2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 B 卷）一、选择题（共 6 小题，每小题 10 分，满分 60 分.每题的四个选项中只有一个是正确的）1．（10 分）现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去；那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（　　）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．乙、丁2．（10 分）以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（　　）个．A．5 B．2 C．4 D．33．（10 分）桌上有 1～20 的 20 张卡片，小明每次取出 2 张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（　　）张卡片．A．12 B．14 C．16 D．184．（10 分）足球友谊比赛的票价是 50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价．结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（　　）元．A．10 B． C． D．255．（10 分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（　　）A．快 12 分 B．快 6 分 C．慢 6 分 D．慢 12 分6．（10 分）在右图的 6×6 方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的 2×3 长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（　　）A．E，C，D，FB．E，D，C，FC．D，F，C，ED．D，C，F，E二、填空题（共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）计算：481 +265 +904 ﹣184 ﹣160 ﹣703 ＝　 　．8．（10 分）过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D，E，F，连接AP，BP，CP．如果正三角形ABC的面积是 2028 平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是 192 平方厘米，则三角形PCF的面积为　 　平方厘米．9．（10 分）自然数 2015 最多可以表示成　 　个连续奇数的和．10．（10 分）由单位正方形拼成的 15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于 5 的正方形有　 　个．2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 B 卷）参考答案与试题解析一、选择题（共 6 小题，每小题 10 分，满分 60 分.每题的四个选项中只有一个是正确的）1．（10 分）现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去；那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（　　）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．乙、丁 【分析】①根据如果甲去，那么乙也去，可得甲在，乙必然也在；②又根据如果丙不去，那么乙也不去，可得如果乙去了，丙也一定去了，同时满足①②的条件和“如果丙去；那么丁不去”只能是乙、丙参加了活动，据此解答即可．【解答】解：根据如果甲去，那么乙也去，可得甲在，乙必然也在，又根据如果丙不去，那么乙也不去，可得如果乙去了，丙也一定去了，如果丙去；那么丁不去，可得：如果丙不去；那么丁去，同时乙也不去，则根据“甲去，那么乙也去”可得甲也不去，这样只有丁去，这与两个人参加一项活动相矛盾．同时满足条件只能是乙、丙参加了活动．故选：B．2．（10 分）以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（　　）个．A．5 B．2 C．4 D．3【分析】根据题意，平面上任意 4 点中，其中 3 个点构成一个钝角三角形，另外 1 个点在三角形的中间时，和其余的 3 个点依次连接，可以构成 3 个钝角三角形，据此求出钝角三角形最多有多少个即可．【解答】解：如图，平面上任意 4 点构成了 4 个钝角三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，所以以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有 4 个．故选：C．3．（10 分）桌上有 1～20 的 20 张卡片，小明每次取出 2 张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（　　）张卡片．A．12 B．14 C．16 D．18【分析】因为每次取出 2 张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的 2 倍多 2，也就是取出的卡号数字大的不能超过 20，那么设另一张卡号是x，则 2x+2≤20，且x≥1，据此解答即可．【解答】解：设另一张卡号是x，则：2x+2≤202x+1﹣2≤20﹣22x≤182x÷2≤18÷2x≤9又因为x≥19×2＝18（张）∵4、6、8 即可以做为一倍量的数，也可以作为 2 倍量多 2 的数，∴即总共可以取出：18﹣3×2＝12 张；答：小明最多可以取出 12 张卡片．故选：A．4．（10 分）足球友谊比赛的票价是 50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价．结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（　　）元．A．10 B． C． D．