2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组一试）一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）小林做下面的计算：M÷37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数．小林得到的结果是 9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是　 　．2．（10 分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔 1 分钟向前跳 36 米，每跳 3 分钟就原地玩耍，第 1 次玩耍 0.5 分钟，第 2 次玩耍 1 分钟，第 3 次玩耍 1.5 分钟，…，第k次玩耍 0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园 3 分 20 秒，A地到森林游乐园有 2640 米，则小龟 1 分钟爬行　 　米．3．（10 分）a1，a2，a3，…，an是满足 0＜a1＜a2＜a3…＜an的自然数，且 ＝ + + +…+ ，那么n的最小值是　 　．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）长方形O1O2BA的宽AO1＝1 厘米，分别以O1与O2为圆心，1 厘米为半径画圆O1和圆O2，交线段O1O2于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？5．（10 分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，ACPA′C′，且三对平行线的距离都是 1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值．6．（10 分）n张纸片，每张都写有不大于n的 3 个不同正整数，任意 2 张纸片恰有一个数是相同的，求纸片上所有写的数的和．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组一试）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）小林做下面的计算：M÷37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数．小林得到的结果是 9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是　 9.648649 　 ．【分析】根据题意可设 ＝9+ （m≤36），而 ， ×m≤ ×36＝，所以 是循环节为 3 的纯循环小数，小林得到的结果是 9.684469，是四舍五入后保留的结果，所以是 2 个循环节，三位数相同，这个循环节应是由 6、4、8 组成的，因小数各位的数字也没有错，所以最后的一位 9，是由第七位五入得到的，所以循环节的第一位应是大于或等于 5 的数，第三位是8，所以这个循环节是 648，据此解答． 【解答】解：根据题意可设 ＝9+ （m≤36），×m≤ ×36＝ ，所以 是循环节由 3 个数组成的纯循环小数0.684469 是 7 位小数四舍五入的结果，因此是 2 个循环节，它的最后一位是循环节的第 3 位加 1得到的，所以循环节的第一位是 6，循环节的正确排序是 0.所以正确的计算结果是 9.648649．故答案为：9.648649．2．（10 分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔 1 分钟向前跳 36 米，每跳 3 分钟就原地玩耍，第 1 次玩耍 0.5 分钟，第 2 次玩耍 1 分钟，第 3 次玩耍 1.5 分钟，…，第k次玩耍 0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园 3 分 20 秒，A地到森林游乐园有 2640 米，则小龟 1 分钟爬行　 12 　 米．【分析】首先分析兔子不休息时用时多少，再找出休息的次数，求出对应的时间做差即是乌龟的时间．即可求解．【解答】解：依题意可知：小兔子不休息需要 2640÷36＝73 ．24×3＝72 证明兔子休息了 24 次．24 次休息的时间成等差数列．0.5，1，…，12．那么休息时间是 0.5+1+1.5+2+…+12＝150（分钟）兔子的总时间为：150+73+ ＝223 ．乌龟的时间是 223 ﹣3 ＝220（分）乌龟的速度为：2640÷220＝12（米/分）故答案为：123．（10 分）a1，a2，a3，…，an是满足 0＜a1＜a2＜a3…＜an的自然数，且 ＝ + + +…+ ，那么n的最小值是　 4 　 ．【分析】要使n最小，就是使项数最小，则要使每一项都尽量小．0＜a1＜a2＜a3…＜an，告诉我们没有任何两项的分母相同，为了便于表述，不妨设 ＜1，令a1＝2，则 + +…+ ＝ ﹣＝ ＞ ，令a2＝3，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，令a3＝11，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ，所以a4＝231．所以，n最小值是 4． 【解答】解：设 ＜1，令a1＝2，则 + +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，令a2＝3，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，令a3＝11，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ，所以a4＝231．所以，n最小值是 4．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）长方形O1O2BA的宽AO1＝1 厘米，分别以O1与O2为圆心，1 厘米为半径画圆O1和圆O2，交线段O1O2于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？【分析】按题意，可以过D作DE⊥AB于E，易知AE＝O1D＝O2C，△AED与△BCO2的面积相等，可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO2D的面积，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如图，过D作DE⊥AB于E，易知AE＝O1D＝O2C，△AED与△BCO2的面积相等，可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO2D的面积＝1×1＝1（平方厘米）．故答案是：15．（10 分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，ACPA′C′，且三对平行线的距离都是 1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值．【分析】设该点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1，连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面积和为 24，于 是有 5+3b+4a＝24 可得b＝ ，a+b+1＝ 然后再分情况进行讨论．【解答】解：设设点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1（1），连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面积和为 24，于是有 5+3b+4a＝24 可得b＝ ，a+b+1＝ 然后再分情况进行讨论．当a＝1 时，a+b+1＝7，取得最大值 7；若点P在B′C′边上，则同样方法可得a+c+＝ ＜7．若点P在A′B′边上，则同样方法可得b+c+1＝b+5，而易得b最大是 5，所以此时距离和的最大值也是 7．综上，三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是 7；答：三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是 7．6．（10 分）n张纸片，每张都写有不大于n的 3 个不同正整数，任意 2 张纸片恰有一个数是相同的，求纸片上所有写的数的和．【分析】由题意，每个数字都是出现了 3 次，n≥2k+1＝7，再分析出n＝7，此时，7 张牌上的数字是 1﹣7，各出现 3 次，数字和为 84．【解答】解：设a是出现最多的数字．一共有k张，则这k张纸片一共写有 2k+1 个不同的数字，因为每个数都不大于n，所以 2k+1≤n．因此，k＜n，所以，至少还有一张纸片没写上a．这张没写a的纸片与前面 k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同，这些数字彼此不同，而且这个数不是a．但是这张纸片上只有三个不同的数字，所以，k＝3．因此，n≥2k+1＝7．另外，n张纸片写有 3n个数，同 一个数最多写 3 次，所以，1，2，…n 每个数都写了 3 次．如果n＞7，三张写有 1 的纸片上有 7 个不同的数，由于 n＞7，所以，还有一 个数不出现在这三张纸片上，记为 b．写有b的纸片上有 3 个数，这张纸片与写有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字，这个数字不是 1，也不是b．但是写有b的纸片上，除了b外，还只有 2 个数字，不可能与写有 1 的三张纸片每张都有一个相同的数字．所以n＝7． 每个数恰在三张纸片上出现，所有写的数的和为3×（1+2+…+7）＝3×28＝84．下面是一个实例：1，2，3；1，4，5；1，6，7；2，4，6；2，5，7；3，4，7；3，5，6．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:12；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800