挑战压轴题：中考数学压轴题精选精析
发布时间：2024-12-04 10:12:43浏览次数：5CDBAEOxy图1DExyCBAO中考数学压轴题精选精析25．（2010 广东广州，25，14 分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 ＝－ ＋ 交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与 的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．【答案】（1）由题意得 B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即 1＜b≤ ，如图 25-a， 此时E（2b，0）∴S＝OE·CO＝ ×2b×1＝b
∵ ， ∴当 时， ，此时点M的坐标为（ ， ）． ………………………………（12 分）（10 浙江杭州）24. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是 y = +1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与 y 轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标； (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；② 当梯形CMQP的两底的长度之比为 1：2 时，求t的值.24. (本小题满分 12 分)(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且 AB = OC = 4，∵A，B 在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴ A，B 的横坐标分别是 2 和– 2， 代入 y = +1 得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，∴M (0，2)， ---2 分 (2) ① 过点Q作QH x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，由△HQP∽△OMC，得： , 即： t = x – 2y , ∵ Q(x,y) 在 y = +1 上， ∴ t = – + x –2. ---2 分当点 P 与点 C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1 ,当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = 2241x（第 24 题）（第 24 题）241x42txy 241x221x5
∴x的取值范围是x 1 , 且x 2 的所有实数. ---2分② 分两种情况讨论： 1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上， ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的 2 倍，即 2 = 2( +1)，解得x = 0 ，∴t = – + 0 –2 = –2 . ---2 分2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上， ∵CM∥PQ，CM = PQ，∴点Q纵坐标为点M纵坐标的 2 倍，即 +1=22，解得： x = . ---2 分 当x = – 时，得t = – – –2 = –8 – , 当x = 时， 得t = –8. ---2 分（10 浙江温州）24．(本题 l4 分)如图，在 RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点 B 作射线BBl∥AC．动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 出发沿射线AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H，过点 E 作 EF 上 AC 交射线 BB1于 F，G 是 EF中点，连结 DG．设点 D 运动的时间为 t 秒．(1)当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度；(2)当△DEG 与△ACB 相似时，求 t 的值；(3)以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后的图形为 A′C′． ①当 t>35时，连结 C′C，设四边形 ACC′A ′的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；②当线段 A ′C ′与射线 BB，有公共点时，求 t 的取值范围(写出答案即可)．（10 重庆）26．已知：如图（1）， 在平面直角坐标xOy中，边长为 2的等边△OAB的顶点B在第一象限， 顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发， 点Q以每秒 1 个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒 3 个单 位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也 随即停止.（1）求在运动过程中形成的 △OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取 值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除 外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；5241x202121241x32322)32(2132 3232 32
（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．（10 安徽芜湖）24．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．解：（10 甘肃兰州）28.（本题满分 11 分）如图 1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线 经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图 2 所示）. ① 当 时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的坐标；若无可能，请说明理由．图 1 第 28 题图 图 228. （本题满分 11 分） 解：（1）因抛物线 经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）故可得 c=0,b=4所以抛物线的解析式为 …………………………………………1 分由得当x=2 时，该抛物线的最大值是 4. …………………………………………2 分（2）① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，设直线ME的关系式为y=kx+b.于是得 ，解得cbxxy 2411tcbxxy 2xxy 42xxy 42 22 4y x 4204bkbk82bk
1-21AxyOBPMCQED所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3 分由已知条件易得，当 时，OA=AP=， …………………4 分∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. ∴ 当 时，点P不在直线ME上. ……………………………………5 分②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为 5∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6 分∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3- t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7 分（ⅰ）当PN=0，即t=0 或t=3 时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S= DC·AD=×3×2=3. （ⅱ）当PN≠0 时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵ PN∥CD，AD⊥CD，∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8 分当-t 2+3 t+3=5 时，解得 t=1、2…………………………………………………9 分 而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为 5综上所述，当 t=1、2 时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为 5，当 t=1 时，此时 N 点的坐标（1,3）………………………………………10 分当 t=2 时，此时 N 点的坐标（2,4）………………………………………11 分说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0 和t=3 时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）（10 江苏盐城）28．