2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小学高年级组）一、填空题（共 8 小题，每小题 10 分，满分 80 分）1．（10 分）计算： ＝　 　．2．（10 分）自动扶梯停止运行时，一个小孩要用 90 秒钟才能走完 60 米长的自动扶梯．自动扶梯运行时则可用 60 秒钟将乘客从底端送到顶端．若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小孩从扶梯底端到达顶端需要　 　秒．3．（10 分）两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人A用圆形赛道，其直径是 1 千米；骑车人B用直线赛道，其长度为 5 千米． 骑车人A用 10 分钟完成 3 圈，而骑车人B用 5 分钟行进了 2 个来回．那么骑车人A与骑车人B的速度比是（　　）A．1：1.6π B．π：10 C．3：4 D．3π：404．（10 分）山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按 5：4 的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按 5：4 的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了 29 个桃子，则猴老二拿了　 个桃子．5．（10 分）如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这 100 个三角形的所有线段中有　 条线段长度为整数．6．（10 分）从 1、2、3、…、7 中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和．则符合条件的取法（　　）种．A．6 B．7 C．8 D．97．（10 分）若一个四位数 5ab4 是一个数的平方，则 a+b＝　 　．8．（10 分）从小明家到游泳池的路上有 200 棵树．在往返的路途中，小明用红丝带系在一些树上做标记，去游泳池的时候，他在第 1 棵树、第 6 棵树、第 11 棵树、…上做了标记，每次都隔 4 棵树标记一棵；返回时，他在遇到的第 1 棵树、第 9 棵树、第 17 棵树、…上做了标记，每次都隔 7 棵树标记一棵．则他回到家时，没有被标记的树共有　 　棵．二、解答下列各题（每题 10 分，满分 40 分）9．（10 分）如图，沿正方体XYTZ﹣ABCD的两个平面BCTX和BDTY切割，将此正方体切成 4 块．请问含有顶点A的那一块占正方体体积的几分之几？10．（10 分）如图，ABCD是一个长方形，从G、F、E引出的小横线都平行于AB．若AD＝12，则AG等于多少？ 11．（10 分）影院正在放映《玩具总动员》、《冰河世纪》、《怪物史莱克》、《齐天大圣》四部动漫电影，票价分别为 50 元、55 元、60 元、65 元．来影院的观众至少看一场，至多看两场．因时间关系《冰河世纪》与《怪物史莱克》不能都观看，若今天必有 200 人看电影所花的钱一样多，则影院今天至少接待观众多少人？12．（10 分）现有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同，且每种颜色的灯泡都至少有一个，安装方法共有多少种？三、解答下列题（共 2 小题，每题 15 分，满分 30 分.要求写出详细过程）13．（15 分）将从 1 到 30 的自然数分成两组，使得第一组中所有数的乘积A能被第二组中所有数的乘积B整除．则 的最小值是多少？14．（15 分）如图，在边长大于 20cm的正方形PQRS中，有一个最大的圆O，若圆周上一点T到PS的距离为 8cm，到PQ的距离为 9cm．则圆O的半径是多少厘米？2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小学高年级组）参考答案与试题解析一、填空题（共 8 小题，每小题 10 分，满分 80 分）1．（10 分）计算： ＝　 2013 　 ．【分析】首先根据平方差公式分别对繁分数的分子和分母进行化简，然后再求解即可．【解答】解：＝＝＝2013故答案为：2013． 2．（10 分）自动扶梯停止运行时，一个小孩要用 90 秒钟才能走完 60 米长的自动扶梯．自动扶梯运行时则可用 60 秒钟将乘客从底端送到顶端．若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小孩从扶梯底端到达顶端需要　 36 　 秒．【分析】把自动扶梯的长度看作单位“1”，则这个小孩走完 60 米长的自动扶梯所用时间为 ，自动扶梯将乘客从底端送到顶端用的时间为 ，那么小孩从扶梯底端到达顶端需要的时间为 1÷（+ ），解决问题．【解答】解：1÷（ + ）＝1÷＝36（秒）答：小孩从扶梯底端到达顶端需要 36 秒．故答案为：36．3．（10 分）两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人A用圆形赛道，其直径是 1 千米；骑车人B用直线赛道，其长度为 5 千米． 骑车人A用 10 分钟完成 3 圈，而骑车人B用 5 分钟行进了 2 个来回．那么骑车人A与骑车人B的速度比是（　　）A．1：1.6π B．π：10 C．3：4 D．