2012 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题1．（8 分）2012×× 的计算结果是　 　．2．（8 分）在如图的乘法竖式中，两个乘数的和是　 　．3．（8 分）一袋大米，刘备单独吃 5 天吃完，关羽单独吃 3 天吃完；一袋小麦，关羽单独吃 5 天吃完，张飞单独吃 4 天吃完．刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少　 　%．4．（8 分）有 2012 个小矮人，他们不是好人，就是坏人，每天他们都要参加一次聚会，每次聚会人数是 3 或 5．每次参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人；若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人，如果第三天聚会完毕后，全部 2012 人全变成了好人．那么第一天聚会前好人的人数的最小值是　 　．5．（8 分）三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是 10 厘米，大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大　 　平方厘米．二、填空题6．（10 分）如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有　 　条棱．7．（10 分） ＝　 　．8．（10 分）有一个五位数，它分别除以 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13 这 12 个自然数的余数互不相同，这个五位数是　 　．9．（10 分）早上 8：10，菲菲从家步行去上学．3 分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家 200 米的地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回头去追菲菲，在离家 400 米的地方再次追上了她．追上后又立刻往家跑，到家后又去追菲菲，刚好在学校追上．菲菲到校时间是 8 点　 　分．10．（10 分）如图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有　 　种．（图中的两个喷泉圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部） 三、填空题11．（12 分）有 16 张卡片，黑白各 8 张，分别写有数字 1～8，把它们像扑克牌那样洗过后，如图那样排成四行，排列规则如下，每行中左到右按从小到大的顺序排列，黑白卡片上的数字相同时，黑卡片放在左边，已知每行 4 张卡片上的 4 个数字之和都相等，左下角是 2，右上角是 7，请问：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是　 　．12．（12 分）如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为 1、2、3、4 的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾车匀速行驶，且从 1、2、3、4 号车站出发的车的速度分别为 1、2、3、4，以后速度再不变化．行驶完毕后，他们有如下的话：甲说：“我第一次追上乙时恰在车站①”． 乙说：“我第一次追上丙时恰在车站②”． 丙说：“我第一次追上丁时恰在车站③”． 丁说：“我第一次追上甲时恰在车站④”．已知其中有两人的话正确，两人说的话错误．那么四位数 ＝　 　．13．（12 分）如果正整数N的每一个倍数 都满足 、 也都是N的倍数（其中a、b、c都是 0～9 中的整数，并且约定 123 表示 123，028 表示 28，007 表示 7），那么就称N为“完美约数”（例如9 就是一个“完美约数”）．这样的“完美约数”一共有　 　个．14．（12 分）如图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为 12，图中阴影部分的面积是　 ．2012 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题1．（8 分）2012×× 的计算结果是　 24 　 ．【解答】解：2012×＝2012× ＝2012×＝2012×＝2012×＝2012×＝24；故答案为：24．2．（8 分）在如图的乘法竖式中，两个乘数的和是　 730 　 ．【解答】解：依题意可知：由第二行与第三行倍数不同，第二个乘数的十位数字小于 2 并且不是 0 只能是 1．继续推理出第一个乘数的十位数字也是 1．再根据已知数字 2 是尾数那么第一个乘数的尾数可能是 1 或者 6 两种情况．再根据结果中的尾数是 4，满足条件的有数字 1×4 或者 6×4 推理出第二个乘数的个位是 4．