（本题满分 12 分）已知：函数y=ax2+x+1 的图象与x轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1 图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．28．解：（1）当a = 0 时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1 分)当a≠0 时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个 公共点．∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3 分） （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C．∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）………（4 分）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴PCOB=BCAO，故PC=2BC，……………………………………………………（5 分）设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x<-2411t411)411,411(P411t21212121
（第 24 题）DEQBACPHDHQEBACP（图 1 ）HQDEPBAC（图 2 ）∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)∵点P在二次函数y=x2+x+1 的图象上，∴-4-2x=x2+x+1…………………（6 分）解之得：x1=-2，x2=-10∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7 分）（3）点M不在抛物线上……………………………………………（8 分）由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=∴Q点的坐标为(-，)可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11 分）∵=≠∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12 分）(其它解法，仿此得分)（10 浙江台州）24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？24．（14 分）（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴∠ HQD=∠ C=90°，HD=HA，∴∠ HDQ=∠ A，…………………………………………………………………………3 分∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1 分（2）①如图 1，当0<x≤2. 5时， ED=10−4 x，QH=AQ tan∠ A=34x，此时y=12(10−4 x )×34x=−32x2+154x． …………………………………………3 分当x=54时，最大值y=7532．②如图 2，当2 .5<x ≤5时，ED=4 x−10，QH=AQ tan∠ A=34x，此时y=12(4 x−10 )×34x=32x2−154x． …………………………………………2 分当x=5时，最大值y=754．
Byl∴y与x之间的函数解析式为y={−32x2+154x (0<x ≤2. 5),32x2−154x (2 .5< x≤5).y的最大值是754．……………………………………………………………………1 分（3）①如图 1，当0<x≤2. 5时，若DE=DH，∵DH=AH=QAcos ∠ A=54x， DE=10−4 x，∴10−4 x=54x，x=4021．显然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1 分②如图 2，当2 .5<x ≤5时，若DE=DH，4 x−10=54x，x=4011； …………………………………………1 分若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5； ………………………1 分若ED=EH，则△EDH∽△HDA，∴EDDH=DHAD，4 x−1054x=54x2 x，x=320103． ……………………………………1 分∴当x的值为4021,4011, 5 ,320103时，△HDE是等腰三角形.（其他解法相应给分）（10 浙江金华）24.(本题 12 分)如图，把含有 30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3 ）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为 1， ，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t﹦4 时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？② 当t﹦2 时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．(本题 12 分)
BFAPEOxyGP′P′( 图 1)BFAPEOxyMP′H（图 2)BFAPEOxQ′B′QCC1D1( 图 3)解：（1）y=−√3 x+3√3；………4 分 （2）（0,√3），t=92；……4 分（各 2分） （3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图 1） ∵OE=FG,EP=FP,∠EOP=∠FGP=90° ∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒又∵OE=FG=√33t,∠A=60°,∴AG=FGtan 600=13t 而AP=t，∴OP=3−t,PG= AP− AG=23t 由3−t =23t得 t=95；………………………………………………………………1 分 当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图 2） ∵OE=√33t,∴BE=3√3−√33t,∴EF=BEtan 600=3−t3 ∴MP=EH=12EF=9−t6， 又∵BP=2(t−6 ) 在 Rt△BMP中，BP⋅cos600=MP 即2(t−6 )⋅12=9−t6，解得t=457．…………………………………………………1 分②存在﹒理由如下： ∵t=2，∴OE=23√3,AP=2，OP=1将△BEP绕点E顺时针方向旋转 90°，得到△B'EC（如图 3） ∵OB⊥EF，∴点B'在直线EF上，C点坐标为（23√3，23√3－1） 过F作FQ∥B'C，交EC于点Q,则△FEQ∽△B'EC 由BEFE=B'EFE=CEQE=√3，可得Q的坐标为（－23，√33）………………………1 分根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（－23，√3）也符合条件．……1 分（10 山东烟台）26、（本题满分 14 分）如图，已知抛物线 y=x2+bx-3a 过点 A（1,0），B(0,-3),与 x 轴交于另一点 C。（1）求抛物线的解析式；y
（2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使△PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。（10 江苏泰州）27.（12 分）（10 江苏泰州）28.（14 分）如图，⊙O 是 O 为圆心，半径为 的圆，直线 交坐标轴于A、B 两点。(1)若 OA=OB①求 k②若 b=4，点 P 为直线 AB 上一点，过 P 点作⊙O 的两条切线，切点分别这 C、D，若∠CPD=90°，求点 P 的坐标；
