2013 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）一、填空题（共 4 小题，每小题 8 分，满分 32 分）1．（8 分）计算：2013÷（25×52﹣46×15）×10＝　 　．2．（8 分）小明碰到了三个人，其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子．牧师只说真话，骗子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话．第一位说：“我是疯子．”第二位说：“你胡说，你才不是疯子呢！”第三位说：“别说了，我是疯子．”一那么．这三个人中第　 　位是疯子．3．（8 分）红色礼盒 5 元 1 个，内有陀螺 3 个；黄色礼盒 9 元 1 个，内有陀螺 5 个，蕾蕾用 600 元买了72 礼盒，这些礼盒打开后可以得到　 　个陀螺．4．（8 分）将 1﹣9 填入 3×3 的表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面的数比上面的数大，其中 1，4，9 已经填好，那么其余 6 个整数有　 　种不同的填法．二、填空题（共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分）5．（10 分）如图 1，“L”形的宽度为 3 厘米．将 4 个这样的“L”形贴放在九宫格的 4 个角上，形成的图形如图 2．如果 4 个“L”形的面积之和恰好等于图 2 中阴影部分的面积，那么，1 个“L”形的面积是　 　平方厘米．6．（10 分）宴会邀请来了 44 位嘉宾，会场里有 15 张相同的正方形桌子，每张每边能坐 1 人，经适当“拼桌”（将几张正方形拼一张长方形或正方形桌子）后，恰好让所有嘉宾全部入座而且没有空位．那么最后会场里最少有　 　张桌子．7．（10 分）甲乙丙丁都参加了 100 米短跑决赛．在比赛前，他们如下预测；甲预测：“如果丙是第 4，那么我就是第 2．”乙预测：“如果甲是第 2，那我就是第 1．”丙预测：“甲乙两人的比赛成绩要么都高于我，要么都低于我．”丁预测：“甲乙两人的比赛成绩肯定一人比我高，而另一人比我低．”比赛结束，他们获得了这项比赛的前 4 名（无并列），且每人都预测正确． 如果甲、乙、内、丁分别获得第A、B、C、D名，那么四位数 ＝　 　．8．（10 分）《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这 5 本书的页数各不相同：《诗》和《书》相差 24 页．《书》和《礼》相差 17 页．《礼》和《易》》相差 27 页．《易》和《春秋》相差 19页．《春秋》和《诗》相差 15 页．那么，这 5 本书中，页数最多的和页数最少的相差　 　页．三、填空题（共 3 小题，每小题 12 分，满分 36 分）9．（12 分）甲乙丙丁四人共有 251 张邮票，已知甲的邮票比乙的 2 倍多 2 张，比丙的 3 倍多 6 张，比丁得 4 倍少 16 张，那么丁有　 　张邮票．10．（12 分）图 1 的 3×3 表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格子恰好进过一次．（例如图 2 中，从 7 经过 8 可以走到 5，并且图 2 中箭头走向是一种正确走法）请在图 1 中找出正确的走法．若图 1中正确走法的前 3 个格子所填数依次为A，B，C，那么三位数 ＝　 　． 11．（12 分）欢欢、迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张，桌子上还有一些卡片． 他们 3 人进行了如下操作：第一次：欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来 1 张卡片；第二次：妮妮从桌子上拿了 2 张卡片，并让欢欢和迎迎中，卡片数较少的人拿走卡片数较多的人一张卡片；第三次：迎迎从桌子上拿了 4 张卡片，如果手上卡片数是偶数，则将手中的一半卡片交给欢欢和妮妮中卡片数较少的那个人；如果是奇数，则游戏终止． 我们把上述三次操作称为“一轮操作”．如果他们顺利地进行了 50 轮操作，而没有出现游戏终止的情况．此时他们手中卡片数按妮妮、欢欢、迎迎的顺序成等差数列．那么，原来欢欢有　 　张卡片．2013 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（共 4 小题，每小题 8 分，满分 32 分）1．