2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组a卷)
发布时间:2025-03-20 09:03:29浏览次数:142016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组 A 卷)一、填空题(每小题 10 分,共 80 分)1.(10 分)计算:(98×76﹣679×8)÷(24×6+25×25×3﹣3)= .2.(10 分)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中□+□>□+□,有 种不同的填法使式子成立.(提示:1+5>2+3 和 5+1>2+3 是不同的填法)3.(10 分)将图中左边的大三角形纸板剪 3 刀,得到 4 个大小相同的小三角形纸板(第一次操作),见图中间,再将每个小三角形纸板剪 3 刀,得到 16 个大小相同的更小的三角形纸板(第二次操作),见图右边,这样继续操作下去,完成前六次操作共剪了 刀.4.(10 分)一个两位数与 109 的乘积为四位数,它能被 23 整除且商是一位数,这个两位数最大等于.5.(10 分)图中的网格是由 6 个相同的小正方形构成,将其中 4 个小正方形涂上灰色,要求每行每列都有涂色的小正方形,经旋转后两种涂色的网格相同,则视为相同的涂法,那么有 种不同的涂色方法.6.(10 分)有若干个连续的自然数,任取其中 4 个不同的数相加,可得到 385 个不同的和.则这些自然数有 个.7.(10 分)在 4×4 方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数,每行、每列及每条对角线上的 4个数之积都相等,如图给出了几个所填的数,那么五角星所在的小方格中所填的数是 .8.(10 分)甲、乙两人在一条长 120 米的直路上来回跑,甲的速度是 5 米/秒,乙的速度是 3 米/秒,若他们同时从同一端出发跑了 15 分钟,则他们在这段时间内共迎面相遇 次(端点除外).二、解答题(共 4 小题,满分 20 分)9.(5 分)图中有一个边长为 6 厘米的正方形ABCD与一个斜边长为 8 厘米的等腰直角三角形AEF,E在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积为多少平方厘米?10.(5 分)有 10 个两两不同的自然数,其中任意 5 个的乘积是偶数,全部 10 个数的和是奇数,则这10 个自然数的和最小是多少?11.(5 分)在 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的乘积等于 238?12.(5 分)最初,盒子中有三张卡片,分别写着数 1,2,3,每次,从盒子里取出两张卡片,将上面的数之和写到另一张空白卡片上,再把一张卡片放回盒子,如此 5 次后,除了最后一张写数的卡片外,其他的卡片都至少取出过一次,不超过两次,问:此时盒子里面卡片上的数最大为多少?2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组 A 卷)参考答案与试题解析一、填空题(每小题 10 分,共 80 分)1.(10 分)计算:(98×76﹣679×8)÷(24×6+25×25×3﹣3)= 1 .
【分析】有括号,所以先算括号里面的,再算括号外面的,据此解答即可.【解答】解:(98×76﹣679×8)÷(24×6+25×25×3﹣3)=(7448﹣5432)÷(144+1875﹣3)=2016÷2016=1;故答案为:1.2.(10 分)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中□+□>□+□,有 48 种不同的填法使式子成立.(提示:1+5>2+3 和 5+1>2+3 是不同的填法)【分析】我们可以从首尾数字入手考虑:比 1+5 大的组合入手(有 1 种),就有 3+4>1+5比 1+4 大的组合入手(有 2 种),就有 2+5>1+4,3+5>1+4比 1+3 大的组合入手(有 3 种),就有 2+4>1+3,2+5>1+3,4+5>1+3以此类推,比 1+2 大的组合有 3 种比 2+3 大的组合有 2 种比 2+4 大的组合有 1 种每种组合有 4 种不同的填法,依此即可求解.