(2)若 ，且直线 分⊙O 的圆周为 1：2 两部分，求 b.（10 江苏淮安）28．(本小题满分 12 分) 如题 28(a)图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为(12，0)，点 B 坐标为(6，8)，点 C 为 OB 的中点，点 D 从点 O 出发，沿△OAB 的三边按逆时针方向以 2 个单位长度／秒的速度运动一周． (1)点 C 坐标是( ， )，当点 D 运动 8.5 秒时所在位置的坐标是( ， )； (2)设点 D 运动的时间为 t 秒，试用含 t 的代数式表示△OCD 的面积 S,并指出 t 为何值 时，S 最大； (3)点 E 在线段 AB 上以同样速度由点 A 向点 B 运动，如题 28(b)图，若点 E 与点 D 同时 出发，问在运动 5 秒钟内，以点 D，A，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以 点 A．O 为对应顶点的情况)：题 28(a)图 题 28(b)图（10 江苏扬州）28．（本题满分 12 分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．（10 湖南衡阳）23．（11 分）已知：等边三角形 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 在的边 上沿 方向以 1 厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动终止），过点 分别作 边的垂线，与 的其它边交于 两点，线段运动的时间为 秒．（1）线段 在运动的过程中， 为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时间为 ．求四边形 的面积 随运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．（10 江苏苏州）29．(本题满分 9 分)如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B．已知 A、B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．
(1)求抛物线的解析式； (2)设 M(m，n)是抛物线上的一点(m、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以 M、B、O、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点 M 的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P，PA2+PB2+PM2＞28 是否总成立?请说明理由．1． 已知：抛物线 ，顶点 ，与 轴交于A、B两点， 。（1） 求这条抛物线的解析式；（2） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作 于 ，于 ，请判断 是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；（3） 在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作 ， 分别与边 、相交于 、 ，（ 与 、 不重合， 与 、 不重合），请判断 是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。（10 云南楚雄）24、（本小题 13 分）已知：如图，⊙A 与 轴交于 C、D 两点，圆心 A 的坐标为（1，0），⊙A 的半径为 ，过点 C 作⊙A 的切线交 于点 B（－4，0）。（1）求切线 BC 的解析式；（2）若点 P 是第一象限内⊙A 上一点，过点 P 作⊙A 的切线与直线 BC 相交于点 G，且∠CGP=120°，求点 G 的坐标；（3）向左移动⊙A（圆心 A 始终保持在 上），与直线 BC 交于 E、F，在移动过程中是否存在点 A，使得△AEF 是直角三角形？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由。（10 上海）25．如图 9，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D，与边 AC 相交于点 E，连结 DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P.（1）当∠B＝30°时，连结 AP，若△AEP 与△BDP 相似，求 CE 的长；（2）若 CE=2，BD=BC，求∠BPD 的正切值；
DExyCBAO图2图3HNMC1A1B1O1DExyCBAO②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 ＜b＜ ，如图 2此时E（3， ），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )]＝∴（2）如图 3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形 OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，tan∠DEN＝ ，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM 的边长为a，则在 Rt△DHM中，由勾股定理知： ，∴
OMNHACEFDB↑→－ 8( － 6 ，－ 4)xy（3）若 ，设 CE=x，△ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式.图 9 图 10(备用) 图11(备用)（10 辽宁丹东）26．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．26．（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． ····· ·· ··1 分∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ·············3 分（写错一个点的坐标扣 1 分）（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为 ，∵抛物线过点A（0，4）， ∴ ．则抛物线关系式为 ． ··········4 分将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得·······················5 分 xyOMN（-6，-4）H（-8，0）1tan3BPD
解得 ························6 分所求抛物线关系式为： ．···········7 分（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ···········8 分 ∴ =12OA（AB+OC）AF·AG OE·OF CE·OA =12×4×（ 6+8）−12m( 4−m)−12m(8−m)−12×4 m =m2−8 m+28 （ 0＜m＜4） ········10 分∵ ． ∴当 时，S的取最小值．又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ········12 分（4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG．·······14 分（10 湖南益阳）20.如图 9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)过Ｃ点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结Ｐ C、Ｐ D，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.20．解：⑴ 由于抛物线经过点C (0,3)，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)，则{4 a−2b +3=0 ¿ ¿¿¿， 解得{a=−14¿¿¿¿∴抛物线的解析式为y=−14x2+ x+3 ……………………………4 分⑵ D的坐标为D( 4,3) ……………………………5 分直线AD的解析式为y=12x +1
