2010 年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试一）一、填空题1．（3 分）下图左图是最近被发现的阿基米得的《胃痛》拼图，将正方形分割成 14 块多边形：专家研究后发现，可以在边长 12cm的正方形上，正确的画出这 14 块拼图，如图所示．问：灰色那块的面积是　 　平方公分．2．（3 分）如图，要在下列 5×5 的方格表中填入A、B、C、D、E五个英文字母，并且要求五个字母在每一行与每一列及对角在线，都只出现一次，则@所表示的英文字母为　 　．3．（3 分）切斯特要从花莲赴彰化鹿港参加华罗庚金杯数学竞赛，爸爸开车出门前看了一下车子的里程表，刚好是一个回文数 69696 公里（回文数：从左到右，或从右到左读到的数字结果都一样）．一连开了 5 个小时到达目的地，到达时里程表又刚好是另一个回文数，在路程中，爸爸开车的时速从未超过 85 公里，请问爸爸开车的平均速度最大值是每小时　 　公里．4．（3 分）有四组数的平均数，其规定如下：（1）从 1 到 100810 的自然数中，所有 11 的倍数之平均数．（2）从 1 到 100810 的自然数中，所有 13 的倍数之平均数．（3）从 1 到 100810 的自然数中，所有 17 的倍数之平均数．（4）从 1 到 100810 的自然数中，所有 19 的倍数之平均数．这四个平均数中，最大的平均数的值是　 　．5．（3 分）有三个最简真分数，其分子的比为 3：2：4，分母的比为 5：9：15．将这三个分数相加，再经过约分后为 ．问：三个分数的分母相加是　 　．6．（3 分）在 为正整数的情形下，n的最大值是　 　．7．（3 分）如图，若将正方形ABCD各边三等分，延长等分点作出新四边形MNPQ，则正方形ABCD的面积：四边形MNPQ的面积＝　 　．8．（3 分）教数学的王老师准备去拜访一位朋友，出发前王老师先和这位朋友通电话，朋友家的电话号码是 27433619，当王老师打完电话之后，发现这个电话号码恰好是 4 个连续质数的乘积．问：这4 个质数的总和是　 　．9．（3 分）下图是一个九宫图，图内文字【华、罗、庚、杯、数、学、精、英、赛】分别表示 1～9 中的九个不同的数字，并且这九个数字符合以下三个条件： （1）每个「田」内四个数的和都相等．（2）华×华＝英×英+赛×赛．（3）数＞学根据上述条件，【华、杯、赛】所代表的三数之乘积为　 　．10．（3 分）下图中，有很多大大小小的三角形，这些三角形有的是单独显现的，有的是合并若干区块才得到的，这些位置不完全相同的三角形共有　 　个．11．（3 分）怡荣号渡轮时速 40 千米，单数日由A地顺流航行到B地，双数日由B地逆流航行到A地．（水速为每小时 24 千米）有一单数日渡轮航行到途中的C地时，失去动力，只能任船漂流到B地，船长计得该日所用的时间为原单数日的 倍．另一双数日渡轮航行到途中的C地时，又失去动力，船在漂流过程中，维修人员全力抢修了 1 小时后船以 2 倍时速前进到A地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差．请问A、B两地的距离为多少千米？12．（3 分）老师用 10 个 1cm×1cm×1cm的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共享．老师拿出一张 3cm×4cm的方格纸（如图②），请小荣将此 10 个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有　 　种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）2010 年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试一）参考答案与试题解析一、填空题1．（3 分）下图左图是最近被发现的阿基米得的《胃痛》拼图，将正方形分割成 14 块多边形：专家研究后发现，可以在边长 12cm的正方形上，正确的画出这 14 块拼图，如图所示．问：灰色那块的面积是　 12 　 平方公分．【分析】根据灰色部分四边形的特点，将图形合理地分割为两个三角形求面积．【解答】解：如图，灰色部分为四边形ABCD，连接BD， 则S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝ ×6×3+ ×3×2＝9+3＝12．故答案为：12．2．（3 分）如图，要在下列 5×5 的方格表中填入A、B、C、D、E五个英文字母，并且要求五个字母在每一行与每一列及对角在线，都只出现一次，则@所表示的英文字母为　 B 　 ．【分析】以坐标来表示数学，已知（1，1）是A，（4，1）是D，（5，1）是E；首先可以确定（3，5）＝E，因为（4，5），（5，5）是C，D，而（1，5），（2，5）不能是E，所以只能是（3，5）是E，这样（1，5），（2，5）只能是C，D，而左下角是D，所以右上角只能是C，即（1，5）＝C，从而（2，5）＝D，进而确定各个位置上的数即可．【解答】解：根据图形中原有各部分的字母的位置，容易确定各部分的具体的字母如下：E，B，D，A，CA，C，E，B，DB，D，A，C，EC，E，B，D，AD，A，C，E，B故@所表示的英文字母为B．