（8 分）计算：2013÷（25×52﹣46×15）×10＝　 33 　 ．【解答】解：2013÷（25×52﹣46×15）×10＝2013÷（5×2×5×26﹣23×2×3×5）×10＝2013÷（10×5×26﹣23×3×10）×10＝2013÷（5×26﹣23×3）＝2013÷（130﹣69）＝2013÷61＝33；故答案为：33．2．（8 分）小明碰到了三个人，其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子．牧师只说真话，骗子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话．第一位说：“我是疯子．”第二位说：“你胡说，你才不是疯子呢！”第三位说：“别说了，我是疯子．”一那么．这三个人中第　 3 　 位是疯子．【解答】解：根据分析，（1）假设第一位是疯子，则第二位是骗子，第三位也是骗子，矛盾；（2）假设第二位是疯子，则第一位是骗子，第三位也是骗子，矛盾；（3）假设第三位是疯子，则第一位是骗子，第二位是牧师，成立，所以第三位是疯子．故答案是：3．3．（8 分）红色礼盒 5 元 1 个，内有陀螺 3 个；黄色礼盒 9 元 1 个，内有陀螺 5 个，蕾蕾用 600 元买了72 礼盒，这些礼盒打开后可以得到　 336 　 个陀螺．【解答】解：依题意可知：假设都是黄色礼盒．需 72×9＝648 元．所以红色礼盒有（648﹣600）÷（9﹣5）＝12（个）；所以共有陀螺 3×12+（72﹣12）×5＝336（个）；故答案为：3364．（8 分）将 1﹣9 填入 3×3 的表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面的数比上面的数大，其中 1，4，9 已经填好，那么其余 6 个整数有　 12 　 种不同的填法．【解答】解：2 或 3 只能填在左上角的 4 个格子中， 还剩下 4 个数，任意选两个填入左下角，小的填在左侧，剩下的两个填在右上角，大的填在下面，即可完成．有 ＝6 种填法，所以根据乘法原理，共有 2×6＝12 种填法．故答案为 12．二、填空题（共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分）5．（10 分）如图 1，“L”形的宽度为 3 厘米．将 4 个这样的“L”形贴放在九宫格的 4 个角上，形成的图形如图 2．如果 4 个“L”形的面积之和恰好等于图 2 中阴影部分的面积，那么，1 个“L”形的面积是　 45 　 平方厘米．【解答】解：设图中最小的正方形的边长为a，则 9 个小正方形构成的大正方形的边长为 3a，比小正方形的边长稍大一些的正方形的边长为a+3，4 个L型的面积之和为 4（a+3）2﹣4a2，阴影部分的面积＝5a2，由题意 4（a+3）2﹣4a2＝5a2，∴4（a+3）2＝9a2，∴2（a+3）＝3a，∴a＝6，∴1 个“L”形的面积是（6+3）2﹣62＝45． 故答案为：45．6．（10 分）宴会邀请来了 44 位嘉宾，会场里有 15 张相同的正方形桌子，每张每边能坐 1 人，经适当“拼桌”（将几张正方形拼一张长方形或正方形桌子）后，恰好让所有嘉宾全部入座而且没有空位．那么最后会场里最少有　 7 　 张桌子．【解答】解：15×4＝60（个）减少桌子：（60﹣44）÷2＝16÷2＝8（张）还剩桌子：15﹣8＝7（张）可以如下图：（答案不唯一）答：最后会场里最少有 7 张桌子．故答案为：7．7．（10 分）甲乙丙丁都参加了 100 米短跑决赛．在比赛前，他们如下预测；甲预测：“如果丙是第 4，那么我就是第 2．”乙预测：“如果甲是第 2，那我就是第 1．”丙预测：“甲乙两人的比赛成绩要么都高于我，要么都低于我．”丁预测：“甲乙两人的比赛成绩肯定一人比我高，而另一人比我低．”比赛结束，他们获得了这项比赛的前 4 名（无并列），且每人都预测正确． 如果甲、乙、内、丁分别获得第A、B、C、D名，那么四位数 ＝　 4213 　 ．【解答】解：根据分析，可知丁的名次在甲乙之间，故丁肯定不可能是第一或第四，只有可能是第 2 或第 3；结合丙的话可知，四人的名次只可能是“甲、丁、乙、丙”、“丙、甲、丁、乙”、“乙、丁、甲、丙”、“丙、乙、丁、甲”；用甲乙的话检验，可知，四人名次只能是 4、2、1、3．故答案是：4213．8．（10 分）《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这 5 本书的页数各不相同：《诗》和《书》相差 24 页．