xyODCBA（第 28 题）EMxyODCBA（第 28 题 2 ）直线BC的解析式为y=−12x +3 由{y=12x+1¿¿¿¿ 求得交点E的坐标为(2,2) ……………………………8 分⑶ 连结PE交CD于F，P的坐标为(2,4 )又∵E(2,2)，C (0,3), D(4,3 ) ∴PF=EF=1,CF=FD=2，且CD ⊥PE ∴四边形CEDP是菱形 ……………………………12 分（10 江苏连云港）28．（本题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点（1）连接CO，求证：CO⊥AB；（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．（10 江苏宿迁）28．（本题满分 12 分）已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1,0 )、B(3,0)，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）问 Q 抛物线上是否存在点Q， 使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的13？若存在，求出点Q的 坐标；若不存在，请说明理由．28、（1）求出：b=−4，c=3， 抛物线的对称轴为：x=2………………3 分(2) 抛物线的解析式为y=x2−4 x+3，易得 C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 F，易得 F 点坐标为（2，0），连接 OD，DB，BE∵ΔOBC 是等腰直角三角形，ΔDFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD=45∘ ∴OE∥BD∴四边形 ODBE 是梯形 ………………5 分在Rt ΔODF和Rt Δ EBF中，OD=√OF2+DF2=√22+12=√5 ，BE=√EF2+FB2=√22+12=√5∴OD= BE∴四边形 ODBE 是等腰梯形 ………………7 分 (3) 存在， ………………8 分由题意得：S四边形ODBE=12OB⋅DE=12×3×3=92 ………………9 分设点 Q 坐标为（x，y），由题意得：S三角形OBQ=12OB⋅|y|=32|y|=13S四边形ODBE=13×92=32∴|y|=±1当 y=1 时，即x2−4 x +3=1，∴ x1=2+√2， x2=2−√2，∴Q 点坐标为（2+√2，1）或(2-√2，1) ………………11 分当 y=-1 时，即x2−4 x +3=−1， ∴x=2，∴Q 点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点 Q1（2+√2，1），Q2 (2-√2，1) ，Q3（2，-1）使得S三角形 OBQ=13S四边形ODBE． ………………12 分（10 江苏南京）28.（8 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 2，M 是 AD 的中点，点 E 从点 A 出发，沿AB 运动到点 B 停止，连接 EM 并延长交射线 CD 于点 F，过 M 作 EF 的垂线交射线 BC 于点 G，连结EG、FG。（1）设 AE= 时，△EGF 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；（2）P 是 MG 的中点，请直接写出点 P 的运动路线的长。
ADBCF（E）图（ 1 ）ADBCFE图（ 2 ）PQABC图（ 3 ）图（ 2 ）QADBCFEPM（10 山东青岛）24．（本小题满分 12 分）已知：把 Rt△ABC和 Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以 1 cm/s 的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以 2 cm/s 的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）解：（1）（2）（3） 24．（本小题满分 12 分）解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP = AQ. ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°. ∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ. 由题意知：CE = t，BP =2 t， · · · · · · · · ∴CQ = t. ∴AQ = 8－t. 在 Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2. 答：当t = 2 s 时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4 分 （2）过P作 ，交BE于M，∴ .在 Rt△ABC和 Rt△BPM中， ， ∴ . ∴PM = . ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t. ∴y = S△ABC－S△BPE = － = －= = .∵ ，∴抛物线开口向上.∴当t = 3 时，y最小= .（用圆珠笔或钢笔画图）
CEADBF图（ 3 ）PQN答：当t = 3s 时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 cm2.8 分 （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.过P作 ，交AC于N，∴ .∵ ，∴△PAN ∽△BAC.∴ .∴ .∴ ， .∵NQ = AQ－AN，∴NQ = 8－t－( ) = ．∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.∵∠FQC = ∠PQN，∴△QCF∽△QNP .∴ . ∴ . ∵ ∴解得：t = 1.答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12 分（10 山东威海）25.（12 分） （1）探究新知：①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．求证：△ABM与△ABN的面积相等． ②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由． （2）结论应用： 如图③，抛物线 的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线 上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． ﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ 25．（本小题满分 12 分）﹙1﹚① 证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ∵ AD∥BC，AD＝BC， ∴ 四边形ABCD为平行四边形． ∴ AB∥CD． ∴ ME= NF． ∵S△ABM＝ ，S△ABN＝ ， cbxaxy 2cbxaxy 2MEAB 21NFAB 21
∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1 分②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．则∠DHA=∠EKB=90°． ∵ AD∥BE， ∴ ∠DAH=∠EBK． ∵ AD＝BE， ∴ △DAH≌△EBK． ∴ DH=EK． ……………………………2 分 ∵ CD∥AB∥EF， ∴S△ABM＝ ，S△ABG＝ ， ∴ S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3 分﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4 分解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为 .又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得 ，解得 .∴ 该抛物线的表达式为 ，即 ． ………………………5 分∴ D点坐标为（0，3）．设直线AD的表达式为 ，代入点A的坐标，得 ，解得 .∴ 直线AD的表达式为 ． 过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为 ． ∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6 分设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为 ． 