当第一个乘数的个位是 1 时，验证积的十位数字不是 2，那么只能是 6．根据数字 0 确定第一个乘数的首位是 5．即：516×214＝110424，516+214＝730．故答案为：730．3．（8 分）一袋大米，刘备单独吃 5 天吃完，关羽单独吃 3 天吃完；一袋小麦，关羽单独吃 5 天吃完，张飞单独吃 4 天吃完．刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少　 52 　 %．【解答】解：把关羽每天的饭量为单位“1”，则刘备每天的饭量为：3÷5＝张飞每天的饭量为：5÷4＝（ ﹣ ）÷＝＝52%答：刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少 52%．故答案为：52．4．（8 分）有 2012 个小矮人，他们不是好人，就是坏人，每天他们都要参加一次聚会，每次聚会人数是 3 或 5．每次参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人；若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人，如果第三天聚会完毕后，全部 2012 人全变成了好人．那么第一天聚会前好人的人数的最小值是　 435 　 ．【解答】解：逆推法：极端分析，若要使好人尽量少，则应在聚会时由坏人变成好人数量最多．若三人一组，最多变成好人的数量是 ，若 5 人一组，最多使 的人变成好人； ，所以尽量让 5 人一组．2012＝5×400+3×4， 所以最后一次共分为 400 个 5 人组，和 4 个 3 人组；每 5 个人中有 3 个人是好人，每 3 个人中共有 2 个人是好人；第二次聚会后最少有 400×3+2×4＝1208（人）；同理 1208＝5×241+3×1；第一次机会则最少有 241×3+2＝725（人），725＝145×5；145×3＝435（人）；故答案为：435．5．（8 分）三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是 10 厘米，大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大　 314 　 平方厘米．【解答】解：10+10＝20（厘米）3.14×102×2﹣（3.14×202÷2﹣3.14×102）＝3.14×200﹣3.14×200+3.14×100＝3.14×100＝314（平方厘米）答：大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 314 平方厘米．故答案为：314．二、填空题6．（10 分）如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有　 20 　 条棱．【解答】解：依题意可知：首先根据图示发现 1 部分是一个底面有 5 条棱．图 2 部分中有 5 条竖棱．第三部分和第一部分相等共 5 条棱．第四部分是图中含有 5 条倾斜的棱．共 5+5+5+5＝20．故答案为：207．（10 分） ＝　 9 　 ． 【解答】解：分母＝（1﹣ ）﹣（1﹣ ）+..+（1﹣ ）﹣（1﹣ ）＝ ﹣ +…+ ﹣分子＝（1﹣ ）﹣（1﹣ ）+…+（1﹣ ）﹣（1﹣ ）＝ ﹣ +…+ ﹣ ＝9×（﹣ +…+ ﹣ ）则，＝＝9；故答案为：9．8．（10 分）有一个五位数，它分别除以 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13 这 12 个自然数的余数互不相同，这个五位数是　 83159 　 ．【解答】解：依题意可知：这个五位数除以 1 余数是 0，除以 2 余数是 1，然后发现分别除以 3，4，5，6，7，8，9，10，11余数分别是 2，3，4，5，6，7，8，9，10 才是满足条件的．发现余数都是少 1 的，那么只有找到 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 的公倍数减去 1 就是符合条件的数字．最小公倍为：1×2×3×2×5×7×2×3×11＝27720．还需要满足除以 13 余数是 11 或者 12 的．满足条件的数字是 27720k﹣1，尝试枚举出k＝1，2，3，满足 5 位数的条件．经枚举是 27720×3﹣1＝83159．故答案为：831599．（10 分）早上 8：10，菲菲从家步行去上学．3 分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家 200 米的地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回头去追菲菲，在离家 400 米的地方再次追上了她．追上后又立刻往家跑，到家后又去追菲菲，刚好在学校追上．菲菲到校时间是 8 点　 28 　 分．【解答】解：依题意可知：从离家 200 米到 400 米情况如图所示，在相同的时间内菲菲走了 200 米，狗狗走了 600 米，V狗：V人＝S狗：S人＝3：1；菲菲家里距离学校的路程是 400×2＝800（米）．