2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 B（小学组）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）3 +5 +7 +9 ＝　 　．2．（10 分）将 120 名男生和 140 名女生分成若干小组，要求每组男生的人数相同，女生的人数也相同，则最多可以分成　 　组．3．（10 分）A、B两地相距 500 千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地出发去B地．甲每天骑 30 千米，乙每天骑 50 千米，但乙骑一天休息一天，第　 　天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．4．（10 分）三个牧人在一起，甲对乙说：“如果把你的羊给我一只，然后把我的羊总数的五分之一给你，我们两个的羊就一样多了．”甲对丙说：“如果把你的羊给我两只，然后把我的羊总数的七分之二给你，我们两个的羊就一样多了．”那么三个人羊的总数最少是　 　．5．（10 分）如图，两条线段将边长 10 厘米的正方形分为两个高度相等的直角梯形S1、S2和一个直角三角形，其中两个梯形的面积相差 10 平方厘米．那么图中所示的直角三角形的边长X＝　 　厘米．6．（10 分）用同一种颜色对 4×4 方格的 6 个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如图），那么共有　 　种涂色的图案．7．（10 分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是　 　（立方厘米）．8．（10 分）不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是　 　．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）长方形ABCD的面积是 416 平方厘米，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．10．（10 分）某年级一、二两个班在植树节进行植树活动，两个班植树的总棵数相同，都在 205～300棵之间，两个班都有一人不植树，为大家送水，一班的其他人每人植树 7 棵，二班的其他人每人植树 13 棵．求这两个班的总人数．11．（10 分）求所有满足如下条件的四位数n： （1）n的第一位和第三位数字相同；（2）n的第二位和第四位数字相同；（3）n的各位数字的乘积是n2的约数．12．（10 分）100 名运动员的编号是从 1 到 100．若每个运动员在黑板上写下自己编号中的最大奇因子，那么所有运动员在黑板上写下的数的总和是多少？三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）一个长 40、宽 25、高 50 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中 0＜a≤50，现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？14．（15 分）在下面的加法坚式中，不同的汉字可以代表相同的数字，那么满足要求的不同算式共有多少种？2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 B（小学组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）3 +5 +7 +9 ＝　 27 　．【分析】通过观察，此题可先把每个分数拆成“整数+分数”的形式，然后把整数与分数分别相加，分数部分进行通分计算．【解答】解：3 +5 +7 +9＝（3+5+7+9）+（ + + + ）＝24+（ + + + ）＝24+3＝27 ．故答案为：27 ．2．（10 分）将 120 名男生和 140 名女生分成若干小组，要求每组男生的人数相同，女生的人数也相同，则最多可以分成　 20 　 组．【分析】要使每组男生的人数相同，女生的人数也相同，最多分几组，只要求出 120 和 140 的最大公约数，即可得解．【解答】解：120＝2×2×2×3×5，140＝2×2×5×7，所以 120 和 140 的最大公约数是 2×2×5＝20，答：最多可以分成 20 组．故答案为：20．3．（10 分）A、B两地相距 500 千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地出发去B地．