【解答】解:比 1+5 大的组合入手(有 1 种),就有 3+4>1+5比 1+4 大的组合入手(有 2 种),就有 2+5>1+4,3+5>1+4比 1+3 大的组合入手(有 3 种),就有 2+4>1+3,2+5>1+3,4+5>1+3以此类推,比 1+2 大的组合有 3 种比 2+3 大的组合有 2 种比 2+4 大的组合有 1 种(1+2+3)×2×4=12×4=48(种)答:有 48 种不同的填法使式子成立.故答案为:48.3.(10 分)将图中左边的大三角形纸板剪 3 刀,得到 4 个大小相同的小三角形纸板(第一次操作),见图中间,再将每个小三角形纸板剪 3 刀,得到 16 个大小相同的更小的三角形纸板(第二次操作),见图右边,这样继续操作下去,完成前六次操作共剪了 4095 刀.【分析】首先分析第二块是剪 3 刀,变成 4 块,之后就是每一块上都是 3 刀,继续计算即可.【解答】解:依题意可知:第一次是剪 3 刀变成 4 块.第二次是每一块都被剪 3 刀共 12 刀变成 16 块.第三次为 16×3=48(刀);块数是 16×4=64(块);第四次为 64×3=192(刀);块数是 64×4=256(块);第五次为 256×3=768(刀);块数是 256×4=1024(块);第六次为 1024×3=3072(刀).3+12+48+192+768+3072=4095. 故答案为:40954.(10 分)一个两位数与 109 的乘积为四位数,它能被 23 整除且商是一位数,这个两位数最大等于69 .【分析】按题意,此两位数是 23 的倍数,而使此两位数与 109 的乘积为四位数,则此两位数能取得数为:23、46、69,而最大的是 69.【解答】解:根据分析,此两位数是 23 的倍数,而使此两位数与 109 的乘积为四位数,
则此两位数能取得数为:23、46、69,综上,这个两位数最大为 69,故答案是:69.5.(10 分)图中的网格是由 6 个相同的小正方形构成,将其中 4 个小正方形涂上灰色,要求每行每列都有涂色的小正方形,经旋转后两种涂色的网格相同,则视为相同的涂法,那么有 7 种不同的涂色方法.【分析】首先可以根据第一列涂色的数量进行分类讨论,注意考虑旋转后相同的视为相同涂法.【解答】解:①当第一列涂了 3 个时,涂色情况如下:,有 3 种情况;②当第一列涂了 2 个时,涂色情况如下:,有 4 种情况.共计 3+4=7 种.故答案为:7.6.(10 分)有若干个连续的自然数,任取其中 4 个不同的数相加,可得到 385 个不同的和.则这些自然数有 100 个.【分析】假设这些连续的自然数中最小的数为a,最大的教为a+n+3,那么任取 4 个自然数和最小必为a+a+1+a+2+a+3=4a+6,最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+3=4a+6+4n.且由于连续自然数之间的所有和都能够取到.可得方程 4n=385﹣1,解得n=96,依此得到最小的自然数为a.最大的自然数为a+99,共 100 个数,从而求解.【解答】解:设这些连续的自然数中最小的数为a,最大的教为a+n+3,那么任取 4 个自然数和最小必为a+a+1+a+2+a+3=4a+6,最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+3=4a+6+4n.依题意有4n=385﹣1,解得n=96.则最小的自然数为a,最大的自然数为a+99,共 100 个数.答:这些自然数有 100 个.故答案为:100.7.(10 分)在 4×4 方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数,每行、每列及每条对角线上的 4个数之积都相等,如图给出了几个所填的数,那么五角星所在的小方格中所填的数是 1 .【分析】首先分析题中的幻方规律可知可根据比较法求解,不需要求出幻和.【解答】解:依题意可知:根据幻方规律比较法可知:设方格数字如图所示:
a×2×16×b=a×8×32×8,∴b=64.再根据c×4×8×128=64×c×五角星×64五角星就是 1故答案为:18.(10 分)甲、乙两人在一条长 120 米的直路上来回跑,甲的速度是 5 米/秒,乙的速度是 3 米/秒,若他们同时从同一端出发跑了 15 分钟,则他们在这段时间内共迎面相遇 23 次(端点除外).【分析】根据题意,要明白他们的迎面相遇时,2 人一共的行程是 2 个单程 120×2=240(米),用时为 240÷(3+5)=30(秒),即每 30 秒就相遇一次(包括端点的).那端点的相遇用时为:2人单程用时(120÷3=40,120÷5=24)的公倍数,最小公倍数第一次在端点相遇的用时.