故答案为：B．3．（3 分）切斯特要从花莲赴彰化鹿港参加华罗庚金杯数学竞赛，爸爸开车出门前看了一下车子的里程表，刚好是一个回文数 69696 公里（回文数：从左到右，或从右到左读到的数字结果都一样）．一连开了 5 个小时到达目的地，到达时里程表又刚好是另一个回文数，在路程中，爸爸开车的时速从未超过 85 公里，请问爸爸开车的平均速度最大值是每小时　 82.2 　 公里．【分析】要使平均速度最大，则另一个回文数也要最大，因为 69696+85×5＝70121，而小于70121 的最大回文数是 70107，所以，最大平均速度为（70107﹣69696）÷5＝82.2（km）【解答】解：69696+85×5＝70121（公里）70121 的最大回文数是 70107，（70107﹣69696）÷5＝411÷5＝82.2（km）答：爸爸开车的平均速度最大值是每小时 82.2 公里．故答案为：82.2．4．（3 分）有四组数的平均数，其规定如下：（1）从 1 到 100810 的自然数中，所有 11 的倍数之平均数．（2）从 1 到 100810 的自然数中，所有 13 的倍数之平均数．（3）从 1 到 100810 的自然数中，所有 17 的倍数之平均数．（4）从 1 到 100810 的自然数中，所有 19 的倍数之平均数．这四个平均数中，最大的平均数的值是　（ 3 ）　 ． 【分析】因为任意一组数排成一列都是一个等差数列，而等差数列的平均数等于首项和末项的平均数，所以求出首项和末项的平均值即可得出平均数最大的值．【解答】解：因为任意一组数排成一列都是一个等差数列，而等差数列的平均数等于首项和末项的平均数，这四组的首项和末项分别是 11 和 100804，13 和 100802，17 和 100810，19 和 100795，很明显平均数最大的为：（17+100810）÷2＝50413.5．故填：（3）．5．（3 分）有三个最简真分数，其分子的比为 3：2：4，分母的比为 5：9：15．将这三个分数相加，再经过约分后为 ．问：三个分数的分母相加是　 203 　 ．【分析】根据题意，可设这三个最简真分数分别是 、 、 ，其中a、b互质，然后求得a、b的值；最后将其代入三个最简真分数的分母求得每一个分母．【解答】解：根据题意，设这三个最简真分数分别是 、 、 ，其中a、b互质．∵ + + ＝ ＝ ，∴a＝4、b＝7．∴三个分数的分母相加是 7×（5+9+15）＝203．故答案为：203．6．（3 分）在 为正整数的情形下，n的最大值是　 150 　 ．【分析】此题可将 810 分解质因数，得到 810＝2×3×3×3×3×5，再找一找分子中各数含有的810 的质因数的倍数即可解答．【解答】解：∵810＝2×3×3×3×3×5，811﹣﹣2010 共有 1200 个数，含有约数 2 的有 600 个，5 的 240 个，3 的有 400 个，9 的有 133 个，27 的有 44 个，81 的有 14 个，243 的有 5 个，729 的有 1 个，含有约数 3 共有（400+133+44+14+5+1）＝597 个，597÷4＝149…3，149+1＝150．故答案为：150．7．（3 分）如图，若将正方形ABCD各边三等分，延长等分点作出新四边形MNPQ，则正方形ABCD的面积：四边形MNPQ的面积＝　 9 ： 8 　 ．【分析】根据勾股定理可以计算EF与AE的值，根据MN＝3EF，AD＝3AE即可计算MN与AD的比值，即可计算正方形MQPN与正方形ABCD的比值．【解答】解：设AD＝3．则AE＝AF＝EH＝1，根据EF＝ ＝ ，ME＝MH＝EH•cos45°＝ ，同理：NF＝ ，∴MN＝ME+EF+NF＝2 ， ∴正方形MQPN的面积为 ＝8，正方形ABCD的面积为 32＝9，正方形ABCD的面积：正方形MQPN的面积＝9：8．故答案为：9：8．8．（3 分）教数学的王老师准备去拜访一位朋友，出发前王老师先和这位朋友通电话，朋友家的电话号码是 27433619，当王老师打完电话之后，发现这个电话号码恰好是 4 个连续质数的乘积．问：这4 个质数的总和是　 290 　 ．【分析】根据 27433619 是四个连续质数的积，求出四个连续质数，再求出四个连续质数的和．【解答】解：通过试解，2，3，5，7…61 等质数，不是 27433619 的因式，最小的质数因数为 67，27433619÷67＝409457，则四个连续质数为 67，71，73，79．其和为 67+71+73+79＝290．故答案为：290．9．（3 分）下图是一个九宫图，图内文字【华、罗、庚、杯、数、学、精、英、赛】分别表示 1～9 中的九个不同的数字，并且这九个数字符合以下三个条件：（1）每个「田」内四个数的和都相等．（2）华×华＝英×英+赛×赛．（3）数＞学根据上述条件，【华、杯、赛】所代表的三数之乘积为　 120 　 ．【分析】根据题中的 3 个条件，逐一分类讨论，确定华，杯，赛三个数字的值，从而得出三数之积即可．【解答】解：根据图内文字华、罗、庚、杯、数、学、精、英、赛分别表示 1～9 中的九个不同的数字，52＝32+42，根据条件（2）可得，华为 5，英，赛为 3，4 或 4，3；（1）当英为 3，赛为 4 时，由条件（1）罗+庚＝7，又 5+罗＝3+精，可得罗只能为 6，庚为 1，精为 8，所以 8+杯＝4+学，无解，不符合题意，因此英为 4，赛为 3；（2）由于由条件（1）罗+庚＝7，此时，罗，庚只能为 1，6 或 6，1，①当罗为 6，庚为 1 时，由条件（1）5+6＝4+精，杯+精＝3+学，此时精为 7，杯比学大 4，不符合题意．