2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 B 卷）一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的）1．（10 分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（　　）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．42．（10 分）在下列四个算式中： ÷ ＝2，E×F＝0，G﹣H＝1，I+J＝4，A～J代表 0～9 中的不同数字，那么两位数 不可能是（　　）A．54 B．58 C．92 D．963．（10 分）淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（　　）A．淘气的剪法利用率高 B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样 D．无法判断4．（10 分）小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了 4 分钟，他特意在上午 10点时对好了表．当小华按照自己的表于下午 2 点到少年宫时，实际早到了（　　）分钟．A．14 B．15 C．16 D．175．（10 分）甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是 72 岁，几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁，又知道，当甲是 19 岁的时候，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁），如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（　　）种情况．A．4 B．6 C．8 D．106．（10 分）有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数”乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数”丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数”丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数”已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（　　）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分．）7．（10 分）算式 1007× ÷19 的计算结果是　 　．8．（10 分）海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有　 　个．9．（10 分）甲、乙二人同时从A地出发匀速走向B地，与此同时从B地出发匀速走向A地．出发后 20分钟甲与丙相遇，相遇后立即调头后 10 分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B地．结果当甲走到B地时，乙恰走过A、B两地中点 105 米，而丙离A地还有 315 米．甲的速度是乙的速度的　 　倍，A、B两地间的路程是　 　米．10．（10 分）从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含 1 的有　 　种取法；总共有　 　种取法． 2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 B 卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的）1．（10 分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（　　）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．4【分析】这道题考查的是大家对于平面直线分割的考查，因为所给的直线比较少，因此用找规律的方法来做比较简单．【解答】解：这道题问的是至多有几条直线平行，现在总过四条直线，那么最多 4 条线平行，而此时最多只能分成 5 个部分，那么我们再考虑三条直线的情况，此时只要画成“丰”字形，就可以得到八个平面，成立，故选：C．2．（10 分）在下列四个算式中： ÷ ＝2，E×F＝0，G﹣H＝1，I+J＝4，A～J代表 0～9 中的不同数字，那么两位数 不可能是（　　）A．54 B．58 C．92 D．96【分析】因为E×F＝0，所以EF中至少有一个为 0，另一个可以是任何数；又因为I+J＝4，所以I和J有一个是 3，有一个是 1；又因为A～J代表 0～9 中的不同数字，而G﹣H＝1，分以下情况讨论：①GH是 9，8 时②GH是 8，7 时③GH是 7，6 时④GH是 6，⑤ 5 时GH是 5，4 时，据此解答即可．【解答】解：由条件可知：E、F中至少有一个为 0，假设E为 0；另一个可以是任何数；I和J有一个是 3，有一个是 1；那么 0～9 中的数字还剩下 2、4、5、6、7、8、9；因为：G﹣H＝1①GH是 9，8 时则 54÷27＝2此时F＝6②GH是 8，7 时则 92÷46＝2此时F＝5③GH是 7，6 时则 58÷29＝2此时F＝4④G、H是 6，5此时不满足条件⑤时G、H是 5，4 时，此时不满足条件所以两位数 可能是 54、58、92；不可能是 96故选：D．3．（10 分）淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（　　）A．淘气的剪法利用率高 B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样 D．无法判断 【分析】要求两个人的利用率情况，因为淘气是用正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），假设正方形的边长是 9 厘米，则能求出圆的面积，进而再比较即可．【解答】解：设正方形的边长是 9 厘米，则正方形的面积是：9×9＝81（平方厘米）淘气：圆的半径是 9÷2＝4.5（厘米）用的材料的面积是 3.14×4.52＝3.14×20.25＝63.585（平方厘米）；63.585÷81＝0.785＝78.5%；笑笑：大圆的直径是 9 厘米，小圆的半径是 9÷3÷2＝1.5（厘米），3.14×1.52×7＝3.14×2.25×7＝49.455（平方厘米）；49.455÷63.585≈0.778＝77.8%；78.5%＞77.8%．答：淘气的利用率高．故选：A．4．（10 分）小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了 4 分钟，他特意在上午 10点时对好了表．当小华按照自己的表于下午 2 点到少年宫时，实际早到了（　　）分钟．A．14 B．15 C．16 D．17【分析】首先分析是快慢钟的问题，根据路程之间是成比例即可求解．【解答】解：依题意可知：上午十点对号表，标准钟每小时走 60 格，小华的表快 4 分是 64 格．路程比例为 15：16．当小华的表为下午 2 点时，小华的表走了 4 圈共 240 格．根据比例关系设标准钟走的路程为x则有：15：16＝x：240，解x＝225．240﹣225＝15（分）故选：B．5．