2018 年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）一、选择题（共 6 小题，每小题 10 分，满分 60 分）1．（10 分）两袋面粉同样重，第一袋用去 ，第二袋用去 千克，剩下的面粉（　　）A．第一袋重 B．第二袋重C．两袋同样重 D．无法确定哪袋重2．（10 分）如图，一个 3×3 的正方形网格，如果小正方形边长是 1，那么阴影部分的面积是（　　）A．5 B．4 C．3 D．23．（10 分）在 6×6 的方格表中，摆放写有 的长方形，每个长方形恰好盖住 2 个方格，如果任意两个长方形之间没有公共边（可以有公共顶点），那么棋盘中摆放的长方形的方格内所有数之和最大是（　　）A．266 B．304 C．342 D．3804．（10 分）在如图的三角形ABC中，EB＝ED，FC＝FD，∠EDF＝72°，则∠AED+∠AFD＝（　　）A．200° B．216° C．224° D．240°5．（10 分）从 1﹣20 这 20 个整数中任意取 11 个数，其中必有两个数的和等于（　　）A．19 B．20 C．21 D．226．（10 分）小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放 1 张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；…摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第 20 次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（　　）张．A．571 B．572 C．573 D．574二、填空题（共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）磊磊买了一本新书，非常喜欢．第一天读了这本书的 还多 12 页，第二天读了剩余的 还多 15 页，第三天读了剩余的 还多 18 页，这时还剩 42 页未读．那么这本书的页数是　 　．8．（10 分）某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢 18 这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为 1 和 8，且1 在 8 的前面，那么小李的号码牌有　 　种不同的选择方式．（英文共有 26 个字母） 9．（10 分）在一个自然数的所有因数中，能被 3 整除的因数比奇因数多 5 个，那么这个自然数最小是．10．（10 分）一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有　 　种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）2018 年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、选择题（共 6 小题，每小题 10 分，满分 60 分）1．（10 分）两袋面粉同样重，第一袋用去 ，第二袋用去 千克，剩下的面粉（　　）A．第一袋重 B．第二袋重C．两袋同样重 D．无法确定哪袋重【分析】要看实际情况，与原来的重有关．分类讨论，大于 1 千克；等于 1 千克；小于 1 千克，即可得出结论．【解答】解：要看实际情况，与原来的重有关．大于 1 千克时，第一袋用去的 大于 千克，所以第二袋剩下的重，等于 1 千克时，剩下的一样重，小于 1 千克时，第一袋用去的 小于 千克，所以第一袋剩下的重，故选：D．2．（10 分）如图，一个 3×3 的正方形网格，如果小正方形边长是 1，那么阴影部分的面积是（　　）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】通过观察可知，阴影部分的面积＝长是 3 宽是 1 的长方形的面积﹣中间边长是 1 的正方形的面积．【解答】通过观察可知，阴影部分的面积＝长是 3 宽是 1 的长方形的面积﹣中间边长是 1 的正方形的面积．3×1﹣1×1＝2故选：D．3．（10 分）在 6×6 的方格表中，摆放写有 的长方形，每个长方形恰好盖住 2 个方格，如果任意两个长方形之间没有公共边（可以有公共顶点），那么棋盘中摆放的长方形的方格内所有数之和最大是（　　）A．266 B．304 C．342 D．380【分析】本题考察最大与最小．【解答】解：因为任意两个长方形之间没有公共边，所以每个长方形盖住的数字都是 20 和 18，平均数为 19，则所有数字之和是 36÷2×19＝342，．故选：C．4．（10 分）在如图的三角形ABC中，EB＝ED，FC＝FD，∠EDF＝72°，则∠AED+∠AFD＝（　　） A．200° B．216° C．224° D．240°【分析】由题意，∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC，再利用内角和，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC，∴∠AED+∠AFD＝360°﹣（∠A+∠EDF）＝360°﹣（∠A+∠EDF）＝360°﹣（180°﹣∠B﹣∠C+∠EDF）＝180°+∠B+∠C﹣∠EDF＝180°+∠EDB+∠FDC﹣∠EDF＝180°+180°﹣∠EDF﹣∠EDF＝360°﹣2×72°＝216°，故选：B．