2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 A 卷）一、选择题（每题 10 分，满分 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10 分）2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75＝（　　）A．5 B．6 C．7 D．82．（10 分）2013 年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是 19 的倍数，那么 2013 年小明哥哥的年龄是（　　）岁．A．16 B．18 C．20 D．223．（10 分）一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬，它每向上爬 3 米，因为井壁打滑，就会下滑 1 米，下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一．8 点 17 分时，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（　　）分钟．A．22 B．20 C．17 D．164．（10 分）一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9：7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7：5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（　　）个．A．5 B．6 C．7 D．85．（10 分）图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和AD上，且EF平行于BD．若三角形MDF的面积等于 5 平方厘米，则三角形CEB的面积等于（　　）平方厘米．A．5 B．10 C．15 D．206．（10 分）水池A和B同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向A池注水，18 分钟可将无水的A池注满； 2 号阀门用来从A池向B池放水，24 分钟可将A池中满池水放入B池．若同时打开 1 号和 2 号阀门，那么当A池水深 0.4 米时，B池有（　　）立方米的水．A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．7.2二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）小明、小华、小刚三人分 363 张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿 7 张，小华就要拿 6 张；若小刚拿 8 张，小明就要拿 5 张．最后，小明拿了　 　张；小华拿了　 　张；小刚拿了　 　张．8．（10 分）某公司的工作人员每周都工作 5 天休息 2 天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有 32 人上班，那么该公司至少需要　 　名工作人员．9．（10 分）图中，AB是圆O的直径，长 6 厘米，正方形BCDE的一个顶点E在圆周上，∠ABE＝45°．那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于　 　平方厘米（取 π＝3.14）10．（10 分）圣诞老人有 36 个同样的礼物，分别装在 8 个袋子中．已知 8 个袋子中礼物的个数至少为1 且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有　 　种不同的选择．2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、选择题（每题 10 分，满分 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10 分）2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8【分析】把 2012.25 看作 2010.25+2，2015.75 看作 2013.75+2，原式变为（2010.25+2）×2013.75﹣2010.25×（2013.75+2），进一步计算为 2×2013.75﹣2010.25×2，再运用乘法分配律简算．【解答】解：2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75，＝（2010.25+2）×2013.75﹣2010.25×（2013.75+2），＝2010.25×2013.75+2×2013.75﹣2010.25×2013.75﹣2010.25×2，＝2×2013.75﹣2010.25×2，＝（2013.75﹣2010.25）×2，＝3.5×2，＝7；故选：C．2．（10 分）2013 年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是 19 的倍数，那么 2013 年小明哥哥的年龄是（　　）岁．A．16 B．18 C．20 D．22【分析】从 1990 年～2012 年，年份中都有重复数字，其中是 19 的倍数的数只有 1900+95＝1995，然后用 2013﹣1995，解答即可．【解答】解：从 1990 年～2012 年，年份中都有重复数字，其中是 19 的倍数的数只有 1900+95＝1995，2013﹣1995＝18（岁）；故选：B．3．（10 分）一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬，它每向上爬 3 米，因为井壁打滑，就会下滑 1 米，下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一．8 点 17 分时，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（　　）分钟．A．22 B．20 C．17 D．16【分析】下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的 3 倍；爬 1 米和滑 1 米的时间相同，以爬 3 米，滑 1 米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口 3 米之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，此时，青蛙爬的路程为（3+1）×4+1＝17 米，即 4 个周期加 1 米，用时 17 分钟，所以青蛙每爬 1m或滑 1m所用时间为 1 分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过 5 个周期，再爬 2m，用时 5×（3+1）+2；解答即可．【解答】解：以爬 3 米，滑一米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口 3 米之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，此时，青蛙爬了 4 个周期加 1 米，用时 17 分钟，所以青蛙每爬 1m或滑 1m所用时间为 1 分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过 5 个周期，再爬 2m，用时 5×（3+1）+2＝22 分钟；故选：A．4．