在狗狗第一次追上菲菲的时候速度比是 3：1，路程一定时间和速度成反比时间比为 1：3，时间差为 3 分钟．菲菲走 200 米的时间为：3÷（3﹣1）×3＝4.5 分钟．全程是 800 米是 200 米的 4 倍，时间就是 4 倍 4.5×4＝18（分），10+18＝28（分）．故答案为：2810．（10 分）如图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有　 384 　 种．（图中的两个喷泉圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部） 【解答】解：若只考虑顺时针a1、a2两条线段，只能选择走 1 条，同理，b1、b2、c1、c2、…、h1、h2每两条线段只能选择走 1 条，同时，8 条线段选定后，回路的走法就唯一确定共 28＝256 种走法，如果同时选择a2、h2，则A点的线段K会走两次，不符要求，∴同时选择a2、h2，的选法共 26＝64 种，∴顺时针共 28﹣26＝192 种走法，对称思想，逆时针与顺时针方法数相同，∴总计 192×2＝384 种走法．故答案为：384．三、填空题11．（12 分）有 16 张卡片，黑白各 8 张，分别写有数字 1～8，把它们像扑克牌那样洗过后，如图那样排成四行，排列规则如下，每行中左到右按从小到大的顺序排列，黑白卡片上的数字相同时，黑卡片放在左边，已知每行 4 张卡片上的 4 个数字之和都相等，左下角是 2，右上角是 7，请问：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是　 1 、 4 、 7 、 8 或者 1 、 2 、 5 、 8 　 ．【解答】解：根据分析，可得到图形如下： 或者答：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是 1、4、7、8 或者 1、2、5、8．故答案为：1、4、7、8 或者 1、2、5、8． 12．（12 分）如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为 1、2、3、4 的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾车匀速行驶，且从 1、2、3、4 号车站出发的车的速度分别为 1、2、3、4，以后速度再不变化．行驶完毕后，他们有如下的话：甲说：“我第一次追上乙时恰在车站①”． 乙说：“我第一次追上丙时恰在车站②”． 丙说：“我第一次追上丁时恰在车站③”． 丁说：“我第一次追上甲时恰在车站④”．已知其中有两人的话正确，两人说的话错误．那么四位数 ＝　 2314 　 ．【解答】解：4 个人共有 6 次追及，设正方形边长为a． ④第一次追上①时间a÷（4﹣1）＝ ，所以应在①、②中间．④第一次追上②时间 2a÷（4﹣2）＝a，所以走了 2a，在车站④．同理④第一次追上③在车站④．③第一次追上①在车站②．③第一次追上②在车站④．②第一次追上①在车站④，所以甲、丙的话不可能正确．乙第一次追上丙在车站②，所以B＝3，C＝1．丁第一次追上甲在车站④，所以A＝2，D＝4．所以四位数 ＝2314，故答案为 2314．13．（12 分）如果正整数N的每一个倍数 都满足 、 也都是N的倍数（其中a、b、c都是 0～9 中的整数，并且约定 123 表示 123，028 表示 28，007 表示 7），那么就称N为“完美约数”（例如9 就是一个“完美约数”）．这样的“完美约数”一共有　 14 　 个．【解答】解：①若a，b，c不全相等，则N| ，N| ，N| ，则N|（ + + ），即N|（a+b+c）×111，若N|（a+b+c）对于每一个a，b，c均成立，则N|9，则N|999，即N为 999 的约数，分别是 1，3，9，27，37，111，333，999，共 8 个，②若a＝b＝c，则比为完美约数，分别是 111，222，333，444，555，666，777，888，999，共9 个，与①中重复的有 111，333，999，共 3 个，所以“完美约数”共有 8+9﹣3＝14 个．故答案为：14．14．（12 分）如图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为 12，图中阴影部分的面积是　 324 ． 【解答】解：根据分析，将图进行分割，如图，阴影部分被分成 3 个相同的部分，每一个部分由两个三角形构成，其中一个三角形为腰为 12 的等腰直角三角形，面积12×12÷2＝72，另一个三角形底为 12，高为 12× ＝6，面积为 12×6÷2＝36，∴每一个部分面积为 72+36＝108，阴影部分面积为 108×3＝324．故答案是：324．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:07:52；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800