2014 年第五届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组笔试一）一、填空题Ⅰ（每题 8 分，共 32 分）1．（8 分）算式 的计算结果是　 　．2．（8 分）今年是 2014 年，2014 不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如 1024＝322，已知用数字 2、0、1、4 各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是　 　．3．（8 分）在不同的历史时期，“斤”和“两”之间的进制不同，成语“半斤八两”就是由 16 进制而来的．为了方便计算，我们认为古代 16 两是 1 斤，每斤为现代的 600 克；现在的 10 两是 1 斤，每斤为现代的 500 克．有一批药品，有一部分按古制称，另一部分按现制称，统计发现，“斤”数和是5，“两”数和是 68．那么，这批药品共有　 　克．4．（8 分）两个完全相同的正三角形可以拼成一个菱形，如果正三角形的边长为 10，则这个菱形内部最大的正方形面积为　 　．二、填空题Ⅱ（每题 10 分，共 40 分）5．（10 分）A＝ ，与A×100 最接近的整数是　 　．6．（10 分）如图所示，由 75 个小方格组成了 15×5 的图案，图中一些小方格已经被涂上了阴影，现在要继续把一些空白的小方格涂上阴影，保证任意 2×2 的方格中阴影小方格的数量都多于一半，那么最少需要再把　 　个小方格涂上阴影．7．（10 分）自然数A除本身以外最大的约数是d，自然数A+2 除本身以外最大的约数是d+2，那么A的值是　 　．8．（10 分）如图，三横、三竖、三斜共 9 条街道，编号为 1～9 的 9 个路口，A、B、C、D、E五位警察在其中 5 个不同的路口站岗，如果两个警察在同一条街道上，那么他们就能互相看到，他们各自说了如下的一句话：A：“我能看到另 4 位警察”．B：“我能看到另 4 位警察中的 3 位”．C：“我能看到另 4 位警察中的 2 位”．D：“我只能看到B”．E：“我谁也看不到”．已知他们恰有一人说谎，且说谎的警察所在路口的编号是五位警察中最小的，那么，A、B、C、D、E所在路口编号依次组成的五位数是　 　． 三、填空题Ⅲ（每题 12 分，共 48 分）9．（12 分）四个小伙伴想办“亲情套餐”，即缴纳一定金钱后，四人之间发短信免费，但是尴尬的是，当地只有 10 元的“三人间免费”的A套餐和 5 元的“两人间免费”的B套餐，四人想了一下，觉得可以开几个这种套餐，使得小伙伴们可以通过由中间人转发器到相互之间都可以免费发短信，那么在花钱最少的情况下，他们有　 　种开通套餐的方式．10．（12 分）如图，正八边形中连出 3 条对角线围成一个三角形（图中阴影部分），如果该正八边形的边长为 60，那么阴影部分的面积是　 　．11．（12 分）A、B两地相距 291 千米，甲、乙两人同时从A地出发匀速前往B地，与此同时丙从B地出发匀速前往A地，当乙走了p千米后与丙相遇时，甲走了q千米，又过了一段时间，当甲、丙相遇时，乙共走了r千米，如果p、q、r均是质数，那么p、q、r的和是　 　．2014 年第五届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组笔试一）参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ（每题 8 分，共 32 分）1．（8 分）算式 的计算结果是　 2 　 ．【分析】先把分子部分 10×12×14×18 拆分为 2×5×2×6×2×7×2×8×2×9，然后通过约分简算即可．【解答】解：＝＝2；故答案为：2．2．（8 分）今年是 2014 年，2014 不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如 1024＝322，已知用数字 2、0、1、4 各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是　 2401 　 ．【分析】首先找到这些数字中尾数只能是 1 或者 4 才能构成平方数．再枚举这些数字，然后进行分解．只要分解出一个不是平方数的数字就不符合题意．【解答】解：首先根据是平方数判断尾数可以是 1 或者 4．没有一个平方数尾数是 2 的．尾数是 1 和尾数是 4 时有 1024，1204，2014，2104，2041，2401，4201，4021 共 8 个数字．对以上 8 个数字进行分解得：① 1024＝25，② 1204＝4×301（不符合题意），③ 2014＝2×1007（不符合题意），④ 2104＝8×263（不符合题意）⑤ 2041＝13×157（不符合题意），⑥ 2401＝492（符合题意），⑦ 4201（质数），⑧ 4021（质 数）．