用120÷30=4 可知,他们 4 次相遇中就有 1 次为端点相遇.即 15 分钟内相遇的总次数为:15×60÷30=30,其中在端点相遇的次数为 30÷4 的整数部分,即 7.所以 他们在这段时间内共迎面相遇(端点除外)的次数为:30﹣7=23【解答】解:240÷(3+5)=30(秒)120÷3=40(秒)120÷5=24(秒)40 与 24 的最小公倍数 120(2 人第一次在端点相遇的用时) 120÷30=415×60÷30=30(次) 30÷4=7…230﹣7=23(次) 答:他们在这段时间内共迎面相遇 23 次(端点除外).二、解答题(共 4 小题,满分 20 分)9.(5 分)图中有一个边长为 6 厘米的正方形ABCD与一个斜边长为 8 厘米的等腰直角三角形AEF,E在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析】按题意,阴影部分的面积与直角三角形的面积之和,等于正方形的面积加上三角形BGE的面积,故可以先求得三角形BGE的面积,即可求得阴影部分的面积.【解答】解:根据分析,BG=BE=AE﹣AB=8﹣6=2(厘米),故三角形BGE的面积=BG×BE× = ×2×2=2(平方厘米),因为三角形AEF为等腰直角三角形,所以由AE2=AF2+FE2得出AF=4 ,阴影部分的面积+△AEF的面积=正方形ABCD的面积+△BGE的面积阴影部分的面积=正方形⇒ABCD的面积+△BGE的面积﹣△AEF的面积=6×6+2﹣4 ×4 × =22(平方厘米),故答案是:2210.(5 分)有 10 个两两不同的自然数,其中任意 5 个的乘积是偶数,全部 10 个数的和是奇数,则这10 个自然数的和最小是多少?
【分析】按题意,任意 5 个的乘积是偶数,说明至多有 4 个奇数,又全部 10 个数的和是奇数,则奇数的个数为 1 个或 3 个,取奇数里的最小数 1 或 1,3,5,其他几个数可能的情况,分别比较大小,求出最小值.【解答】解:根据分析,10 个自然数中奇数的个数为 1 个或 3 个,①只有一个奇数时,则奇数最小为 1,其他偶数最小的为:0,2、4、6、8、10、12、14、16、18,此时自然数和=0+1+2+4+6+8+10+12+14+16+18=91;②若有三个奇数,则奇数为 1、3、5,则其他偶数最小为:0,2、4、6、8、10、12此时自然数和=0+1+3+5+2+4+6+8+10+12=51.综上,这 10 个自然数的和最小是 51.故答案是:51.11.(5 分)在 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的乘积等于 238?【分析】首先分析 238 的因数,使其中 2 个因数相乘得 238 的共 4 组,利用最不利原则求出结果.【解答】解:依题意可知:将 238 分解成小于 200 的数字积有 238=17×14=7×34=2×119 共有三组.的两位数相乘的因数有(17,14),(7,34),(2,119)共 6 个数约数分为 3 组.最不利原则是其他的 194 选择了,再从三组因数中每组挑选一个共 197 个,再选择一个就是组成两个因数的积是 238 了.共 197+1=198;答:至少选出 198 个才能保证有连个数的乘积是 238.12.(5 分)最初,盒子中有三张卡片,分别写着数 1,2,3,每次,从盒子里取出两张卡片,将上面的数之和写到另一张空白卡片上,再把一张卡片放回盒子,如此 5 次后,除了最后一张写数的卡片外,其他的卡片都至少取出过一次,不超过两次,问:此时盒子里面卡片上的数最大为多少?【分析】由已知可知:最后一共得到 8 个数,所有得数一共加了 2×5=10 次,由于每张卡片至少取过 1 次,不超过两次,有 4 个数被计算了一次,第七个数只会被第 8 个数计算一次,因此第 7 个数只会被计算一次,要想卡片上的数尽可能的大,要让 4,5,6 个数计算两次,第 1,2,3 个数计算 1 次,可以使第 8 个数最大,分情况讨论即可.【解答】解:由分析可得:要想卡片上的数尽可能的大要让 4,5,6 个数计算两次,第 1,2,3 个数计算 1 次可以使第 8 个数最大① 1,2,3,4,6,10,16,26② 1,2,3,3,6,9,15,24③ 1,2,3,5,6,11,17,28答:此时盒子里面卡片上的数最大为 28.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/5/7 11:01:57;用户:小学奥数;邮箱:pfpxxx02@xyh.com;学号:20913800