甲每天骑 30 千米，乙每天骑 50 千米，但乙骑一天休息一天，第　 15 　 天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．【分析】如果天数是双数，乙相当于每天骑 50÷2＝25（千米），设第n天行程结束时，乙距b地的路程是甲距b地路程的 2 倍，根据题意得方程：（500﹣30n）×2＝500﹣25n 解得：n＝14.2857 天数不会是小数，所以天数肯定是单数．设第n+1 天行程结束时，乙距b地的路程是甲距b地路程的 2 倍，然后列方程解答即可．【解答】解：如果天数是双数， 乙相当于每天骑 50÷2＝25（千米），设第n天行程结束时，根据题意得方程：（500﹣30n）×2＝500﹣25n解得：n＝14.2857，天数不会是小数，所以天数肯定是单数．设第n+1 天行程结束时，根据题意得方程：500﹣25n﹣50＝[500﹣30（n+1）]×2 解得：n＝14，n+1＝15（天）；答：第 15 天行程结束时，乙距b地的路程是甲距b地路程的 2 倍．4．（10 分）三个牧人在一起，甲对乙说：“如果把你的羊给我一只，然后把我的羊总数的五分之一给你，我们两个的羊就一样多了．”甲对丙说：“如果把你的羊给我两只，然后把我的羊总数的七分之二给你，我们两个的羊就一样多了．”那么三个人羊的总数最少是　 43 　 ．【分析】根据甲对乙说的那句话，首先给甲一个，再拿 5 分之 1 给乙，所以甲加 1 就是 5 的倍数；同理，根据甲对丙说的，可以得到，甲加 2 就是 7 的倍数；通过计算，甲至少 19 个，然后再推理计算出乙和丙的只数即可解解答问题．【解答】解：根据题干分析可得，甲的只数加 1，是 5 的倍数，加 2 是 7 的倍数，所以甲最少有19 只羊，19+1＝20（只），20× ＝4（只），20﹣4＝16（只），所以乙至少有 16﹣4+1＝13（只），19+2＝21（只），21× ＝6（只），21﹣6＝15（只），所以丙至少有 15﹣6+2＝11（只），19+13+11＝43（只），答：三个人至少一共有 43 只．故答案为：43．5．（10 分）如图，两条线段将边长 10 厘米的正方形分为两个高度相等的直角梯形S1、S2和一个直角三角形，其中两个梯形的面积相差 10 平方厘米．那么图中所示的直角三角形的边长X＝　 4 　 厘米．【分析】因为ABCD是正方形，而正方形的边长是 10 厘米，所以BE＝10÷2＝5 厘米，再根据梯形的面积公式与两个梯形的面积相差 10 平方厘米，列出等式求出AB与CG的差．【解答】解：（AB+EF）×5÷2﹣（CG+EF）×5÷2＝10AB+EF﹣CG﹣EF＝20÷5＝4 所以AB﹣CG＝4，即x＝4故答案为：4．6．（10 分）用同一种颜色对 4×4 方格的 6 个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如图），那么共有　 8 　 种涂色的图案．【分析】按照要求把 4x4 方格的 6 个格子进行涂色，左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数，把 6 分成几个数的和，左边的数最大是 4，例如 4+1+1＝6，涂在第一列开始或从第二列开始有 2 种图案；4+2＝6，分别从 1、2、3 列开始涂色，有 3 种图案；3+2+1，分别从 1、2 列开始涂色，有 2 种图案；3+1+1+1，只有从第 1 列开始涂色 1 种图案；把它们加起来，即可得解．【解答】解：如图，2+3+2+1＝8（种），答：那么共有 8 种涂色的图案．故答案为：8．7．（10 分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是　 　（立方厘米）．【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可． 【解答】解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长为 10cm的正方体，OE⊥CD且E是CD的中点，所以棱锥的高OE＝10cm，所以四棱锥的体积为 ×102×10＝ （cm3）；答：这个几何体的体积是 立方厘米．故答案为： ．8．（10 分）不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是　 17 　 ．【分析】在正整数中，三个最小的合数是 4，6，8，先计算它们的和，然后将其与最接近的奇数比较，最后再来证明此结论的正确性．