过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为 ，EF∥CG．由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． ①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，则PF= ，EF＝ ． ∴ EP＝EF－PF＝ = ． ∴ ． 解得 ， ． ……………………………7 分 当 时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ∴ E点坐标为（2，3）． 同理 当m=1 时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8 分②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， 则 ． ……………………………………………9 分∴ ．解得 ， ． ………………………………10 分当 时，E点的纵坐标为 ； 当 时，E点的纵坐标为 ． ∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）； ； ． ………………12 分﹙其他解法可酌情处理﹚ （10 四川巴中）31．如图 12 已知△ABC 中，∠ACB＝90°以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一 1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） DHAB 21EKAB 214)1(2 xay 41302a1a4)1(2 xy322 xxy3kxy330 k1k3 xy231 322 mmm3m3322 mm)3(322mmm mm 32232 mm21m12m2mmmmmmPE 3)32()3(22232 mm21733m21734m2173m21712217332173 m2171221733)21712173(2，E )21712173(3，E
第 24 题图（1）试求点 C 的坐标（2）若抛物线 过△ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式．（3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点 A 的直线 y=－x－1 交（2）中的抛物线于点 E，那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由。（10 湖南常德）25.如图 9，已知抛物线 轴交于点 A（-4，0）和 B（1，0）两点，与 y 轴交于 C 点.(1)求此抛物线的解析式；(2)设 E 是线段 AB 上的动点，作 EF∥AC 交 BC 于 F，连接 CE，当 的面积是 面积的 2 倍时，求 E 点的坐标；(3)若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P 点运动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标.（10 湖南常德）26.如图 10，若四边形 ABCD、四边形 CFED 都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.4．当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 11 的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.5．当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 12 的位置时，延长 CE 交 AG 于 H，交 AD 于 M.①求证：AG⊥CH;②当 AD=4，DG= 时，求 CH 的长。（10 浙江绍兴）24.如图,设抛物线C1:y=a(x+1)2−5, C2:y=−a(x−1)2+5,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是(2,4 ),点B的横坐标是－2. （1）求a的值及点B的坐标； （2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的直线为l,且l与x轴交于点N.① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标；② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.24．（本题满分 14 分）解：（1）∵ 点A(2,4 )在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入y=a(x+1)2−5得 a=1. ∴ 抛物线C1的解析式为y=x2+2 x−4, 设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . （2）①如图 1，∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. 过点G作GE⊥DH,垂足为E,由△DHG是正三角形,可得EG=√3, EH=1，∴ ME＝4. 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,由△MEG∽△MHN,得 MEMH=EGHN,
第 24 题图 2第 24 题图 3图 4∴ 45=√3x−1, ∴ x=54√3+1,∴ 点N的横坐标为54√3+1． ② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图 2，直线l与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,设Ｎ（x，0），∵ A (2, 4), ∴ G (2+2√3, 2),∴ NQ=x−2−2√3，Ｎ F =x−1, GQ=2, MF =5.∵ △NGQ∽△NMF，∴ NQNF=GQMF,∴ x−2−2√3x−1=25,∴ x=10√3+83. 当点D移到与点B重合时,如图 3，直线l与DG交于点D,即点B, 此时点N的横坐标最小. ∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),设N（x，0）， ∵ △BHN∽△MFN， ∴ NHFN=BHMF，∴ x+21−x=45, ∴ x=−23. ∴ 点N横坐标的范围为 −23≤x≤10√3+83. （10 广东中山）22．如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当 F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是 1 个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设 0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．（10 山东济宁）23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ ， ）的抛物线交 轴于 点，交 轴于 ， 两点（点在点 的左侧）. 已知 点坐标为（ ， ）.（1）求此抛物线的解析式；
AxyBOCD( 第 23 题 )（2）过点 作线段 的垂线交抛物线于点 ， 如果以点 为圆心的圆与直线 相切，请判断抛物线的对称轴 与⊙ 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点 是抛物线上的一个动点，且位于 ， 两点之间，问：当点 运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时 点的坐标和 的最大面积.23．（1）解：设抛物线为 .∵抛物线经过点 （0，3），∴ .∴ .∴抛物线为 . ……………………………3 分 (2) 答： 与⊙ 相交. …………………………………………………………………4 分证明：当 时， ， . ∴ 为（2，0）， 为（6，0）.∴ .设⊙ 与 相切于点 ，连接 ，则 .∵ ，∴ .又∵ ，∴ .∴ ∽ .∴ .∴ .∴ .…………………………6 分∵抛物线的对称轴 为 ，∴ 点到 的距离为 2.∴抛物线的对称轴 与⊙ 相交. ……………………………………………7 分(3) 解：如图，过点 作平行于 轴的直线交 于点 .可求出 的解析式为 .…………………………………………8 分设 点的坐标为（ ， ），则 点的坐标为（ ， ）.