故答案为：24013．（8 分）在不同的历史时期，“斤”和“两”之间的进制不同，成语“半斤八两”就是由 16 进制而来的．为了方便计算，我们认为古代 16 两是 1 斤，每斤为现代的 600 克；现在的 10 两是 1 斤，每斤为现代的 500 克．有一批药品，有一部分按古制称，另一部分按现制称，统计发现，“斤”数和是5，“两”数和是 68．那么，这批药品共有　 2800 　 克．【分析】想要求出总重量，需要求出多少斤古制多少斤现代，总共 5 斤，共 68 两，属于鸡兔同笼问题，用假设法即可．【解答】解：假设全是按照古制称量，5 斤是 16×5＝80（两），实际“两”数和是 68，80﹣68＝12（两），每斤两数差为 16﹣10＝6（两），12÷6＝2（斤），所以是 3 斤古制称重，2 斤现代称重，600×3+500×2＝2800（克）．故答案为：2800 克．4．（8 分）两个完全相同的正三角形可以拼成一个菱形，如果正三角形的边长为 10，则这个菱形内部最大的正方形面积为　 50 　 ．【分析】要使正方形的面积最大，只有当正方形的对角线与菱形的一条对角线时，正方形的边长才能取最大值，然后求得正方形的边长，再求得面积．【解答】解：有两种方法如图甲、图乙可以将正方形放入这个菱形内部：根据分析，当正方形的对角线与菱形的一条对角线时，即如图甲时，正方形的边长才能取最大值，当正方形如图摆放时，面积最大，面积最大为：10×10÷2＝50故答案是：50．二、填空题Ⅱ（每题 10 分，共 40 分）5．（10 分）A＝ ，与A×100 最接近的整数是　 314 　 ． 【分析】先设出原式A＝ ，则x＝ ，则x＜6+ ＜27，然后讨论x＝6，x＝27 时A的值即可解决A×100 最接近的整数是多少．【解答】解：设A＝则x＝ ，x＝6+ ＜6+ ＜27，当x＝6 时，原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝3.142，当x＝27 时，原式＝ ＝ ＝3.1408，则，3.142×100＝314.2，3.1408×100＝314.08，则，314.08＜A×100＜314.2，之间的整数只有 314，所以，与A×100 最接近的整数是 314．故答案为：314．6．（10 分）如图所示，由 75 个小方格组成了 15×5 的图案，图中一些小方格已经被涂上了阴影，现在要继续把一些空白的小方格涂上阴影，保证任意 2×2 的方格中阴影小方格的数量都多于一半，那么最少需要再把　 17 　 个小方格涂上阴影．【分析】此题实际上要求涂色后不存在相连的空白格（即任意两个空白格不存在公共顶点）将 空白格分成如下图不相连的 7 块．其中D、G两块为 5×1，每块至少需要涂其中 2 个格子，同理，C、F两块，每块至少需要涂其中 1 个格子．其它的填法与此类似．【解答】解：按照上图所涂，一共需要涂上 17 个格子．故此题填 177．（10 分）自然数A除本身以外最大的约数是d，自然数A+2 除本身以外最大的约数是d+2，那么A的值是　 7 　 ．【分析】首先证明A是质数，d＝1，推出d+2＝3，由d+2 是A+2 除本身以外的最大约数，推出A+2＝9，由此即可解决问题．【解答】解：如果A是偶数，则d＝ ，d+2＝ ，矛盾，所以A是奇数，A和A+2 互质，d和d+2 互质．若A不是质数，设A＝md，m是A的最小质因数，则（d+2）|（md+2），∴（d+2）|（md+2m+2﹣2m），∴（d+2）|（2m﹣2），∴（d+2）|（m﹣1）与m是最小质因数矛盾，∴A是质数，∴d＝1，d+2＝3，∵d+2 是A+2 除本身以外的最大约数，∴A+2＝9，∴A＝7．故答案为 7．8．（10 分）如图，三横、三竖、三斜共 9 条街道，编号为 1～9 的 9 个路口，A、B、C、D、E五位警察在其中 5 个不同的路口站岗，如果两个警察在同一条街道上，那么他们就能互相看到，他们各自说了如下的一句话：A：“我能看到另 4 位警察”．B：“我能看到另 4 位警察中的 3 位”．C：“我能看到另 4 位警察中的 2 位”．D：“我只能看到B”．E：“我谁也看不到”．已知他们恰有一人说谎，且说谎的警察所在路口的编号是五位警察中最小的，那么，A、B、C、D、E所在路口编号依次组成的五位数是　 25496 　 ．【分析】显然A说的话与D、E矛盾，所以A说的是错的，B、C、D、E说的是对的，可以假设若 有人站在 1 号位置，他可以看到 2、4、8、3、6 号，共 5 个位置，所以E不能站在 1 号位置，否则2、4、8、3、6 号位置均不能站人，则位置不够，同理，可以判断其它字母所在路口的编号．