货价是 4 元．10．（15 分）十个互不相同的非零自然数之和等于 102，那么其中最大的两个数之和的最大值等于多少？其中最小的两个数之和的最小值等于多少？【分析】十个互不相同的非零自然数之和等于 102，当最大的两个数和的最大值时，其余的 8 个数就是应是最小的不同的 8 个非零的自然数，即是 1，2，3，4，5，6，7，8．据此解答．【解答】解：最大的两个数之和的最大值是：102﹣（1+2+3+4+5+6+7+8），＝102﹣36，＝66，最小的两个数之和的最小值是：1+2＝3．答：最大的两个数之和的最大值等于 66，其中最小的两个数之和的最小值等于 3．11．（15 分）如图是一个净化水装置，水流方向为从 A 先流向 B，再流到 C．原来容器A﹣B 之间有10 个流量相同的管道，B﹣C 之间有 10 个流量相同的管道．现调换了 A﹣B 与 B﹣C 之间的一个管道后，流量每小时增加了 30 立方米．问：通过调整管道布局，从 A 到 C 的流量最大可增加多少立方米？【分析】由于调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了 30 立方米可得：A﹣B和B﹣C之间的管道不一样，应该是其中的一组管道比另一组管道流量大，且调换一个管道流量每小时就增加 30 立方米，因为流量较大的一组共有 10 个管道，那么调换 5 组管道应该是增加流量最大，据此依据增加流量＝调换管道数×一组管道增加流量即可解答．【解答】解：30×（10÷2），＝30×5，＝150（立方米），答：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加 150 立方米．12．（15 分）称四位数 是四位数 的反序数．如 1325 是 5231 的反序数，2001 是 1002 的反序数．问：一个四位数与它的反序数的差能等于 1008 吗？如果能，请写出一例；如果不能，请简述理由．【分析】设这个四位数是 ，它的反序数是 ，根据题意知可： ﹣ ＝1008．因最高位的差是 1，所以a＞d，又因个位的差是 8，所以d+10＝a+8，a＝d+2，按照减法继续十位运算可得，c﹣b＝1，即c＝b+1，继续百位运算可得b﹣c＝0，即b＝c．矛盾．据此解答．【解答】解：根据以上分析知：一个四位数与它的反序数的差不能等于 1008．设这个四位数是 ，它的反序数是 ，根据题意知可： ﹣ ＝1008．因最高位的差是 1，所以a＞d，又因个位的差是 8，所以d+10＝a+8，a＝d+2，按照减法继续十位运算可得，c﹣b＝1，即c＝b+1，继续百位运算可得b﹣c＝0，即b＝c．矛盾．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:56:14；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800