（10 分）甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是 72 岁，几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁，又知道，当甲是 19 岁的时候，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁），如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（　　）种情况．A．4 B．6 C．8 D．10【分析】已知四个人今年的年龄之和是 72 岁，几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁，当甲是 19 岁时，则乙 13 岁，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁），因为此时是至少 4 年前，所以 4 个人的年龄和不超过 72﹣4×4＝56（岁），设此时丁的年龄是x岁，丙的年龄是 3x岁，则19+13+x+3x≤56，解得x≤6，又知道x≥1，所以丁的年龄有 6 种情况，如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，所以今年甲的年龄可以有 6 种情况．【解答】解：至少一年前，甲是 22 岁时，乙是 16 岁，当甲是 19 岁时，则乙 13 岁，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁）， 因为此时是至少 4 年前，所以 4 个人的年龄和不超过 72﹣4×4＝56（岁），设此时丁的年龄是x岁，丙的年龄是 3x岁，则 19+13+x+3x≤56 4x+32≤56 4x≤24 x≤6又知道x≥1，所以丁的年龄有 6 种情况，由于甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，所以今年甲的年龄可以有 6 种情况．故选：B．6．（10 分）有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数”乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数”丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数”丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数”已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（　　）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】如果甲是真的，则甲的卡片为 5 和 2，乙无论是哪张卡片，一定是真的，如果丙是真的，则丙的卡片为 5 和 0，如果丁是真的，则丁的卡片为 0 和 3，通过观察可以发现丙与甲两个人均矛盾个，不难找到说谎的人．【解答】解：根据分析，如果甲是真的，则甲的卡片为 5 和 2；乙无论是哪张卡片，一定是真的；如果丙是真的，则丙的卡片为 5 和 0；如果丁是真的，则丁的卡片为 0 和 3；通过观察可以发现丙与甲和丁两个人均矛盾，故说谎的人是丙．故选：C．二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分．）7．（10 分）算式 1007× ÷19 的计算结果是　 4 　 ．【分析】先把上面的带分数化成假分数，把 1007 分成 19×53，然后再进行约分和运算【解答】解：根据分析＝＝＝＝19×＝1×4＝4故答案为：4 8．（10 分）海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有　 253 　 个．【分析】还原问题需要画出倒推图，发现每一次都是除以 4 余数是 1 的数，那么考虑凑成整数倍先给三个．发现了数字规律第四只猴子满足是 4 的倍数，3 猴是 16 的倍数，依此类推即可求解．【解答】解：至少有多少个，就从最少的开始分析，每一次猴子来的时候的数字都是除以 4 余数是 1 的．从四猴开始倒推．每一次拿走 ，剩余的是 ．余数都是 1．那么我在第四只猴子来的时候先考虑给他 3 个凑成 4的整数倍．第三只猴子的总数比原来也多 3 个也是 4 的整数倍，那么要求第三只猴子来的时候要求是 4×4＝16 的整数倍．第二只猴子的总数比原来也是多 3 个，也构成 4 的整数倍．那么要求第二只猴子来的时候要求是4×4×4＝64 的整数倍．第一只猴子的总数也比原来多 3 个同样是 4 的整数倍．那么要求第二只猴子来的时候要求是4×4×4×4＝256 的整数倍．因为要求原来至少是 256﹣3＝253 个故答案为：2539．（10 分）甲、乙二人同时从A地出发匀速走向B地，与此同时从B地出发匀速走向A地．出发后 20分钟甲与丙相遇，相遇后立即调头后 10 分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B地．结果当甲走到B地时，乙恰走过A、B两地中点 105 米，而丙离A地还有 315 米．甲的速度是乙的速度的　 3 　 倍，A、B两地间的路程是　 1890 　 米．【分析】（1）30 分钟之内，甲向前走了 2 份路程，又向后走了 1 份路程，一共走了 3 份路程，而乙只走了 2﹣1＝1（份）路程；然后根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，速度的比等于它们行驶的路程的比，求出甲的速度是乙的速度的多少倍即可；（2）根据甲的速速是乙的速度的 3 倍，当乙走过AB中点 105 米时，如果甲不曾回头，则甲应该共行：3 个半程+315 米；即比一个全程多行 1 个半程+315 米，即甲遇丙回头遇到乙再回来甲丙相遇点的 20 分钟可走 1 个半程+315 米；所以甲与丙相遇时，甲已行了 1 个半程+315 米，而丙行了 1 个半程﹣315 米；后来，甲如果不停留，共行 3 个半程+315 米时，丙行了 2 个半程﹣315 米；甲丙相遇后，甲行了 2 个半程，丙行了 1 个半程；那甲的速度是丙的 2 倍；即甲丙相遇时，甲行了全程的 ，比 1 个半程多 315 米，据此求出A、B两地间的路程即可．【解答】解：（1）甲的速度是乙的速度的：（2+1）÷（2﹣1）＝3（倍）；（2）当乙走过AB终点 105 米时，甲行的路程比比一个全程多行 1 个半程+315 米，甲丙相遇时，甲行了全程的 ，所以A、B两地间的路程是：315＝ ＝1890（米）答：甲的速度是乙的速度的 3 倍，A、B两地间的路程是 1890 米．故答案为：3、1890．10．（10 分）从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含 1 的有　 6 　 种取法；总共有　 5490 　 种取法．【分析】易知要形成等差数列，那么 315 个数中有 314 个公差，公差最小是 1；公差最大是 6，接下来分类讨论即可解决问题．【解答】解：要形成等差数列，那么 315 个数中有 314 个公差，公差最小是 1；公差最大是 6，理由：314×6＝1884＜2014＜314×7＜2205；含有 1 的只有 6 种；公差为 1 的有：2014﹣（315﹣1）＝1700 种；公差为 2 的有：2014﹣（2×314﹣1）+1＝1386 种； 公差为 3 的有：2014﹣（3×314﹣1）+1＝1072 种； 公差为 4 的有：2014﹣（4×314+1）+1＝758 种； 公差为 5 的有：2014﹣（5×314+1）+1？444 种；公差为 6 的有：2014﹣（6×314+1）+1＝130 种； 共有 1700+1386+1072+758+444+130＝5490 种．故答案为 6，5490声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:38；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800