∴S四边形DNEM＝NE·DH＝∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ． 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．【推荐指数】★★★★★（10 浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4 交x轴的正半轴于点 A，交y轴于点 B．（1）求 A、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；（2）设 P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点），以 PQ 为对角线作正方形 PEQF，若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．（10 重庆潼南）26.（12 分）如图, 已知抛物线y=12x2+bx+c与y轴相交于 C，与x轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE⊥x 轴于点 D，连结 DC，当△DCE 的面积最大时，求点 D的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由.（10 重庆潼南）26. 解：（1）∵二次函数y=12x2+bx+c的图像经过点 A（2，0）C(0,－1)∴{2+2 b+c =0 ¿ ¿¿¿ 解得： b=－12 c=－1-------------------2 分∴二次函数的解析式为y=12x2−12x−1 --------3 分（2）设点 D 的坐标为（m，0） （0＜m＜2）∴ OD=m ∴AD=2-m由△ADE∽△AOC 得，ADAO=DEOC --------------4 分∴2−m2=DE1
BAMCDOPQxy ∴ . ∵ , ∴当 时， 的面积最大为 . 此时， 点的坐标为（3， ）. …………………………………………10 分 (10 四川南充)22.已知抛物线 上有不同的两点E和F．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，抛物线 与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F． 11. 解：（1）抛物线 的对称轴为 ． ……..（1 分）∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 ，且k≠－2．∴ 抛物线的解析式为 ． ……..（2 分）
（2）抛物线 与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），∴ AB＝ ，AM＝BM＝ ． ……..（3 分）在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．∴ ∠BCM＝∠AMD．故 △BCM∽△AMD． ……..（4 分）∴ ，即 ， ．故n和m之间的函数关系式为 （m＞0）． ……..（5 分）（3）∵ F在 上， ∴ ， 化简得， ，∴ k1＝1，k2＝3． 即F1（－2，0）或F2（－4，－8）． ……..（6 分） ①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为 ， 则 解得， ∴ 直线MF的解析式为 ． 直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）． 若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝ ； 若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝ ． ……..（7 分） ②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为 ， 则 解得， ∴ 直线MF的解析式为 ．
直线MF与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0， ）． 若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（ ）＝ ，m＝ ； 若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－ ＝ ，n＝ ． ……..（8 分） 故当 或 时，∠PMQ的边过点F． (10 湖北黄冈)25．（15 分）已知抛物线 顶点为 C（1，1）且过原点 O.过抛物线上一点 P（x，y）向直线 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）.（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x＝1 上有一点 ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PM＝PN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由.25．（1）a＝－1，b＝2，c＝0（2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求 P 的纵坐标为 ，横坐标为 .此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF 为正三角形.（3）不存在.因为当 t＜ ，x＜1 时，PM 与 PN 不可能相等，同理，当 t＞ ，x＞1 时，PM 与PN 不可能相等.（10 辽宁本溪）26. 如图， 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片， 为原点，点 在
BCDOFEyx355ABQCP D轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， ．（1）在 边上取一点 ，将纸片沿 翻折，使点 落在 边上的点 处，求点 ， 的坐标；（2）若过点 的抛物线与 轴相交于点 ，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与 轴交于点 ，在抛物线上是否存在点 ，使 的内心在坐标轴上？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．（4）若（2）中的抛物线与 轴相交于点 ，点 在线段 上移动，作直线 ，当点 移动到什么位置时， 两点到直线 的距离之和最大？请直接写出此时点 的坐标及直线 的解析式． (第 26 题)（10 辽宁鞍山）③如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒）．（1）设△BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式（2）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2AO＝OB 时，求 t 的值．（4）是否存在时刻 t，使得 PQ⊥BD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．（10 浙江衢州）24. (本题 12 分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．(1) 当点B在第一象限，纵坐标是 时，求点B的横坐标；(2) 如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：① 当 ， ， 时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本题 12 分)解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ． ……1 分设点B的横坐标是x(x>0)，则 ， ……1 分解得 ， (舍去)．2 3622y ax bx c 54a 12b 3 55c 132OB AB 2 2 26( ) ( 3)2x 162x 262x