【解答】解：在正整数中，三个最小的合数是 4，6，8，它们的和是 4+6+8＝18，于是 17 是不能用三个不同的合数的和表示的奇数． 下面证明大于等于 19 的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示．由于当k≥3 时，4，9，2k是三个不同的合数，并且 4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于 19 的奇数n都能用 4，9，2k（k＝ ）的和来表示．综上所述，不能表示为 3 个不相等的合数的和的最大奇数是 17．故答案为：17．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）长方形ABCD的面积是 416 平方厘米，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和三角形DGF的面积就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可．【解答】解：三角形ADF＝416÷2＝208（平方厘米），因为点D为EG的中点，所以三角形AED+三角形DFG＝208（平方厘米），梯形AFGE的面积：208+208＝416（平方厘米）， 答：梯形AFGE的面积是 416 平方厘米．10．（10 分）某年级一、二两个班在植树节进行植树活动，两个班植树的总棵数相同，都在 205～300棵之间，两个班都有一人不植树，为大家送水，一班的其他人每人植树 7 棵，二班的其他人每人植树 13 棵．求这两个班的总人数．【分析】因为两个班植树的总棵数相同，是 7 和 13 的整数倍，所以求出 7 和 13 的最小公倍数，然后乘一个整数倍所得的数在 205 和 300 之间，这个数就是两个班每班植树的总棵数，这个数除以 7加 1 是一班人数，除以 13 加 1 是二班人数，最后加起来，即可得解．【解答】解：7 和 13 互质，所以 7 和 13 的最小公倍数是 7×13＝91，91×3＝273（棵），205＜273＜300，一班人数：273÷7+1＝40（人），二班人数：273÷13+1＝22（人），总人数：40+22＝62（人）；答：求这两个班的总人数是 62 人．11．（10 分）求所有满足如下条件的四位数n：（1）n的第一位和第三位数字相同；（2）n的第二位和第四位数字相同；（3）n的各位数字的乘积是n2的约数．【分析】首先设出未知数的形式，然后讨论两数之间的关系，同时注意这个四位数是 101 的倍数，而且是质数，找到数字关系枚举即可．【解答】解：依题意可知：设n＝ ＝101 ，还有a2b2是n2的约数，所以ab就是n的约数．由于 101 是质数，即ab是 101 的约数，因为ab与 101 互质，故ab是 的约数，于是有ab|（10a+b），则a|b且b|10a，所以b＝a，2a或 5a，即 的值可以为 11、12、15、24、36．答：四位数为：1111、1212、1515、2424、3636．12．（10 分）100 名运动员的编号是从 1 到 100．若每个运动员在黑板上写下自己编号中的最大奇因子，那么所有运动员在黑板上写下的数的总和是多少？【分析】由于从 1～100 中，64 的奇数倍有 1 个，它的最大奇因子为 1，32 的奇数倍为 2 个（32、96），它的最大奇因子为分别为 1、3．同理分别求出 16、4、2、1 的最大奇数倍的个数及它们的最大奇因子后，即能求出数的总和是多少．【解答】解：由于从 1～100 中，64 的奇数倍有 1 个，它的最大奇因子为 1．32 的奇数倍为 2 个，它的最大奇因子为分别为 1、3．16 的奇数倍为 3 个，它的最大奇因子为分别为 1、3、5．8 的奇数倍为 6 个，它的最大奇因子为分别为 1、3、5、7、9．4 的奇数倍为 13 个，它的最大奇因子为分别为 1、3、5、7、9…25．2 的奇数倍为 25 个，它的最大奇因子为分别为 1、3、5、7、…49．1 的奇数倍为 50 个，它的最大奇因子为分别为 1、3、5、7、…99．1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+…+11）+（1+3+5+…+25）+（1+3+5+…+49）+（1+3+5+…99）＝1+4+9+（1+11）×[（11﹣1）÷2+1]÷2+（1+25）×[（25﹣1）÷2+1]÷2+（1+49）×[（49﹣1）÷2+1]÷2+（99+1）×[（99﹣1）÷2+1]÷2＝14+36+169+625+2500＝3344．即它们的总和是 3344．