25【分析】设原来卖出的票数为 1，由题意可知，增加的钱数是 50× ＝ ，就是增加了三分之一的票的总钱数，所以再除以 可得降价部分的票的单价，然后再用 50 减去它就是每张票售价降低的钱数． 【解答】解：设原来卖出的票数为 1，50﹣50× ÷＝50﹣＝ （元）答：每张票售价降了 元．故选：B．5．（10 分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（　　）A．快 12 分 B．快 6 分 C．慢 6 分 D．慢 12 分【分析】分针与时针除 12 时（包括 24 时或 0 时）外，每小时重合 1 次，因此，24 小时重合 22次，旧钟每隔标准时间 66 分钟重合 1 次，因此，旧钟 24 小时是标准时间 22×66＝1452（分钟），而标准钟 24 小时是 60×24＝1440（分钟），两者之差就是这只旧钟慢的时间．【解答】解：66×（24﹣2）＝66×22＝1452（分钟）60×24＝1440（分钟）1452﹣1440＝12（分钟）即这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时慢 12 分钟．故选：D．6．（10 分）在右图的 6×6 方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的 2×3 长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（　　）A．E，C，D，FB．E，D，C，FC．D，F，C，ED．D，C，F，E【分析】首先根据排除法和唯一法进行分析，首先根据幻方规律排除法确定第一行第二列的数字是A，跟着这个思路全部填写出来即可．【解答】解：依题意可知：首先根据排除法看第一宫格，第一列不能有A，第二行不能有A．那么A只能在第一行第二列．幻方规律排除法确定第三行第四列也是A；第四行第四列的数字是C；接着第五行第四列就是F；那么第二行的第四列是B；继续推理得： 故选：C．二、填空题（共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）计算：481 +265 +904 ﹣184 ﹣160 ﹣703 ＝　 600 　．【分析】先把算式变形为 481 +265 +904 ﹣185+ ﹣161+ ﹣704+ ，再根据加法的交换律与结合律以及分数的拆项公式 ＝ ﹣ 简算即可．【解答】解：481 +265 +904 ﹣184 ﹣160 ﹣703＝481 +265 +904 ﹣185+ ﹣161+ ﹣704+＝（481﹣161）+（265﹣185）+（904﹣704）+（ + + + + + ）＝320+80+200+（ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝600+ ﹣＝600 ．故答案为：600 ．8．（10 分）过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D，E，F，连接AP，BP，CP．如果正三角形ABC的面积是 2028 平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是 192 平方厘米，则三角形PCF的面积为　 630 　 平方厘米．【分析】过P点分别作三条边的平行线，这样就分成了三个平行四边形，▱AGPH，▱BKPJ，▱CMPL，阴影部分的面积占各自的 ；同理，得到的三个三角形△HJP，△LPK，△MPG，阴影部分的面积也占各自的 ；所以S△PAD+S△PBE+S△PCF＝S△ABC，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，S△PAD+S△PBE+S△PCF＝S△ABC， 又因为正三角形ABC的面积是 2028 平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是 192 平方厘米，所以，S△PCF＝2028× ﹣192×2＝1014﹣384＝630（平方厘米）答：三角形PCF的面积为 630 平方厘米．故答案为：630．9．（10 分）自然数 2015 最多可以表示成　 31 　 个连续奇数的和．【分析】先把 2015 分解质因数，2015＝5×13×31，连续多个奇数的和是正中间一个数的倍数；如果把 5、13、31 作为中间一个数的话，无法满足条件；只有当把 5×13＝65 作为正中间一个数的话，从 35、37、39…95，正好 31 个数，且和是 2015；因此 2015 最多可以表示成 31 个连续奇数的和．【解答】解：2015＝5×13×31；连续多个奇数的和是正中间一个数的倍数；如果把 5、13、31 作为中间一个数的话，无法满足条件；只有当把 5×13＝65 作为正中间一个数的话，从 35、37、39…95，正好 31 个数，且和是 2015；因此 2015 最多可以表示成 31 个连续奇数的和．故答案为：31．10．（10 分）由单位正方形拼成的 15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于 5 的正方形有　 393 　 个．【分析】分别数出边长为 6 的正方形个数，边长为 7 的正方形个数，边长为 8 的正方形个数，边长为 9 的正方形个数，边长为 10 的正方形个数，边长为 11 的正方形个数，边长为 12 的正方形个数，边长为 13 的正方形个数，边长为 14 的正方形个数，以及斜着的 4×2＝8 个，再相加即可求解．【解答】解：边长为 6 的正方形个数是 100，边长为 7 的正方形个数是 64，边长为 8 的正方形个数是 49，边长为 9 的正方形个数是 36，边长为 10 的正方形个数是 25，边长为 11 的正方形个数是 16，边长为 12 的正方形个数是 9，边长为 13 的正方形个数是 4，边长为 14 的正方形个数是 1，斜着的 4×2＝8，100+64+49+36+25+16+9+4+1+8＝393（个）答：边长大于 5 的正方形有 393 个．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:59:48；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800