【解答】解：根据分析，A说的话与D、E矛盾，所以A说的是错的，B、C、D、E说的是对的，若有人站在 1 号位置，他可以看到 2、4、8、3、6 号，共 5 个位置，所以E不能站在 1 号位置，否则 2、4、8、3、6 号位置均不能站人，则位置不够，同理，3 号能看到 6 个位置，4 号能看到 6个位置，5 号能 5 个位置，7 号能看到 6 个位置，8 号能看到 6 个位置，这些位置E都不能站，所以E只能站在 2、6、9；若E站在 2 号位置，1、4、5、7 不能站，剩下的 3、6、8、9 这 4 个位置中没人能同时看到另外3 个位置，与B可以看到 3 个人矛盾；若E站在 9 号位置，3、5、7、8 不能站人，剩下的 1、2、4、9 这 4 个位置中能同时看到另外 3个位置只有 1，那么B再 1，而 1 是最小编号，A所在位置的编号一定比 1 大，这与题意中“说谎的警察所在路口的编号是五位警察中最小的”矛盾；所以E在 6 号位置，1、3、7、8 不能站人，剩下的 2、4、5、9 中能同时看到另外 3 个位置的只有 5，那么B在 5；说谎的A所在路口的编号是五位警察中最小的，所以A在 2；4 能看到在 2 的A与在 5 的B，据“D只能看到B”，所以D不在 4，D在 9，；剩下的C在 4．故答案是：25496．三、填空题Ⅲ（每题 12 分，共 48 分）9．（12 分）四个小伙伴想办“亲情套餐”，即缴纳一定金钱后，四人之间发短信免费，但是尴尬的是，当地只有 10 元的“三人间免费”的A套餐和 5 元的“两人间免费”的B套餐，四人想了一下，觉得可以开几个这种套餐，使得小伙伴们可以通过由中间人转发器到相互之间都可以免费发短信，那么在花钱最少的情况下，他们有　 28 　 种开通套餐的方式．【分析】4 人如果想相互之间免费发短信，最少花 15 元．可以办 1 个三人套餐 1 个两人套餐，或3 个两人套餐，分类讨论，利用计数原理得出结论．【解答】解：4 人如果想相互之间免费发短信，最少花 15 元．可以办 1 个三人套餐 1 个两人套餐，或 3 个两人套餐．第一种情况，办 1 个三人套餐和 1 个两人套餐，从 4 个人选出 3 个人办套餐共有 4种方法，3 人中选出 1 人跟没办 3 人套餐的人办两人套餐，所以，共有 4×3＝12 种方法；第二种情况，办 3 个两人套餐，A和B、B和C、C和D，共有 4×3×2×1÷2＝12 种方法；第三种情况，办 3 个两人套餐，A和B、C、D办，共有 4 种方法． 综上所述，共有 12+12+4＝28 种方法．故答案为 28．10．（12 分）如图，正八边形中连出 3 条对角线围成一个三角形（图中阴影部分），如果该正八边形的边长为 60，那么阴影部分的面积是　 900 　 ．【分析】由题目的已知条件可得：正八边形由外接圆，圆心是O，利用圆周角是圆心角的一半，可求得：∠CBA、∠BCA，再用三角形的内角和，求∠BAC．得知AB＝BC＝60；再用BF是直径和△BOH和△BEF是相似三角形，求出OH的长是 30，之后就可求出阴影部分的面积了． 【解答】解：做OH⊥BE，与BE的交点是H．∵是正八边形∴∠BOC＝360°÷8＝45°，O是外接圆的圆心，像OB、OA、OF等是圆的半径．∠ABC＝2∠BOC÷2＝45°，∠ACB＝3∠BOC÷2＝67.5°∠CAB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°∴∠ACB＝CAB＝67.5°AB＝CB＝60又∵BF是圆的直径∴∠BEF＝90°△BOH∽△BEFOH＝ ＝ ＝30S△AOB＝AB×OH÷2＝60×30÷2＝900故：阴影部分的面积是 900．11．（12 分）A、B两地相距 291 千米，甲、乙两人同时从A地出发匀速前往B地，与此同时丙从B地出发匀速前往A地，当乙走了p千米后与丙相遇时，甲走了q千米，又过了一段时间，当甲、丙相遇时，乙共走了r千米，如果p、q、r均是质数，那么p、q、r的和是　 221 　 ．【分析】此题重点找甲乙丙之间的路程关系进行分析，在 2 次相遇过程中速度没变，相遇时时间相同，所以速度比可以转换成路程之比．【解答】解：由题意可知q＜p＜r当乙走了p千米时，丙共走了 291﹣p千米，甲走q千米，甲丙路程和 291﹣p+q千米．当乙走了r千米时，甲丙相遇，路程和是一个全长 291 千米．∴路程成比例 ，解 291p＝r（291﹣p+q）p，q，r均为质数，291 一定被r整除，所以r有两种情况r＝3，或者r＝97当r＝3 时，p＝2，q＝1 与题意矛盾，∴r＝97当r＝97，代入 291p＝r（291﹣p+q）得 4p＝291+p∵4p＞293．∴p＞73．在 73 和 97 之间的质数有 79，83，89．当p尾数是 9 时，q的尾数是 5 不符合题意∴p＝83．代入q＝41∴p+q+r＝83+41+97＝221综上所述，p，q，r的和是 221声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:47:17；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800