《书》和《礼》相差 17 页．《礼》和《易》》相差 27 页．《易》和《春秋》相差 19页．《春秋》和《诗》相差 15 页．那么，这 5 本书中，页数最多的和页数最少的相差　 34 　 页．【解答】解：设《诗》有a页，则：a□24□17□27□19＝a□15易知：a+24﹣17+27﹣19＝a+15所以：《书》＝a+24，《礼》＝a+24﹣17＝a+7，《易》＝a+7+27＝a+34所以差别最大的是：《诗》和《易》是 34 页．故答案为：34．三、填空题（共 3 小题，每小题 12 分，满分 36 分）9．（12 分）甲乙丙丁四人共有 251 张邮票，已知甲的邮票比乙的 2 倍多 2 张，比丙的 3 倍多 6 张，比丁得 4 倍少 16 张，那么丁有　 34 　 张邮票．【解答】解：2 乙+2＝甲；3 丙+6＝甲；4 丁﹣16＝甲；将这三个式子中乙丙丁的系数化成相同，可得：12 乙+12＝6 甲；12 丙+24＝4 甲；12 丁﹣48＝3 甲；由上可得：12 甲+12 乙+12 丙+12 丁＝12 甲+6 甲+3 甲﹣12﹣24+48＝251×12；即 25 甲＝251×12﹣12＝250×12＝3000．甲＝3000÷25＝120（张）丁＝（120+16）÷4＝34（张）答：丁有 34 张邮票．故答案为：34．10．（12 分）图 1 的 3×3 表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格子恰好进过一次．（例如图 2 中，从 7 经过 8 可以走到 5，并且图 2 中箭头走向是一种正确走法）请在图 1 中找出正确的走法．若图 1中正确走法的前 3 个格子所填数依次为A，B，C，那么三位数 ＝　 834 　 ．【解答】解：将所有可能的路径用箭头连接，如图所示，其中 1 只有一条路可以选择，与 1 相邻的 8 只有两条路：①若走 8→3→5 方向，接下来→6→7→2 是唯一的，9 和 4 无法连通；若走 5→3→8 方向，7 和 6 无法连通，因此不能走弯路．②若走直路，那么前面 3 个格就是 834，后面的路不止一种，例如：8→3→4→9→5→1→6→7．故答案为 834．11．（12 分）欢欢、迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张，桌子上还有一些卡片． 他们 3 人进行了如下操作：第一次：欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来 1 张卡片；第二次：妮妮从桌子上拿了 2 张卡片，并让欢欢和迎迎中，卡片数较少的人拿走卡片数较多的人一张卡片；第三次：迎迎从桌子上拿了 4 张卡片，如果手上卡片数是偶数，则将手中的一半卡片交给欢欢和妮妮中卡片数较少的那个人；如果是奇数，则游戏终止． 我们把上述三次操作称为“一轮操作”．如果他们顺利地进行了 50 轮操作，而没有出现游戏终止的情况．此时他们手中卡片数按妮妮、欢欢、迎迎的顺序成等差数列．那么，原来欢欢有　 754 　 张卡片．【解答】解：根据分析，迎迎第一次少一张，第二次可能多 1 张可能少 1 张，第三次多 4 张，但是又少了一半，所以迎迎每轮要损失大约一半的卡片，及时最初手里有 2712 张卡片，在十几轮操作后也会少到个位数，要想持续 50 轮，迎迎的卡片数最后必是一个定值，这个值保证每轮的第三次操作迎迎总有偶数张卡片，考虑此时迎迎肯定比欢欢少，不妨设此时欢欢有a张，迎迎有b张，且a＞b，则一轮操作如下：欢欢 迎迎 妮妮原有a b c第一次a+2b﹣1c﹣1第二次a+1b c+1第三次b÷2+2所以有b＝b÷2+2，b＝4，即迎迎最后手里有 4 张卡片；每轮操作卡片总数增加 2+4＝6 张，所以最后卡片总数为 2712+6×50＝3012 张，欢欢有 3012÷3＝1004 张，所以妮妮有 3012﹣1004＝2004 张；用倒退法可以得到一轮三人的卡片数：欢欢 迎迎 妮妮第三次 1004 4 2004第二次 1000 4 2004第一次 1001 3 2002原有 999 4 2003由表中数据可知，每次欢欢的卡片数多 5，所以欢欢原有卡片 1004﹣5×50＝754 张．故答案是：754．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:07:40；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800