2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 A 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）＝　 　．2．（10 分）从 1，2，3，4，5 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中□+□＞□+□，有　 种不同的填法使式子成立．（提示：1+5＞2+3 和 5+1＞2+3 是不同的填法）3．（10 分）将图中左边的大三角形纸板剪 3 刀，得到 4 个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪 3 刀，得到 16 个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了　 　刀．4．（10 分）一个两位数与 109 的乘积为四位数，它能被 23 整除且商是一位数，这个两位数最大等于．5．（10 分）图中的网格是由 6 个相同的小正方形构成，将其中 4 个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有　 　种不同的涂色方法．6．（10 分）有若干个连续的自然数，任取其中 4 个不同的数相加，可得到 385 个不同的和．则这些自然数有　 　个．7．（10 分）在 4×4 方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的 4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是　 　．8．（10 分）甲、乙两人在一条长 120 米的直路上来回跑，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，若他们同时从同一端出发跑了 15 分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇　 　次（端点除外）．二、解答题（共 4 小题，满分 20 分）9．（5 分）图中有一个边长为 6 厘米的正方形ABCD与一个斜边长为 8 厘米的等腰直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？10．（5 分）有 10 个两两不同的自然数，其中任意 5 个的乘积是偶数，全部 10 个数的和是奇数，则这10 个自然数的和最小是多少？11．（5 分）在 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的乘积等于 238？12．（5 分）最初，盒子中有三张卡片，分别写着数 1，2，3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白卡片上，再把一张卡片放回盒子，如此 5 次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次，问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）＝　 1 　 ． 【分析】有括号，所以先算括号里面的，再算括号外面的，据此解答即可．【解答】解：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）＝（7448﹣5432）÷（144+1875﹣3）＝2016÷2016＝1；故答案为：1．2．（10 分）从 1，2，3，4，5 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中□+□＞□+□，有　48 　 种不同的填法使式子成立．（提示：1+5＞2+3 和 5+1＞2+3 是不同的填法）【分析】我们可以从首尾数字入手考虑：比 1+5 大的组合入手（有 1 种），就有 3+4＞1+5比 1+4 大的组合入手（有 2 种），就有 2+5＞1+4，3+5＞1+4比 1+3 大的组合入手（有 3 种），就有 2+4＞1+3，2+5＞1+3，4+5＞1+3以此类推，比 1+2 大的组合有 3 种比 2+3 大的组合有 2 种比 2+4 大的组合有 1 种每种组合有 4 种不同的填法，依此即可求解．【解答】解：比 1+5 大的组合入手（有 1 种），就有 3+4＞1+5比 1+4 大的组合入手（有 2 种），就有 2+5＞1+4，3+5＞1+4比 1+3 大的组合入手（有 3 种），就有 2+4＞1+3，2+5＞1+3，4+5＞1+3以此类推，比 1+2 大的组合有 3 种比 2+3 大的组合有 2 种比 2+4 大的组合有 1 种（1+2+3）×2×4＝12×4＝48（种）答：有 48 种不同的填法使式子成立．故答案为：48．3．（10 分）将图中左边的大三角形纸板剪 3 刀，得到 4 个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪 3 刀，得到 16 个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了　 4095 　 刀．【分析】首先分析第二块是剪 3 刀，变成 4 块，之后就是每一块上都是 3 刀，继续计算即可．【解答】解：依题意可知：第一次是剪 3 刀变成 4 块．第二次是每一块都被剪 3 刀共 12 刀变成 16 块．第三次为 16×3＝48（刀）；块数是 16×4＝64（块）；第四次为 64×3＝192（刀）；块数是 64×4＝256（块）；第五次为 256×3＝768（刀）；块数是 256×4＝1024（块）；第六次为 1024×3＝3072（刀）．3+12+48+192+768+3072＝4095． 故答案为：40954．（10 分）一个两位数与 109 的乘积为四位数，它能被 23 整除且商是一位数，这个两位数最大等于69 　 ．【分析】按题意，此两位数是 23 的倍数，而使此两位数与 109 的乘积为四位数，则此两位数能取得数为：23、46、69，而最大的是 69．【解答】解：根据分析，此两位数是 23 的倍数，而使此两位数与 109 的乘积为四位数， 则此两位数能取得数为：23、46、69，综上，这个两位数最大为 69，故答案是：69．5．（10 分）图中的网格是由 6 个相同的小正方形构成，将其中 4 个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有　 7 　 种不同的涂色方法．【分析】首先可以根据第一列涂色的数量进行分类讨论，注意考虑旋转后相同的视为相同涂法．【解答】解：①当第一列涂了 3 个时，涂色情况如下：，有 3 种情况；②当第一列涂了 2 个时，涂色情况如下：，有 4 种情况．共计 3+4＝7 种．故答案为：7．6．（10 分）有若干个连续的自然数，任取其中 4 个不同的数相加，可得到 385 个不同的和．则这些自然数有　 100 　 个．