3π：40【分析】通过分析可知；A的速度为：πD×3÷10＝π×1000×3÷10＝300π（米/分）B的速度为：5000×2×2÷5＝4000（米/分）其速度比为：A：B＝π×1000×3÷10：5000×2×2÷5，据此解答即可．【解答】解：由题目中的数据，求得A的速度为：πD×3÷10＝π×1000×3÷10＝300π（米/分）B的速度为：5000×2×2÷5＝4000（米/分）其速度比为：A：B＝300π：4000＝3π：40故选：D．4．（10 分）山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按 5：4 的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按 5：4 的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了 29 个桃子，则猴老二拿了　 20 个桃子．【分析】首先根据题意，设这堆桃子的总量为单位“1”，分别求出三只猴子各拿走的比例，然后根据猴老大比猴老三多拿了 29 个桃子，求出桃子的总量，进而求出猴老二拿了多少个桃子即可．【解答】解：根据题意，设这堆桃子为单位“1”，则猴老大拿走了 ，则猴老二拿走了： × ，猴老三拿走了： × ，则桃子的总数： ＝81（个），候老二拿走的个数：81× × ＝20（个）答：猴老二拿了 20 个桃子．故答案为：20． 5．（10 分）如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这 100 个三角形的所有线段中有　 110 条线段长度为整数．【分析】观察图形可知：第一个三角形 2 条直角边长度为整数，从第二个三角形开始，每个三角形都有一个边长为 1 的直角边；则边长为 1 的线段有：2+99＝101（条）；前一个三角形的斜边是后一个三角形的一个直角边，根据勾股定理分别求出每个三角形斜边的长，找出开方后为整数的边，再加上 101 即可求出答案．【解答】解：观察图形可知：边长为 1 的线段有：2+99＝101（条）；根据勾股定理分别求出每个三角形斜边的长为：、 、 、 … 、 ；根据：12＝1，22＝4，32＝9，…102＝100；可知三角形斜边的长中有 9 个开方后为整数，即三角形斜边的长中有 9 条边的长度为整数．则：101+9＝110（条）答：构成这 100 个三角形的所有线段中有 110 条线段长度为整数．故答案为：110．6．（10 分）从 1、2、3、…、7 中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和．则符合条件的取法（　　）种．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】找出 1，2，3，…，7 这 7 个自然数那些是奇数，哪些是偶数，列出符合条件偶数之和等于奇数之和的算式，据此解答即可．【解答】解：1，2，3，4，5，6，7 中 1，3，5，7 是奇数，2，4，6 是偶数，1+3＝41+5＝63+7＝4+63+5＝2+61+7＝2+61+5＝2+45+7＝2+4+6共 7 种故选：B．7．（10 分）若一个四位数 5ab4 是一个数的平方，则 a+b＝　 9 　 ．【分析】702＝4900，802＝6400，5000 多的一个四位数，应该是 70 到 80 之间的一个两位数的平方．又它的末位数是 4，所以这个两位数的个位只能是 2 或 8．722＝5184，符合题意．再检验一下 782是否符合题意即可．【解答】解：722＝72×72＝5184 符合题意．782＝78×78＝6084，不符合题意．舍去．所以a＝1，b＝8．a+b＝1+8＝9．故答案为：9．8．（10 分）从小明家到游泳池的路上有 200 棵树．在往返的路途中，小明用红丝带系在一些树上做标记，去游泳池的时候，他在第 1 棵树、第 6 棵树、第 11 棵树、…上做了标记，每次都隔 4 棵树标记一棵；返回时，他在遇到的第 1 棵树、第 9 棵树、第 17 棵树、…上做了标记，每次都隔 7 棵树标记一棵．则他回到家时，没有被标记的树共有　 140 　 棵．【分析】根据题意，可得去游泳池的时候，每 5 棵树标记一棵，一共标记了 200÷5＝40 棵；返回时，每 8 棵树标记一棵，一共标记了 200÷8＝25 棵；重复标记的棵数是 200÷（5×8）＝5 棵，用 40 加上 25，减去 5，求出一共标记了多少棵树，最后用 200 减去标记的棵树，求出没有被标记的树共有多少棵即可．【解答】解：去游泳池的时候，每 5 棵树标记一棵，一共标记了 200÷5＝40（棵）；返回时，每 8 棵树标记一棵，一共标记了 200÷8＝25（棵）；重复标记的棵数是 200÷（5×8）＝5（棵），200﹣（40+25﹣5）＝200﹣60＝140（棵）答：没有被标记的树共有 140 棵．故答案为：140．二、解答下列各题（每题 10 分，满分 40 分）9．（10 分）如图，沿正方体XYTZ﹣ABCD的两个平面BCTX和BDTY切割，将此正方体切成 4 块．请问含有顶点A的那一块占正方体体积的几分之几？【分析】沿面BCTX切割，此时含有顶点A的那一块占正方体体积的 ，再沿BDTY切割，含有顶点A的那一块占沿面BCTX切割后的 ，由乘法原理可得含有顶点A的那一块占正方体体积为： ×＝ ．【解答】解：沿面BCTX切割，此时含有顶点A的那一块占正方体体积的 ，再沿BDTY切割，含有顶点A的那一块占沿面BCTX切割后的 ，所以含有顶点A的那一块占正方体体积为： × ＝ ．