2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 A（小学组）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于 11，不能是 13，也不能是 5 的倍数，且彼此都不相同，至少要　 　个乒乓球．2．（10 分）有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品以及五种价格分别为 1 元、3 元、5 元、7 元、9 元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有　 　种不同价格．3．（10 分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇 20 分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时 90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是　 　km．4．（10 分）将 ， ， ， ， ， 和这 6 个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第　 位．5．（10 分）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为　 　，这些“好数”的最大公约数是　 　．6．（10 分）如图所示的立体图形由 9 个棱长为 1 的立方块搭成，这个立体图形的表面积为　 　．7．（10 分）数字卡片“3”，“4”，“5”各 10 张，任意选出 8 张使它们的数字和是 33，则最多有　张是卡片“3”．8．（10 分）若将算式 的值化为小数，则小数点后第 1 个数字是　 　．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）如图中有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这 5 个硬纸板拼成右图中 4×5 的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．10．（10 分）长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为 8，12 和 18 段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？11．（10 分）足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得 3 分，负队得 0分，平局两队各得 1 分．若A，B，C，D队总分分别是 1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？12．（10 分）华罗庚爷爷出生于 1910 年 11 月 12 日．将这些数字排成一个整数，并且分解成 19101112＝1163×16424，请问这两个数 1163 和 16424 中有质数吗？并说明理由．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图中，六边形ABCDEF的面积是 2010 平方厘米．已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于 335 平方厘米，6 个阴影三角形面积之和为 670 平方厘米．求六边形A1B1C1D1E1F1的面积． 14．（15 分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 A（小学组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于 11，不能是 13，也不能是 5 的倍数，且彼此都不相同，至少要　 173 　 个乒乓球．【分析】不少于 11，则盒中至少 11 个乒乓球，不能是 13，也不能是 5 的倍数，则这 10 个盒子中的乒乓球，按最少的方法放，个数分别为 11、12、14、16、17、18、19、21、22、23；所以至少需要多少个，把这十个数相加即可．【解答】解：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23＝173（个）；答：至少要 173 个乒乓球；故答案为：173．2．（10 分）有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品以及五种价格分别为 1 元、3 元、5 元、7 元、9 元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有　 19 　 种不同价格．【分析】根据已知的价格用“列表方法”解答即可．【解答】解：共有 25﹣6＝19（种）包 装 盒 价 格礼品盒价格1 3 5 7 92 3 5 7 9 115 6 8 1012148 9 1113151711 121416182014 1517192123故答案为：19．3．（10 分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇 20 分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时 90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是　 425 　 km．【分析】根据题意，途中A与B相遇 20 分钟后再与C相遇，由此可以求出A与C20 分钟（ 小时）共行：（90+60）× ＝50 千米，这 50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于 50÷（80﹣60）＝2.5 小时，然后根据速度和×相遇时间＝两地之间的路程，列式解答． 【解答】解：20 分钟＝ 小时，A与C 20 分钟相遇，共行（90+60）× ＝50（ 千米），这 50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于 50÷（80﹣60）＝2.5（小时）．所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×2.5＝425（ 千米）．答：甲乙两站的路程是 425 千米．故答案为：425．4．（10 分）将 ， ， ， ， ， 和这 6 个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第　 5 位．【分析】先求出这 6 个分数的平均值，然后通过排列，得出结果．【解答】解：（ + + + + + ）÷6＝[（ + + ）+（ + + ）]÷6＝[1+ ]÷6≈1.593÷6＝0.2655；＜ ＜ ＜ ＜0.2655＜ ＜ ．所以这个平均数从小到大排列在第 5 位．故答案为：55．（10 分）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为　 223 　 ，这些“好数”的最大公约数是　 3 　 ．【分析】题意中的好数实际是指小于或等于 2012 中除以 9 余 6 的数有多少个，即数列6、15、24、33、42、51….1005、2004，求出（2014﹣6）里面有几个 9，再加上 1，就是所有的好数；6 和 15 的最大公约数就是这组数列的最大公约数．【解答】解：（2014﹣6）÷9+1＝1998÷9+1＝222+1＝223（个）；6 和 15 的最大公约数 3，所以所有好数的最大公约数为 3．答：不超过 2012 的“好数”的个数为 223，这些“好数”的最大公约数是 3．故答案为：223，3．6．（10 分）如图所示的立体图形由 9 个棱长为 1 的立方块搭成，这个立体图形的表面积为　 32 　 ．【分析】该立体图形的表面积＝上面的表面积+下面的表面积+正面的表面积+后面的表面积+两个侧面的表面积．