【分析】假设这些连续的自然数中最小的数为a，最大的教为a+n+3，那么任取 4 个自然数和最小必为a+a+1+a+2+a+3＝4a+6，最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+3＝4a+6+4n．且由于连续自然数之间的所有和都能够取到．可得方程 4n＝385﹣1，解得n＝96，依此得到最小的自然数为a．最大的自然数为a+99，共 100 个数，从而求解．【解答】解：设这些连续的自然数中最小的数为a，最大的教为a+n+3，那么任取 4 个自然数和最小必为a+a+1+a+2+a+3＝4a+6，最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+3＝4a+6+4n．依题意有4n＝385﹣1，解得n＝96．则最小的自然数为a，最大的自然数为a+99，共 100 个数．答：这些自然数有 100 个．故答案为：100．7．（10 分）在 4×4 方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的 4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是　 1 　 ．【分析】首先分析题中的幻方规律可知可根据比较法求解，不需要求出幻和．【解答】解：依题意可知：根据幻方规律比较法可知：设方格数字如图所示： a×2×16×b＝a×8×32×8，∴b＝64．再根据c×4×8×128＝64×c×五角星×64五角星就是 1故答案为：18．（10 分）甲、乙两人在一条长 120 米的直路上来回跑，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，若他们同时从同一端出发跑了 15 分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇　 23 　 次（端点除外）．【分析】根据题意，要明白他们的迎面相遇时，2 人一共的行程是 2 个单程 120×2＝240（米），用时为 240÷（3+5）＝30（秒），即每 30 秒就相遇一次（包括端点的）．那端点的相遇用时为：2人单程用时（120÷3＝40，120÷5＝24）的公倍数，最小公倍数第一次在端点相遇的用时．用120÷30＝4 可知，他们 4 次相遇中就有 1 次为端点相遇．即 15 分钟内相遇的总次数为：15×60÷30＝30，其中在端点相遇的次数为 30÷4 的整数部分，即 7．所以 他们在这段时间内共迎面相遇（端点除外）的次数为：30﹣7＝23【解答】解：240÷（3+5）＝30（秒）120÷3＝40（秒）120÷5＝24（秒）40 与 24 的最小公倍数 120（2 人第一次在端点相遇的用时） 120÷30＝415×60÷30＝30（次） 30÷4＝7…230﹣7＝23（次） 答：他们在这段时间内共迎面相遇 23 次（端点除外）．二、解答题（共 4 小题，满分 20 分）9．（5 分）图中有一个边长为 6 厘米的正方形ABCD与一个斜边长为 8 厘米的等腰直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？【分析】按题意，阴影部分的面积与直角三角形的面积之和，等于正方形的面积加上三角形BGE的面积，故可以先求得三角形BGE的面积，即可求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，BG＝BE＝AE﹣AB＝8﹣6＝2（厘米），故三角形BGE的面积＝BG×BE× ＝ ×2×2＝2（平方厘米），因为三角形AEF为等腰直角三角形，所以由AE2＝AF2+FE2得出AF＝4 ，阴影部分的面积+△AEF的面积＝正方形ABCD的面积+△BGE的面积阴影部分的面积＝正方形⇒ABCD的面积+△BGE的面积﹣△AEF的面积＝6×6+2﹣4 ×4 × ＝22（平方厘米），故答案是：2210．（5 分）有 10 个两两不同的自然数，其中任意 5 个的乘积是偶数，全部 10 个数的和是奇数，则这10 个自然数的和最小是多少？ 【分析】按题意，任意 5 个的乘积是偶数，说明至多有 4 个奇数，又全部 10 个数的和是奇数，则奇数的个数为 1 个或 3 个，取奇数里的最小数 1 或 1，3，5，其他几个数可能的情况，分别比较大小，求出最小值．【解答】解：根据分析，10 个自然数中奇数的个数为 1 个或 3 个，①只有一个奇数时，则奇数最小为 1，其他偶数最小的为：0，2、4、6、8、10、12、14、16、18，此时自然数和＝0+1+2+4+6+8+10+12+14+16+18＝91；②若有三个奇数，则奇数为 1、3、5，则其他偶数最小为：0，2、4、6、8、10、12此时自然数和＝0+1+3+5+2+4+6+8+10+12＝51．综上，这 10 个自然数的和最小是 51．故答案是：51．11．（5 分）在 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的乘积等于 238？【分析】首先分析 238 的因数，使其中 2 个因数相乘得 238 的共 4 组，利用最不利原则求出结果．【解答】解：依题意可知：将 238 分解成小于 200 的数字积有 238＝17×14＝7×34＝2×119 共有三组．的两位数相乘的因数有（17，14），（7，34），（2，119）共 6 个数约数分为 3 组．最不利原则是其他的 194 选择了，再从三组因数中每组挑选一个共 197 个，再选择一个就是组成两个因数的积是 238 了．共 197+1＝198；答：至少选出 198 个才能保证有连个数的乘积是 238．12．（5 分）最初，盒子中有三张卡片，分别写着数 1，2，3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白卡片上，再把一张卡片放回盒子，如此 5 次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次，问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？【分析】由已知可知：最后一共得到 8 个数，所有得数一共加了 2×5＝10 次，由于每张卡片至少取过 1 次，不超过两次，有 4 个数被计算了一次，第七个数只会被第 8 个数计算一次，因此第 7 个数只会被计算一次，要想卡片上的数尽可能的大，要让 4，5，6 个数计算两次，第 1，2，3 个数计算 1 次，可以使第 8 个数最大，分情况讨论即可．【解答】解：由分析可得：要想卡片上的数尽可能的大要让 4，5，6 个数计算两次，第 1，2，3 个数计算 1 次可以使第 8 个数最大① 1，2，3，4，6，10，16，26② 1，2，3，3，6，9，15，24③ 1，2，3，5，6，11，17，28答：此时盒子里面卡片上的数最大为 28．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:01:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800