（10 分）一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9：7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7：5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（　　）个．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】我们运用比例进行解答，设白子有x个，黑子是x+1．用黑子的个数与白子的个数减去 1 个的比是 7：5，列方程进行解答即可．【解答】解：设白子有x个，黑子是x+1．（x+1）：（x﹣1）＝7：5， x×5+5＝7x﹣7， 6x+5＝7x﹣7， x＝12， x× ＝12× ， x＝21；黑子的个数：x＝ 21+1＝28；28﹣21＝7（个）；故选：C．5．（10 分）图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和AD上，且EF平行于BD．若三角形MDF的面积等于 5 平方厘米，则三角形CEB的面积等于（　　）平方厘米．A．5 B．10 C．15 D．20【分析】连接FC，DE，FB，在梯形FBCD中，有S△FDB和S△FDC等底等高，所以面积相等；在梯形EBCD中，有S△EDB和S△EBC等底等高，所以面积相等；在梯形FEBD中，有S△FDB和S△EDB等底等高，所以面积相等；所以可得S△FDC＝S△EBC，又因为M是DC的中点，根据高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质，所以S△EBC＝2×5＝10cm2．【解答】解：如图，连接FC，DE，FB，在梯形FBCD中，有S△FDB＝S△FDC，在梯形EBCD中，有S△EDB＝S△EBC，在梯形FEBD中，有S△FDB＝S△EDB，所以S△FDC＝S△EBC，因为M是DC的中点，所以S△EBC＝2×5＝10（平方厘米）．则S△EBC＝10 平方厘米，答：三角形EBC的面积是 10 平方厘米．故选：B．6．（10 分）水池A和B同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向A池注水，18 分钟可将无水的A池注满； 2 号阀门用来从A池向B池放水，24 分钟可将A池中满池水放入B池．若同时打开 1 号和 2 号阀门，那么当A池水深 0.4 米时，B池有（　　）立方米的水．A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．7.2【分析】根据题意，设水池A和B的容积为“1”，1 号阀门A池每分钟进水效率 ，2 号阀门B池每分钟进水效率 ，A池每分钟放水效率也是 ，同时打开 1 号和 2 号阀门，则A池每分钟进水效率为 ，B池每分钟进水效率 ．A池水深 0.4 米，则A池进水 0.4÷1.2＝ ，需要时间 分钟，B池进水 24× ＝1，所以B池有水 3×2×1.2＝7.2m3．【解答】解：设水池A和B的容积为“1”，同时打开 1 号和 2 号阀门，则A池每分钟进水效率为： ，A池水深 0.4 米，则A池进水：0.4÷1.2＝ ，需要时间： 分钟，B池进水：24× ＝1，所以B池有水：3×2×1.2＝7.2（立方米）．故选：D．二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）小明、小华、小刚三人分 363 张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿 7 张，小华就要拿 6 张；若小刚拿 8 张，小明就要拿 5 张．最后，小明拿了　 105 　 张；小华拿了　 90 　 张；小刚拿了　 168 　 张．【分析】根据题意，可知小明的张数：小华的张数＝7：6，小明的张数：小刚的张数＝5：8，进而把这两个比写成连比，即小明的张数：小华的张数：小刚的张数＝（7×5）：（6×5）：（8×7）＝35：30：56；再根据“小明、小华、小刚三人分 363 张卡片”，也即要分配的总量为363，是按照 35：30：56 进行分配的，从而按照比例分配的方法求解．【解答】解：小明的张数：小华的张数：小刚的张数为：（7×5）：（6×5）：（8×7）＝35：30：56，小明拿的张数：363× ＝105（张），小华拿的张数：363× ＝90（张），小明拿的张数：363× ＝168（张）．答：小明拿了 105 张；小华拿了 90 张；小刚拿了 168 张．故答案为：105，90，168．8．（10 分）某公司的工作人员每周都工作 5 天休息 2 天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有 32 人上班，那么该公司至少需要　 45 　 名工作人员．【分析】根据题意，该公司一周总上班人次至少为 32×7＝224（人次），把它看做 224 个元素，而每人每周上 5 次，把它看做 5 个抽屉，考虑最值：224÷5＝44（名）…4 名，所以至少需要 44+1＝45 人．【解答】解：根据题干分析可得：32×7÷5＝44（名）…4 名，44+1＝45（名），答：那么该公司至少需要 45 名工作人员．故答案为：45．9．（10 分）图中，AB是圆O的直径，长 6 厘米，正方形BCDE的一个顶点E在圆周上，∠ABE＝45°．那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于　 10.26 　 平方厘米（取 π＝3.14）【分析】连接EO，圆O中非阴影部分的面积﹣正方形BCDE中非阴影部分面积＝（圆O中非阴影部分的面积+阴影部分面积）﹣（正方形BCDE中非阴影部分面积+阴影部分面积）＝S圆﹣S正．然后， 根据，∠ABE＝45°可得正方形的边长等于圆的半径，进而推导出BE2＝r2＝（6÷2）2×2，再根据前面的关系式代入数据解答即可．【解答】解：如图，连接EO，S正＝EB×EB＝EO2+BO2＝（6÷2）2×2＝18cm2所以圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差：π×（6÷2）2﹣18＝10.26（平方厘米）；答：圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于 10.26 平方厘米．故答案为：10.26．10．（10 分）圣诞老人有 36 个同样的礼物，分别装在 8 个袋子中．已知 8 个袋子中礼物的个数至少为1 且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有　 31 　 种不同的选择．【分析】36 个同样的礼物装在 8 个袋子中，每个袋子礼物的个数至少为 1 且各不相同，而1+2+3+…+8＝（1+8）×8÷2＝36，明确 8 个袋子分别装的礼物数是 1～8．根据题意要求选出袋子里装的礼物数为 8 的倍数，分情况枚举即可．【解答】解：如果每人分 1 个礼物：8＝＜8＝1+7＝2+6＝3+5＝1+2+5＝1+3+4，6 种；如果每人分 2 个礼物：16＝1+7+8＝2+6+8＝3+5+8＝3+6+7＝4+5+7＝1+2+5+8＝1+2+6+7＝1+3+4+8＝1+3+5+7＝1+4+5+6＝2+3+4+7＝2+3+5+6＝1+2+3+4+6，共 13 种；如果每人分 3 个礼物，拆分 24，与拆分 36﹣24＝12 是一样的．12＝4+8＝5+7＝1+3+8＝1+4+7＝1+5+6＝2+3+7＝2+4+6＝3+4+5＝1+2+3+6＝1+2+4+5，共 10 种；如果每人分 4 个礼物，同理拆分 36﹣32＝44＝4＝1+3，共 2 种；所以，共有 6+13+10+2＝31 种不同的选择．故答案为：31．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:56:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800