OyxCBA( 甲 )11-1-1x∴ 点B的横坐标是 ． ……2 分(2) ① 当 ， ， 时，得 ……(＊)． ……1 分以下分两种情况讨论．情况 1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为 ，． ……1 分由此，可求得点C的坐标为( ， )， ……1 分点A的坐标为( ， )，∵ A，B两点关于原点对称，∴ 点B的坐标为( ， )．将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点B的纵坐标．∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……2 分情况 2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为( ，- )，点A的坐标为( ， )，点B的坐标为( ， )．经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． ……1 分(情况 2 另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)② 存在．m的值是 1 或-1． ……2 分( ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1 时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1 时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)6254a 12b 3 55c 25 1 3 54 2 5y x x 25 5 13 5( )4 5 20y x 553tan 30 3 13OC OB 552 552 1551552 155155155155552 552 1551552 1551552 2( )y a x m am c
（第 24 题图）xyOACBDEF（10 浙江湖州）24．（本小题 12 分）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结 EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．（10 福建福州）22.（满分 14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 上，过点 B 作 轴的垂线，垂足为 A，OA=5。若抛物线 过点 O、A 两点。（1）求该抛物线的解析式；（2）若 A 点关于直线 的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图 2，在（2）的条件下，⊙O1是以 BC 为直径的圆。过原点 O 作 O1的切线 OP，P 为切点（P与点 C 不重合），抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 O1相切？若存在，求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由。（10 山东莱芜）24.（本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交轴于 两点，交 轴于点 .（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于 轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为 1︰2 两部分.24. （本小题满分 12 分）解：（1）∵抛物线 经过点 ， ， ．cbxaxy 2x)0,6(),0,2( BAy)32,0(Cxy 2yxcbxaxy 2)0,2(A )0,6(B )320( ，C
xyOACBDEFPGNM∴ ， 解得 .∴抛物线的解析式为： . …………………………3 分（2）易知抛物线的对称轴是 .把x=4 代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为 8． …………………………4 分连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．在 Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF= ．∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6 分∴劣弧EF的长为： ． …………………………7 分（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点 .∴ ，解得 .∴直线AC的解析式为： . ………8 分设点 ，PG交直线AC于N，则点N坐标为 .∵ .∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.即 = .解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3 时， = .∴此时点P的坐标为 . …………………………10 分②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.320636024ccbacba3233463cba32334632 xxy4x213168180120)32,0(),0,2( CA3202bbk323bk323 xy)0)(3233463,(2 mmmmP)323,( mmGNPNSSGNAPNA:: 2332334632 mm）（ 32323 m32334632 mm3215)3215,3(
即 = .解得： ， （舍去）.当 时， = .∴此时点P的坐标为 .综上所述，当点P坐标为 或 时，△PGA的面积被直线AC分成 1︰2 两部分． …………………12 分32334632 mm）（ 3233 m121m22m121m32334632 mm342)342,12()3215,3()342,12(
∴DE=2−m2-----------------------------------5 分∴△CDE 的面积=12×2−m2×m=−m24+m2=−14(m−1)2+14当m=1 时，△CDE 的面积最大∴点 D 的坐标为（1，0）--------------------------8 分（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为y=12x2−12x−1设 y=0 则0=12x2−12x−1 解得：x1=2 x2=－1∴点 B 的坐标为（－1，0） C（0，－1）设直线 BC 的解析式为：y=kx＋b∴ {−k+b=0 ¿ ¿¿¿ 解得：k=-1 b=-1∴直线 BC 的解析式为: y=－x－1在 Rt△AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=√5∵点 B(－1,0) 点 C（0，－1）∴OB=OC ∠BCO=450①当以点 C 为顶点且 PC=AC=√5时，设 P(k, －k－1)过点 P 作 PH⊥y 轴于 H∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k∣ 在 Rt△PCH 中k2+k2=(√5)2 解得k1=√102， k2=－√102∴P1（√102，－√102−1） P2（－√102，√102−1）---10 分②以 A 为顶点，即 AC=AP=√5设 P(k, －k－1)过点 P 作 PG⊥x 轴于 GAG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣在 Rt△APG 中 AG2＋PG2=AP2