答：含有顶点A的那一块占正方体体积的 ．10．（10 分）如图，ABCD是一个长方形，从G、F、E引出的小横线都平行于AB．若AD＝12，则AG等于多少？【分析】因为四边形ABCD是一个长方形，所以它的对角线相等，点O是AC，BD的中点，所以点E是线段AD的中点，先根据中位线的性质求出AE的长，再根据EO与AB的比是 1：2，FH∥EO，求出AF的长．再根据GR∥FH，求出AG的长．【解答】解：如图： 因为ABCD是一个长方形且点G、F、E引出的小横线都平行于AB所以GR∥FH∥EO∥AB所以△EOH∽△BAH所以；OH：AH＝EO：AB因为ABCD是一个长方形所以AC＝BD＝2OC＝2OA＝2OB＝2ODAE＝AB所以，点E是线段AD的中点所以，EO：CD＝AO：AC＝1：2所以，OH：HA＝EO：AB＝AE：AD＝1：2所以AF：AE＝FH：EO＝AH：AO＝2：3又AD＝12所以，AE＝6，AF＝4FH：AB＝1：3又GR∥FH所以AG：AF＝AR：AH＝3：4所以AG＝ ×AF＝ ×4＝3．答：AG的长是 3．11．（10 分）影院正在放映《玩具总动员》、《冰河世纪》、《怪物史莱克》、《齐天大圣》四部动漫电影，票价分别为 50 元、55 元、60 元、65 元．来影院的观众至少看一场，至多看两场．因时间关系《冰河世纪》与《怪物史莱克》不能都观看，若今天必有 200 人看电影所花的钱一样多，则影院今天至少接待观众多少人？【分析】这个根据抽屉原理，观众花钱的选择有：50，55，60，65，105，110，115，120，125，总共 9 种选择，所以观众数为（200﹣1）×9+1 人．【解答】解：根据所给的条件，可以得到（200﹣1）×9+1＝1792（人）答：影院今天至少接待观众 1792 人．12．（10 分）现有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同，且每种颜色的灯泡都至少有一个，安装方法共有多少种？【分析】根据题意，分 3 步进行，第一步，为A、B、C三点选灯泡的颜色，由排列数公式可得其情况数目，第二步，在A1、B1、C1中选一个装第 4 种颜色的灯泡，第三步，为剩下的两个灯选颜色，分类讨论可得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分 3 步进行， 第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；第二步，在A1、B1、C1中选一个装第 4 种颜色的灯泡，有 3 种情况；第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．故为B1、C1选灯泡共有 3 种选法，即剩下的两个灯有 3 种情况，则共有A43×3×3＝216 种方法．答：安装方法共有 216 种．三、解答下列题（共 2 小题，每题 15 分，满分 30 分.要求写出详细过程）13．（15 分）将从 1 到 30 的自然数分成两组，使得第一组中所有数的乘积A能被第二组中所有数的乘积B整除．则 的最小值是多少？【分析】首先把大数分解成多个小数的乘积，1﹣30 内就有了很多相同的小的整数，要求两组数的商的最小值，说明两组数的乘积很接近，把相同的小数均分到两组里面，剩下的单个小数放到其中一个小组中，求出 的最小值即可．【解答】解：1 到 30 的自然数中质数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，合数：4＝2×2，6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，10＝2×5，12＝2×2×3，14＝2×7，15＝3×5，16＝2×2×2×2，18＝2×3×3，20＝2×2×5，21＝3×7，22＝2×11，24＝2×2×2×3，25＝5×5，26＝2×13，27＝3×3×3，28＝2×2×7，30＝2×3×5，把所有的因数整理一下，一共是：26 个 2，14 个 3，7 个 5，4 个 7，2 个 11，2 个 13，1 个 17，1个 19，1 个 23，1 个 29，即 30!＝226×314×57×74×112×132×17×19×23×29，若使 最小，则质因数只要尽量平分即可，则 ＝5×17×19×23×29＝1077205．答： 的最小值是 1077205．14．（15 分）如图，在边长大于 20cm的正方形PQRS中，有一个最大的圆O，若圆周上一点T到PS的距离为 8cm，到PQ的距离为 9cm．则圆O的半径是多少厘米？【分析】根据题意，作图如下： 设圆的半径为x（x＞10），则TM＝x﹣8，OM＝TN＝x﹣9，在直角三角形TMO中，根据勾股定理有：（x﹣8）2+（x﹣9）2＝x2，解方程即可．【解答】解：如图，设圆的半径为x（x＞10），则TM＝x﹣8，OM＝TN＝x﹣9，在直角三角形TMO中，根据勾股定理有：（x﹣8）2+（x﹣9）2＝x2整理得：x2﹣34x+145＝0即（x﹣5）（x﹣29）＝0得x＝5（舍去）或x＝29答：圆O的半径是 29 厘米．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:17；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800