5．（10 分）从 1﹣20 这 20 个整数中任意取 11 个数，其中必有两个数的和等于（　　）A．19 B．20 C．21 D．22【分析】构造抽屉，把这 20 个数分组，看成 10 个抽屉：{1，20}，{2，19}，…，{10，11}． 从这 10 个数组的 20 个数中任取 11 个数，根据抽屉原理可得结论．【解答】解：构造抽屉，把这 20 个数分组，看成 10 个抽屉：{1，20}，{2，19}，…，{10，11}． 从这 10 个数组的 20 个数中任取 11 个数，根据抽屉原理可得，其中必有两个数的和等于 21，故选：C．6．（10 分）小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放 1 张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；…摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第 20 次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（　　）张．A．571 B．572 C．573 D．574【分析】先找规律，第一次放 1 张纸片；后面每一次增加 3（n﹣1）个三角形，所以第二次放1+3 张纸片；第三次放 1+3+6 张纸片；第四次放 1+3+6+9 张纸片；据此规律解答即可．【解答】解：根据分析可得，第 20 次摆放后，该图形共用：1+3+6+9+…+3×（20﹣1）＝1+3+6+9+…+57＝（3+57）×（20﹣1）÷2+1＝570+1＝571（个）答：第 20 次摆放后，该图形共用了正三角形纸片 571 张．故选：A．二、填空题（共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分） 7．（10 分）磊磊买了一本新书，非常喜欢．第一天读了这本书的 还多 12 页，第二天读了剩余的 还多 15 页，第三天读了剩余的 还多 18 页，这时还剩 42 页未读．那么这本书的页数是　 190 　 ．【分析】利用倒推法，即可得出结论．【解答】解：第二天剩余（42+18）÷ ＝90（页），第一天剩余（90+15）÷ ＝140（页），这本书的页数（140+12）÷ ＝190（页），故答案为 190．8．（10 分）某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢 18 这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为 1 和 8，且1 在 8 的前面，那么小李的号码牌有　 34560 　 种不同的选择方式．（英文共有 26 个字母）【分析】本题考察排列组合．【解答】解：除掉 18 剩余的三个位置有 10×24×24＝5760（种），所以 18 在一二位有 5760 种；18 在二三位有 5760 种；18 在三四位有 5760 种；18 在四五位有 5760×3＝17280 种；综上，共有 5760×6＝34560（种），故填 34560．9．（10 分）在一个自然数的所有因数中，能被 3 整除的因数比奇因数多 5 个，那么这个自然数最小是72 　 ．【分析】考虑对这个自然数做质因数分解，分析其质因数及其个数，进而计算出这个自然数．【解答】解，既然存在被 3 整除的因数，那么这个自然数里一定有 3 作为质因数，然后尝试枚举能被 3 整除的因数，考虑有质数 2，从小到大依次是 2×3＝6，3×3＝9，2×2×3＝12，2×3×3＝18，2×2×2×3＝24，2×2×3×3＝36，至此已满足条件，由此得到的自然数是 2×2×2×3×3＝72，如果考虑到 72 也是其自己的因数，那么 1 也是 72 的因数，仍然满足能被 3 整除的因数比奇因数多 5 个的条件，问题得解．故答案为 72．10．（10 分）一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有　 32 　 种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）【分析】本题考察排列组合．【解答】解：从一个面出发，第一次有 4 个不同的方向选择，这四个方向的情况数目是相同的，所以考虑一种即可，我们考虑从正面出发的情况，正→上→背→右→下→左→正正→上→背→左→下→右→正正→上→左→下→背→右→正正→上→左→背→右→下→正正→上→左→背→下→右→正正→上→右→下→背→左→正正→上→右→背→左→下→正正→上→右→背→下→左→正所以总共有 4×8＝32（种）故填：32． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:04:08；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800