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）一个长 40、宽 25、高 50 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中 0＜a≤50，现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？【分析】此题要分情况进行讨论，若放入铁块时水溢出容器，此时先计算水恰好上升至至容器口时这种临界情况，根据容器的体积等于原来水的体积加上铁块的体积，列出等式计算此种情况下 原来的水深，则当原水深介于此值到 50 之间时，放入铁块后水深为 50 厘米；若原来容器中的水较，放入铁块后还未溢出，此时先计算水恰好与铁块同高这种临界情况，根据放入铁块前容器中水的体积加上铁块的体积等于容器的底面积乘以此时水面的高度，列出等式计算此情况下原来的水深，当原来的水深介于此值与第一种情况的临界值时，计算放入铁块后的水深；最后一种情况是当容器中的水非常少时，放入铁块后仍未淹没铁块，同理列出灯亮关系求解．【解答】解：由题设，知水箱底面积S＝40×25＝1000（cm2），水箱体积V水箱＝1000×50＝50000（cm3），铁块体积V铁＝10×10×10＝1000（cm3）．（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 50cm时1000a+1000＝50000，得a＝49（cm）．所以，当 49≤a≤50 时，水深为 50cm（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10cm时1000a+1000＝10000，得a＝9（cm）．所以，当 9≤a＜49 时，水深为 ＝（a+1）cm．（3）由（2）知，当 0＜a＜9 时，设水深为xcm，则1000x＝1000a+100x．得x＝ （cm）．答：当 0＜a＜9 时，水深为 acm；当 9≤a≤49 时，水深为（a+1）cm；当 49≤a≤50 时，水深为 50cm．14．（15 分）在下面的加法坚式中，不同的汉字可以代表相同的数字，那么满足要求的不同算式共有多少种？【分析】根据整数加法的计算方法进行推算即可．【解答】解：由竖式可得：“华”＝1；因为加法坚式中，不同的汉字可以代表相同的数字；所以，个位上的“月”+“日”+“赛”的和是 21、11 或 1；个位上的“月”+“日”+“赛”的和是 21，向十位上进 2；十位上 4+6+“决”+2 的末尾是 1，由 4+6+9+2＝21，可得“决”＝9，向百位上进 2；百位上 1+“杯”+2 的末尾是 0，由 1+7+2＝10，可得“杯”＝7，向千位上进 1；千位上 1+1 正好是 2；由以上可得，只要个位上的和是 21，“华”、“杯”、“决”是固定的数；同理个位上的“月”+“日”+“赛”的和是 11，可得，“华”＝1、“杯”＝9、“决”＝0，也是固定的数；个位上的“月”+“日”+“赛”的和是 1，可得，“华”＝1、“杯”＝9、“决”＝1，也是固定的数；因此“月”、“日”、“赛”决定不同的算式；①“月”+“日”+“赛”＝21；7+7+7＝21，可得 1 种；6+7+8＝21，可得 6 种；6+6+9＝21，可得 3 种；5+8+8＝21，可得 3 种；5+7+9＝21，可得 6 种；4+8+9＝21，可得 6 种；3+9+9＝21，可得 3 种；那么月”+“日”+“赛”的和是 21，可以得到 1+6+3+3+6+6+3＝28 种不同算式； ②“月”+“日”+“赛”＝11；2+0+9＝11，可得 6 种；3+0+8＝11，可得 6 种；4+0+7＝11，可得 6 种；5+0+6＝21，可得 6 种；1+1+9＝11，可得 3 种；2+1+8＝11，可得 6 种；3+1+7＝11，可得 6 种；4+1+6＝11，可得 6 种；5+1+5＝11，可得 3 种；2+2+7＝11，可得 3 种；3+2+6＝11，可得 6 种；4+2+5＝11，可得 6 种；3+3+5＝11，可得 3 种；4+3+4＝11，可得 3 种；那么月”+“日”+“赛”的和是 11，可以得到 6+6+6+6+3+6+6+6+3+3+6+6+3+3＝69 种不同算式；③“月”+“日”+“赛”＝1；0+0+1＝1，可得 3 种；那么月”+“日”+“赛”的和是 1，可以得到 3 种不同算式；综上可得：一共有 28+69+3＝100 种不同算式．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:54:05；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800