第 35 讲 容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对 n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质 a 分类与性质 b 分类（如图），那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。二、精讲精练：例 1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。练 习 一1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有 54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例 2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？练 习 二1、五（1）班有 40 个学生，其中 25 人参加数学小组，23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有 55 名学生，订阅《小学生数学报》的有 32 人，订阅《中国少年报》的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？例 3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 27 人，如果两科都没有参加的有25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练 习 三1、一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人。两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的有 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人？例 4：在 1 到 100 的自然数中，既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？练 习 四1、在 1 到 200 的全部自然数中，既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数有多少个？2、在 1 到 130 的全部自然数中，既不是 6 的倍数又不是 5 的倍数的数有多少个？例 5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有 24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？练 习 五1、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32 件。其他年级参展的作品共有多少件？2、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25 幅画不是三年级的，有 19 幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有 8 幅。其他年级参展的画共有多少幅？NabNbNa 三、课后作业1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？2、某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？3、三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算，这个班共有多少人？4、五（1）班做广播操，全班排成 4 行，每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第 5 个，从后面数第 8 个。这个班共有多少个学生？5、实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有 28 幅不是五年级的，有 24 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少 4 幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？