②当罗为 1，庚为 6，由条件（1）5+杯＝6+学，杯+精＝学+3，可得：精＝2，杯比学大 1，又由条件（3）数＞学，可得学为 7，杯为 8，数为 9，符合题意．所以华为 5，杯为 8，赛为 3， 因此华、杯、赛所代表的三数之乘积为：5×8×3＝120．故答案为：120．10．（3 分）下图中，有很多大大小小的三角形，这些三角形有的是单独显现的，有的是合并若干区块才得到的，这些位置不完全相同的三角形共有　 42 　 个．【分析】本题就是找出图形中有多少个三角形，根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．【解答】解：以AD为边的三角形有：△ADQ，△ADI，△ADB；以CD为边的三角形有：△CDB，△CDM；以AC为边的三角形有：△ACP，△ACH，△ACE，△ACB，△ACG，△ACF，△ACE；以AE为边的三角形有：△AEH，△AEP，△AEC；以BE为边的三角形有：△BEC；以AB为边的三角形有：△ABI，△ABF，△ABG，△ABD以BF为边的三角形有：△BFI，△BFA；以BG为边的三角形有：△BGA以CG为边的三角形有：△CGP，△CGA；以BG为边的三角形有：△BGQ，△BGA以CF为边的三角形有：△CFH，△CFA以BC为边的三角形有：△BCM，△BCE，△BCD以AQ为边的三角形有：△AQD，△AQI，△AQB以AP为边的三角形有：△APC，△APH，△APE以PG为边的三角形有：△PGC以PQ为边的三角形有：△PQM以QG为边的三角形有：△QGB以MH为边的三角形有：△MHI；三角形共有 42 个．故答案为：42．11．（3 分）怡荣号渡轮时速 40 千米，单数日由A地顺流航行到B地，双数日由B地逆流航行到A地．（水速为每小时 24 千米）有一单数日渡轮航行到途中的C地时，失去动力，只能任船漂流到B地，船长计得该日所用的时间为原单数日的 倍．另一双数日渡轮航行到途中的C地时，又失去动力，船在漂流过程中，维修人员全力抢修了 1 小时后船以 2 倍时速前进到A地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差．请问A、B两地的距离为多少千米？【分析】两个等量关系为：A、C两地的距离顺流行驶需要的时间+B、C两地的距离顺流漂流需要的时间＝A、B两地的距离顺流行驶需要的时间× ；B、C两地的距离逆流行驶需要的时间+抢修的时间+（A、C两地的距离+24 千米）逆流需要的时间＝A、B两地的距离逆流行驶需要的时间，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设A、B两地的距离为x千米，A、C两地的距离为y千米，得 则 解得答：A、B两地的距离为 192 千米．12．（3 分）老师用 10 个 1cm×1cm×1cm的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共享．老师拿出一张 3cm×4cm的方格纸（如图②），请小荣将此 10 个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有　 16 　 种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是 3 个正方形、1 个正方形、1 个正方形；②从左往右依次是 3 个正方形、1 个正方形、2 个正方形；③从左往右依次是 3 个正方形、2 个正方形、1 个正方形；④从左往右依次是 3 个正方形、2 个正方形、2 个正方形；⑤从左往右依次是 2 个正方形、3 个正方形、1 个正方形；⑥从左往右依次是 2 个正方形、3 个正方形、2 个正方形；⑦从左往右依次是 2 个正方形、1 个正方形、3 个正方形；⑧从左往右依次是 2 个正方形、2 个正方形、3 个正方形；⑨从左往右依次是 1 个正方形、3 个正方形、1 个正方形；⑩从左往右依次是 1 个正方形、3个正方形、2 个正方形；（11）从左往右依次是 1 个正方形、1 个正方形、3 个正方形；（12）从左往右依次是 1 个正方形、2 个正方形、3 个正方形；（13）从左往右依次是 3 个正方形、1 个正方形；（14）从左往右依次是 3 个正方形、2 个正方形； （15）从左往右依次是 2 个正方形、3 个正方形；（16）从左往右依次是 1 个正方形、3 个正方形；由此得出答案即可．【解答】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有 3 个正方形，有两到三排．三排的左视图有：3×4＝12 种；两排的左视图有：2×2＝4 种；共 12+4＝16 种．故答案为：16．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:03；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800