yxCDA O BEGFxCDA O BEGHFFyxCDA O BEy（2－k)2+(－k－1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)∴P3(1, －2) ----------------------------------11 分③以 P 为顶点，PC=AP 设 P(k, －k－1)过点 P 作 PQ⊥y轴于点 QPL⊥x轴于点 L∴L(k,0)∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=√2k∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜在 Rt△PLA 中(√2k)2=(k－2)2＋(k＋1)2解得：k=52∴P4(52,－72) ------------------------12 分综上所述： 存在四个点：P1（√102，－√102−1） P2（-√102，√102−1） P3(1, －2) P4(52,－72)（10 四川宜宾）24．(本题满分 l2 分)将直角边长为 6 的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．（10 浙江宁波）26、如图 1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点 A 的坐标为（－2，0），点 D 的坐标为（0，2√3），点 B 在x轴的正半轴上，点 E 为线段 AD 的中点，过点 E 的直线l与x轴交于点 F，与射线 DC 交于点 G。（1）求∠ DCB的度数;（2）连结 OE，以 OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OE { F'¿，记直线E F'与射线 DC 的交点为 H。①如图 2，当点 G 在点 H 的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;②若△EHG 的面积为3√3，请直接写出点 F 的坐标。25、解：（1）60 ° （2）（2，2√3）
xCDA O BEy（图 3 ）Ｍ （3）①略 ②过点 E 作 EM⊥直线 CD 于点 M∵CD∥AB∴∠ EDM =∠ DAB=60°∴Em=DE⋅sin 60 °=2×√32=√3∵SΔ EGH=12⋅GH⋅ME=12⋅GH⋅√3=3√3∴GH =6∵△DHE∽△DEG∴DEDG=DHDE即DE2=DG⋅DH当点 H 在点 G 的右侧时，设DG=x，DH =x+6∴4=x ( x +6 )解：x1=−3+√13+2=√13−1∴点 F 的坐标为（−√13+1，0）当点 H 在点Ｇ的左侧时，设DG=x，DH =x−6∴4=x ( x−6 )解：x1=3+√13，x1=3−√13（舍）∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ∴AF=DG=3+√13∵OF=AO + AF=3+√13+2=√13+5∴点Ｆ的坐标为（−√13−5，0）综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是F1（−√13+1，0），F2（−√13−5，0）（10 江苏南通）28．（本小题满分 14 分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3 和x=－3 时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．（10 浙江义乌）24．如图 1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图 1 中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示 － ，并求出当S=36 时点A1的坐标；（3）在图 1 中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
FG（10 浙江义乌）24．解：（1）对称轴：直线 ……………………………………………………..… 1 分解析式： 或 ……………………………….2 分 顶点坐标：M（1， ）……….…………………………………………..3 分 （2）由题意得 3……………………………………..1 分得： ①…………….………………….……2 分 得： ②….………………………………………..………..3 分把②代入①并整理得： (S＞0) (事实上，更确切为S＞6√6)4 分当 时， 解得： (注：S＞0 或S＞6√6不写不扣 分) 把 代入抛物线解析式得 ∴点A1（6，3）………5 分（3）存在………………………………………………………………….…..……1 分 解法一：易知直线AB的解析式为 ，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为∴BD=5，DE= ，DP=5－t，DQ= t 当 ∥ 时， 得 ………2 分 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G①当 时，如图 1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ
EFPQG ∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴∴ 得 ∴ (舍去)…………………………3 分② 当 时，如图 1-2∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ∴ ∴ ， ∴ ∴当 秒时，使直线 、直线 、 轴围成的三角形与直线 、直线 、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4 分 (注:未求出 能得到正确答案不扣分) 解法二：可将 向左平移一个单位得到 ,再用解法一类似的方法可求得 , , ∴ , .（10 安徽省卷）23.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k >1），且△ABC 的三边长分别为a、b、c（a>b>c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。⑴若c=a1，求证：a=kc；⑵若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明；⑶若b=a1，c=b1，是否存在△ABC 和△A1B1C1使得k =2？请说明理由。（10 山东聊城）25．（本题满分 12 分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1 上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1 上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．
ENMDCBAOyxENMDCBAOyx（10 四川眉山）26．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（ ，0）、（0，4），抛物线 经过B点，且顶点在直线 上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．26．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1 分） ∴ ∴ ……………………………………………………………（3 分） ∴所求函数关系式为： …………（4 分） （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5 分）∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6 分）当 时，当 时，∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7 分）（3）设直线CD对应的函数关系式为 ，则解得： ．∴ ………（9 分）∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t．则 ， ，……………………（10 分）∴
