A B E C M D F A B E C M D F 总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题 A（小学高年级组）（时间 2013 年 3 月 23 日 10：00～11：00）一、选择题（每题 10 分，满分 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。）1． 2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（ ）。A．5 B．6 C．7 D．8 解析：巧算问题原式=（2010.25+2）×（2015.75-2）－2010.25×2015.75 =2015.75×2－2010.25×2－4 =7答案为 C。2． 2013 年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份。已知小明哥哥出生的年份是 19 的倍数, 那么 2013 年小明哥哥的年龄是（ ）岁。A．16 B．18 C．20 D．22 解析：简单数论。从 1990 年～2012 年，年份中都有重复数字，其中是 19 的倍数的数只有 1900+95=1995，2012—1995=18（岁），所以选 B。3．一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬, 它每向上爬 3 米, 因为井壁打滑, 就会下滑 1 米, 下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一。8 点 17 分时, 青蛙第二次爬至离井口 3 米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟。A．22 B．20 C．17 D．16解析：周期问题。下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三；爬一米和滑一米的时间相同，以爬三米，滑一米为一个周期；（3-1）×3+3=9m,青蛙第一次爬至离井口 3 米之处，（3-1）×4+1=9m，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，此时，青蛙爬了 4 个周期加 1 米，用时 17 分钟，所以青蛙每爬 1m 或滑 1m 所用时间为 1 分钟。（12—3）÷（3-1）=4…1，青蛙从井底爬到井口经过 5 个周期，再爬 2m，用时 5×（3+1）+2=22分钟，选 A。4． 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒, 若取出一粒黑子, 则余下的黑子数与白子数之比为9:7, 若放回黑子, 再取出一粒白子, 则余下的黑子数与白子数之比为 7:5, 那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个。A．5 B．6 C．7 D．8 解析：比和比例。关键是找不变量，两次操作剩余棋子的总量不变。取一颗黑子：黑子：白字：剩余棋子和=9:7:16取一颗白子：黑子：白字：剩余棋子和=7:5:12[12，16]=489:7:16=27:21:48，7:5:12=28:20:48，所以原来有黑棋子 28 颗，白棋子 21 颗，所以黑子数比白子数多 28-21=7 颗。选 C。5．右图ABCD是平行四边形, M是DC的中点, E和F分别位于AB和AD上, 且EF平行于BD。若三角形MDF的面积等于 5 平 方厘米, 则三角形CEB的面积等于（ ）平方厘米。A．5 B．10 C．15 D．20 解析：面积问题，梯形的蝶形翅膀如图：连接 FC,DE,FB,在梯形 FBCD 中，有 S△FDB=S△FDC,在梯形 EBCD 中，有 S△EDB=S△EBC, A O B C D E A O B C D E 在梯形 FEBD 中，有 S△FDB=S△EDB,所以 S△FDC= S△EBC，因为 M 是 DC 的中点，所以 S△EBC=2×5=10cm2。答案为 B。6．水池 A 和 B 同为长 3 米, 宽 2 米, 深 1.2 米的长方体。1 号阀门用来向 A 池注水, 18 分钟可将无水的 A 池注满; 2 号阀门用来从 A 池向 B 池放水, 24 分钟可将 A 池中满池水放入 B 池。若同时打开 1 号和 2 号阀门, 那么当 A 池水深 0.4 米时, B 池有（ ）立方米的水。A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．7.2 解析：进出水工程问题。设水池 A 和 B 的容积为“1”，1 号阀门 A 池每分钟进水效率118，2 号阀门 B 池每分钟进水效率124，A 池每分钟放水效率也是124，同时打开 1 号和 2 号阀门，则 A 池每分钟进水效率为118−124=172，B 池每分钟进水效率124。A 池水深 0.4 米，则 A 池进水 0.4÷1.2= 13，需要时间13÷172=24分钟，B 池进水 24×124=1，所以 B 池有水 3×2×1.2=7.2m3。答案为 D。二、填空题(每小题 10 分, 满分 40 分) 7． 小明、小华、小刚三人分 363 张卡片, 他们决定按年龄比来分。若小明拿 7 张, 小华就要拿 6张；若小刚拿 8 张, 小明就要拿 5 张。最后, 小明拿了________张；小华拿了________张；小刚拿了________张。解析：连比和按比例分配。小明, 小华，小刚拿卡片的张数比为 (7×5):(6×5):(8×7)=35:30:56所以小明拿了 363÷（35+30+56）×35=105 张，小华拿了 363÷（35+30+56）×30=90 张，小明拿了 363÷（35+30+56）×56=168 张。8．某公司的工作人员每周都工作 5 天休息 2 天, 而公司要求每周从周一至周日, 每天都至少有 32人上班, 那么该公司至少需要________名工作人员。解析：最值，抽屉原理问题。根据题意，该公司一周总上班人次至少为 32×7=224（人次），而每人每周上 5 人次，224÷5=44…4，所以至少需要 44+1=45 人。9．右图中, AB是圆O的直径, 长 6 厘米, 正方形BCDE的一 个顶点E在圆周上,∠ABE=45°。那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于________平方厘米（取 π=3.14）解析：图形面积,差不变问题。圆O中非阴影部分的面积-正方形BCDE中非阴影部分面积= （圆O中非阴影部分的面积+阴影部分面积）-（正方形BCDE中非阴影部分面 积+阴影部分面积）=S圆-S正。关键是求正方形的面积，如图，连接 EO，S正=EB×EB=EO2+BO2=(6÷2)2×2=18cm2所以圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面 积的差:π×(6÷2)2-18=10.28cm2.10． 圣诞老人有 36 个同样的礼物, 分别装在 8 个袋子中。已知 8 个袋子中礼物的个数至少为 1 且各不相同。现要从中选出一些袋子, 将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友, 恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）。那么, 共有________种不同的选择。解析：数论问题，整数拆分。做出这个题，需要有点数感，36 个同样的礼物装在 8 个袋子中，每个袋子礼物的个数至少为 1 且各不相同，而 1+2+3+…+8=（1+8）×8÷2=36，明确 8 个袋子分别装的礼物数是 1～8。根据题意要求选出 袋子里装的礼物数为 8 的倍数，分情况枚举即可。如果每人分 1 个礼物：8=8=1+7=2+6=3+5=1+2+5=1+3+4,6 种；如果每人分 2 个礼物：16=1+7+8=2+6+8=3+5+8=4+5+7 =1+2+5+8=1+2+6+7=1+3+4+8=1+3+5+7=1+4+5+6=2+3+4+7=2+3+5+6 =1+2+3+4+6，共 13 种；如果每人分 3 个礼物，拆分 24，与拆分 36-24=12 是一样的。 12=4+8=5+7 =1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5 =1+2+3+6=1+2+4+5，共 10 种；如果每人分 4 个礼物，同理拆分 36-32=4 4=4=1+3，共 2 种；所以，共有 6+13+10+2=31 种不同的选择。本题关键是枚举要有序，不重复不遗漏！