2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组二试）一、填空题（共 3 小题，每小题 0 分，满分 0 分）1．静水中，甲船速度是乙船速度的两倍．甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B两地的距离之是 3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是　 　．2．一个 8 行n列的阵列队伍，如果排成若干个 15 行 15 列的方阵，还余下 3 人，一人举旗，2 人护旗．则n最小等于　 　．3．自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝　 　．二、解答题（共 3 小题，满分 0 分）4．小华把数字 2～9 分成 4 对，使得每对数的和为质数．问一共有多少种不同的分法？5．将 1，2，3，…，37，这 37 个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+ak能被ak+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？6．15 张卡片，每张卡片上写有 3 个不同的汉字，任意 2 张上的汉字不完全相同；任意 6 张中，一定有2 张，它们上面有共同的汉字．问：这 15 张卡片上最多有多少个不同的汉字？2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组二试）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 小题，每小题 0 分，满分 0 分）1．静水中，甲船速度是乙船速度的两倍．甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B两地的距离之是 3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是　 5 ： 7 　 ．【分析】由甲船速度是乙船速度的两倍先设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为 2x，水速为y，根据甲、乙两船相向而行，相遇时距A、B两地的距离之比是 3：1，可知从A到B为顺水，从B到A为逆水，就可得出第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（x﹣y）＝3：1，即可求出x＝4y；那么甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，第二次相遇时的速度比为：（2x﹣y）：（x+y），再由x＝4y，即可求出相遇时距A、B的距离之比．【解答】解：设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为 2x，水速为y，第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（x﹣y）＝3：1，即可求出x＝4y；第二次相遇时的速度比为：（2x﹣y）：（x+y），因为x＝4y，所以（2x﹣y）：（x+y）＝（2×4y）：（4y+y）＝7：5，即相遇时距A、B的距离之比 5：7．故答案为：5：7．2．一个 8 行n列的阵列队伍，如果排成若干个 15 行 15 列的方阵，还余下 3 人，一人举旗，2 人护旗．则n最小等于　 141 　 ．【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是 8 的倍数，一个小方阵有 15×15＝225 人，设有k个方阵，那么 8n＝225k+3，则 225k+3 应该是 8 的倍数，考虑除以 8 的余数，k最小为 5，n最小为 141．【解答】解：设有k个方阵，那么 8n＝225k+3，当k＝1 时，225+3＝228，不是 8 的倍数；不符合题意；当k＝2 时，225×2+3＝453，不是 8 的倍数，不符合题意；当k＝3 时，225×3+3＝678，不是 8 的倍数，不符合题意；当k＝4 时，225×4+3＝903，不是 8 的倍数，不符合题意；当k＝5 时，225×5+3＝1128，是 1128÷8＝141；答：k最小为 5 时，n最小为 141．故答案为：141．3．自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝　 3 　 ．【分析】解：如图， ，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2，BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2，CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2，所以AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S1+S3+S5＝S2+S4+S6，所以S4﹣S3＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）＝2+1＝3，据此解答即可．【解答】解：如图， ，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2＝AF2+FP2…①，BP2＝BF2+FP2…②，①﹣②，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2…③， 同理，可得BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2…④，同理，可得CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2…⑤，③+④+⑤，可得AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2，所以 （AF2+BD2+CE2）＝ ×（BF2+CD2+EA2），因此S1+S3+S5＝S2+S4+S6，所以S4﹣S3＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）＝2+1＝3故答案为：3．二、解答题（共 3 小题，满分 0 分）4．小华把数字 2～9 分成 4 对，使得每对数的和为质数．问一共有多少种不同的分法？【分析】因为使得每对数的和为质数，不可能把两个偶数或两个奇数分为一组，只能是一奇一偶，根据 20 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19 来尝试分组即可．【解答】解：显然这 4 对数均为 1 奇 1 偶，6 只能和 5 或 7 一组．（1）6 与 5 一组，那么 7 与 4 一组，剩下 4 个数有 2 种排法：2 与 3，8 与 9（或 8 与 3，2 与9）．（2）6 与 7 一组，① 4 和 3 一组，剩下 4 个数 2 种排法：2 与 9，5 与 8（或 2 与 5，8 与 9）；② 4 和 9 一组，剩下 4 个数 2 种排法：2 与 5，8 与 3（或 2 与 3，8 与 5）．一共有 6 种排法．5．将 1，2，3，…，37，这 37 个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+ak能被ak+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？【分析】显然这 37 个数的总和是a37的倍数，所以总和 37×19 是a37的倍数，由此求出a37的值，对于a3，有 38 是a3的倍数，由此求出a3的值，解决问题．【解答】解：这 37 个数的总和是a37的倍数，所以总和 37×19 是a37的倍数，所以a37＝19；对于a3，a3可以整除a1+a2＝37+1＝38，所以 38 是a3的倍数，所以a3＝2．6．15 张卡片，每张卡片上写有 3 个不同的汉字，任意 2 张上的汉字不完全相同；任意 6 张中，一定有2 张，它们上面有共同的汉字．问：这 15 张卡片上最多有多少个不同的汉字？【分析】考察 1～6 张卡片，至少有 2 个汉字重复，不妨设第一张有汉字重复，考察 2～7 张卡片，至少有 2 个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复，…，考察 10～15 张卡片，至少有 2 个汉字重复，这样的话，至少重复了 10 次，15 张卡片共 45 个汉字，至多还有 35 个不同的汉字．【解答】解：根据题干分析可得：1～6 张卡片，至少有 2 个汉字重复，不妨设第一张有汉字重复，2～7 张卡片，至少有 2 个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复，…，10～15 张卡片，至少有 2 个汉字重复，这样的话，至少重复了 10 次，又因为 15 张卡片共 45 个汉字，45﹣10＝35（个），答：至多有 35 个不同的汉字．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:39；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800