【解答】解：从上面和下面看到的面积为 2×5×（1×1）＝10，从正面和后面看面积为 2×5×（1×1）＝10，从两个侧后面看面积为 2×6×（1×1）＝12，故这个几何体的表面积为 10+10+12＝32． 故答案为：32．7．（10 分）数字卡片“3”，“4”，“5”各 10 张，任意选出 8 张使它们的数字和是 33，则最多有　3 　 张是卡片“3”．【分析】此题要求最多有几张是卡片“3”，可用假设法分情况探讨，分以下几种情况：① 8 张卡片全是 3，② 7 张卡片是 3，③ 6 张卡片是 3，…，直到符合要求为止．【解答】解：若 8 张卡片全是 3，则 8×3＝24＜33，不符合要求，若有 7 张卡片是 3，则 7×3＝21，剩下 1 张为 33﹣21＝12，不可能，若有 6 张卡片是 3，则 6×3＝18，剩下的 2 张和为 33﹣18＝15，15÷2＞5，不可能，若有 5 张卡片是 3，则 5×3＝15，剩下的 3 张和为 33﹣15＝18，18÷3＝6＞5，不可能，若有 4 张卡片是 3，则 4×3＝12，剩下的 4 张和为 33﹣12＝21，21÷4＞5，不可能，若有 3 张卡片是 3，则 3×3＝9，剩下的 5 张和为 33﹣9＝24＝5+5+5+5+4，即取 4 张 5，1 张 4，综上，最多有 3 张卡片是 3．故答案为：3．8．（10 分）若将算式 的值化为小数，则小数点后第 1 个数字是　 4 　 ．【分析】根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算．【解答】解： ≈0.41≈0.01548≈0.00≈0.00133≈0.00063…推理后面每两个分数之差更接近 0，而且是有限个求和，所以小数点后第一位为 4．故答案为：4．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）如图中有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这 5 个硬纸板拼成右图中 4×5 的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．【分析】先将 4×5 的长方形黑白间隔染色，然后再将 5 个由 4 个 1×1 的小正方格黑白间隔染色，然后结合奇偶性判断即可．【解答】解：将五块纸板编号，如图 2，除纸板④之外，其余 4 张硬纸板每一张都盖住 2 个黑格，而④盖住了 3 个或 1 个黑格，因此，由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的 5 个硬纸板，只能盖住 9 或 11 个黑格，与 10 个黑格不符． 所以显然不能用左边 5 个硬纸板拼成右边的 4×5 的长方形．10．（10 分）长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为 8，12 和 18 段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【分析】要满足条件，L一定是 8，12 和 18 的倍数，所以先求出三个数的公倍数，和两两的公倍数，从而得出重叠的段数，然后在根据容斥原理解答即可．【解答】解：假设L＝[8，12，18]＝72 的K倍，即L＝72K．那么：红线将木棍等分 8 等份（9 个分点），每份长度 9K；蓝线将木棍等分 12 等份（13 个分点），每份长度 6K；黑线将木棍等分 18 等份（19 个分点），每份长度 4K；又知：[9K，6K]＝18K，重叠 4 段；[6K，4K]＝12K，重叠 6 段；[9K，4K]＝36K，重叠 2 段；[9K，6K，4K]＝36K，重叠 2 段．由容斥原理二得：一共分割的段数为：（8+12+18）﹣4﹣6﹣2+2＝28（段）；或总点数为：（9+13+19）﹣5﹣7﹣3+3＝29（分点），所以共有 28 段．那么，最短段为红线与黑线的距离：L÷72＝ ．11．（10 分）足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得 3 分，负队得 0分，平局两队各得 1 分．若A，B，C，D队总分分别是 1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？【分析】5 只足球队单循环比赛共赛 4+3+2+1＝10 场．从计分标准看，有胜负的场次得 3 分，平局的场次共得 2 分，题意中的问题是E队最多得分和最少得分，显然和整个比赛中平局的次数有关，平局越少，E队得分会越高；平局越多，E队得分会越低．假设全是 3 分，10 场共计 30 分，每平局总分倒减 1 分．由A、B、C、D的得分不难分析．【解答】解：由题意得：A＝1＝1+0+0+0B＝4＝3+1+0+0＝1+1+1+1C＝7＝3+3+1+0D＝8＝3+3+1+1从得分看至少 3 局平局，全部比赛总分 30﹣3＝27（分），E队得分最多为 27﹣1﹣4﹣7﹣8＝7（分）．从得分看最多 5 场平局，全部比赛总分 30﹣5＝25（分），E队得分最少为 25﹣1﹣4﹣7﹣8＝5（分）．答：E队至多得 7 分，至少得 5 分．12．（10 分）华罗庚爷爷出生于 1910 年 11 月 12 日．将这些数字排成一个整数，并且分解成 19101112＝1163×16424，请问这两个数 1163 和 16424 中有质数吗？并说明理由．【分析】根据合数的概念，很容易判断出 16424 是合数，然后再判断 1163 是否是质数，方法见解答．【解答】解：16424 是合数，原因是 16424 的约数不止两个，除了有 1 和本身外，还有 2、4…等等．1163 是质数，判断方法是：352＝1225，342＝1156，最接近 1163，所以用小于 34 的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31 去除 1163 都除不尽，所以可以判断 1163 是质数．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图中，六边形ABCDEF的面积是 2010 平方厘米．已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于 335 平方厘米，6 个阴影三角形面积之和为 670 平方厘米．求六边形A1B1C1D1E1F1的面积． 【分析】六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝六边形ABCDEF的面积﹣两个六边形中间夹圈部分的面积，由此求解．【解答】解：根据容斥原理：两个六边形中间夹圈部分的面积＝（335×6+670）÷2＝2680÷2＝1340所以：六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝2010﹣1340＝670答：六边形A1B1C1D1E1F1的面积是 670．14．（15 分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．【分析】由题目知，两位数虎威要满足：两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，有了这两个限制条件，依次进行试验即可得出结论．【解答】解：令虎为X、威为Y，则：题意为：10X+Y＝X×Y×K（K为整数）①Y＝1 （K﹣10）X＝1 X＝1，K＝11 所以虎威＝11；②Y＝2 （K﹣5）X＝1 X＝1，K＝6 所以虎威＝12；③Y＝3 （3K﹣10）X＝3 无解；④Y＝4 （4XK﹣10K）＝2 X＝2，K＝3 所以虎威＝24；⑤Y＝5 （K﹣2）X＝1 X＝1，K＝3 所以虎威＝15；⑥Y＝6 （3K﹣5）X＝3 X＝3，K＝2 所以虎威＝36⑦Y＝7，同上方法讨论无解；⑧Y＝8，同上方法讨论无解；⑨Y＝9，同上方法讨论无解；综上所述，有三个满足题目的两位数，即 11、12、15、24、36．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:53:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800