2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第 1 试）一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）计算： + + + + + + ＝　 　．2．（10 分）如图所示，正方形ABCD的面积为 12，AE＝ED，且EF＝2FC，那么△ABF的面积是　 　．3．（10 分）某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共 1 天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共 9 天；6 个夜间和 7 个白天晴朗．则这段时间有　 　天，其中全天晴有　 　天．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且a2+b＝c．求所有满足条件的（a，b，c）．5．（10 分）纸板上写着 100、200、400 三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k个不同的非零自然数．那么k最大是多少？6．（10 分）将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：（1）正三角形各边上的数之和相等；（2）正三角形各边上的数之平方和除以 3 的余数相等．问：有多少种不同的填入方法？（注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法）2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第 1 试）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）计算： + + + + + + ＝　 　．【分析】通过观察，可把每个分数拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相互抵消，求得结果．【解答】解： + + + + + +＝1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣＝1﹣＝ ．故答案为： ．2．（10 分）如图所示，正方形ABCD的面积为 12，AE＝ED，且EF＝2FC，那么△ABF的面积是　 5 　 ． 【分析】连接DF，易得S△ABF+S△DCF＝SABCD，根据AE＝ED可得S△ECD＝SABCD，根据EF＝2FC可得S△DFC＝S△ECD，进而求解．【解答】解：连接DF，易得S△ABF+S△DCF＝SABCD＝6，根据AE＝ED可得S△ECD＝SABCD＝3，根据EF＝2FC可得S△DFC＝S△ECD＝1，则S△ABF＝6﹣1＝5；答：△ABF的面积是 5．故答案为：5．3．（10 分）某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共 1 天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共 9 天；6 个夜间和 7 个白天晴朗．则这段时间有　 12 　 天，其中全天晴有　 2 　 天．【分析】一天有白天和夜间两部分，下雨的有 9 部分，不下雨的有（6+7）即 13 部分，那么不是全天下雨的天数共有：（9+13）÷2＝11（天）；总天数为：11+1＝12（天）而 11 天中，有一部分下雨的为 9 天，则全不下雨的天数为：11﹣9＝2（天）．【解答】解：白天或夜间晴朗：6+7＝13（个）；不是全天下雨的天数共有：（9+13）÷2＝11（天）；总天数为：11+1＝12（天）；全晴天有：12﹣9＝2（天）．答：这段时间有 12 天，其中全天晴有 2 天．故答案为：12，2．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且a2+b＝c．求所有满足条件的（a，b，c）．【分析】由题意可知，c最小是 1111，b最大是 99，由a2+b＝c可知，1111﹣99＝1012，a最小是 33，即a是 33、44、55、66、77、88、99 之中的数，c就是比a的平方大不超过 100 的各位数字相同的四位数，依次试算即可解答．【解答】解：由分析可知：a＝33，a2＝1089，c＝1111，b＝22，符合题意；a＝44，a2＝1936，c＝2222，b＝296，不符合题意；a＝55，a2＝3025，c＝3333，b＝308，不符合题意；a＝66，a2＝4356，c＝4444，b＝88，符合题意；a＝77，a2＝5929，c＝6666，b＝737，不符合题意；a＝88，a2＝7744，c＝7777，b＝33，符合题意；a＝99，a2＝9801，c＝9999，b＝198，不符合题意；满足要求的解有三组： （a，b，c）＝（33，22，1111），（66，88，4444）），（88，33，7777）．5．（10 分）纸板上写着 100、200、400 三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k个不同的非零自然数．那么k最大是多少？【分析】此题属于天平两端放砝码的称重问题的变形．①原来三个数最多称出 6 种重量；②再加一个砝码A，最多 6×3＝18 种另外，与 400 组合和与差有 2 种，共 20 种；③再加第二被砝码B，解法同②．据此解答．【解答】解：① 100、200、400 最多称出 6 种重量：100、200、300、500、600、700；②再加一个砝码A，有不放、放左边、放右边三种情况，最多：6×3＝18 种；另外，与 400 组合和与差有 2 种，共 20 种；③再加第二被砝码B，同上最多有：20×3＝60 种；与 400、A分别组合和与差有 4 种，共 64 种．答：k最大是 64．6．（10 分）将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：（1）正三角形各边上的数之和相等；（2）正三角形各边上的数之平方和除以 3 的余数相等．问：有多少种不同的填入方法？（注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法）【分析】首先根据表示出各个位置的数字，列出数字和的关系，表示出平方的关系，最后按照除以 3 的余数分类进行枚举讨论即可．【解答】解：依题意可知设字母如图所示：a+b+c+d＝d+e+f+g＝g+h+i+a＝P．a2+b2+c2+d2＝d2+e2+f2+g2＝g2+h2+i2+a2＝Q（mod3）由 3P＝a+b+c+d+d+e+f+g+g+h+i+a＝45+a+d+g得a+d+g＝0（mod3）③3Q＝a2+b2+c2+d2+d2e2+f2+g2+g2+h2+i2+a2＝285+a2+d2+g2．得：a2+d2+g2＝0（mod3）④由（3）和（4）得到a＝d＝g＝0（mod3）．按照余数分类 3，6，9 余数是 0，1，4，7 余数是 1，2，5，8 余数是 2．首先设a＝1，d＝4，g＝7．则b+c+e+f+h+i＝45﹣12＝33．那么b+c+e+f+h+i＝3（b+c）﹣6﹣3，b+c＝14．（1）、b+c＝9+5，e+f＝2+6，h+i＝8+3 由于两边中间数都可以互换，所以共有 23＝8 种情况．（2）、b+c＝8+6，e+f＝3+5，h+i＝9+2，又是 8 种．对于a＝2，d＝5，g＝8 和a＝3，d＝6，g＝9 也各有 16 种．因此一共有 48 种．综上所述共 48 种．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 10:52:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800