2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决赛试卷（小高组）一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1．（10 分）算式 ×[2 ×（1.875﹣ ）]÷[（0.875+1 ）÷3 ]的值为　 　．2．（10 分）小龙的妈妈比爸爸小 3 岁，妈妈今年的年龄是小龙今年的 9 倍，爸爸明年的年龄是小龙明年的 8 倍，那么爸爸今年　 　岁．3．（10 分）某水池有A、B两个排水龙头．同时打开两个龙头排水，30 分钟可将满池的水排尽；同时打开两个龙头排水 10 分钟，然后关闭A龙头，B龙头继续排水，30 分钟后也可以将满池的水排尽．那么单独打开B龙头，需要　 　分钟才能排尽满池的水．4．（10 分）如图，圆O的面积为 32，OC⊥AB，∠AOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOD，则扇形EOF的面积为　．5．（10 分）算式 + + + + + + + + + 的值的整数部分为　 　．6．（10 分）如图中，正方形ABCD的面积为 840 平方厘米，AE＝EB，BF＝2FC，DF与EC相交于G．则四边形AEGD的面积为　 　平方厘米．7．（10 分）一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”，例如：909．那么所有三位回文数的平均数是　 　．8．（10 分）将七个连续自然数分别填在五个圆的交点A，B，C，D，E，F，G 处，使得每个圆上的数的和都相等．如果所填的数都大于 0 且不大于 10，则填在点G处的数是　 　．二、回答下列各题（每题 10 分，共 40 分，写出答案即可）9．（10 分）一只小虫沿如图中的线路从A爬到B．规定：图中标示箭头的边只能沿箭头方向行进，而且每条边在同一路线中至多通过一次．问：小虫从A到B的不同路线有多少条？10．（10 分）如图是由 1 平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片．问：图中由格点 A，B，C，D 为顶点的四边形ABCD的面积等于多少平方分米？ 11．（10 分）在等式“爱国×创新×包容+厚德＝北京精神”中，每个汉字代表 0～9 的一个数字，爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字．当四位数北京精神最大时，厚德为多少？12．（10 分）求最小的自然数，它恰好能表示成 4 种不同的不少于两个的连续非零自然数之和．2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1．（10 分）算式 ×[2 ×（1.875﹣ ）]÷[（0.875+1 ）÷3 ]的值为　 5 　 ．【分析】根据分数的四则混合运算的运算顺序解答即可，注意把带分数化成假分数，小数化成分数有利于计算．【解答】解： ×[2 ×（1.875﹣ ）]÷[（0.875+1 ）÷3 ]＝ × ×（ ﹣ ）÷[（ + ）× ]＝4× ÷[（ + ）× ]＝ ÷[ × ]＝ ÷＝5故答案为：5．2．（10 分）小龙的妈妈比爸爸小 3 岁，妈妈今年的年龄是小龙今年的 9 倍，爸爸明年的年龄是小龙明年的 8 倍，那么爸爸今年　 39 　 岁．【分析】设小龙今年的年龄是x岁，那么妈妈的年龄就是 9x岁，小龙的妈妈比爸爸小 3 岁，那么小龙爸爸的年龄就是 9x+3 岁，明年小龙爸爸的年龄就是 9x+3+1 岁；小龙明年的年龄就是x+1 岁，它的 8 倍就是（x+1）×8，这与小龙爸爸明年的年龄相等，由此列出方程求出小龙今年的年龄，进而求出爸爸的年龄．【解答】解：设小龙今年的年龄是x岁，小龙爸爸的年龄就是 9x+3 岁，（x+1）×8＝9x+3+1 8x+8＝9x+4 9x﹣8x＝8﹣4 x＝49x+3＝9×4+3＝39（岁）答：爸爸今年 39 岁．故答案为：39．3．（10 分）某水池有A、B两个排水龙头．同时打开两个龙头排水，30 分钟可将满池的水排尽；同时打开两个龙头排水 10 分钟，然后关闭A龙头，B龙头继续排水，30 分钟后也可以将满池的水排尽．那么单独打开B龙头，需要　 45 　 分钟才能排尽满池的水． 【分析】设工作总量为 1，A，B共同排水 30 分钟排尽，10 分钟完成工程的 ，B完成剩下工程的 ，时间为 30 分钟，据此可求出B的工作效率，进而求解．【解答】解：设工作总量为 1，A，B共同排水需要 30 分钟．两个水龙头的效率和为 ，合作 10 分钟，完成工作总量为 ×10＝ ，但是B排水单独工作需要 30 分钟，工作总量为 ，B水龙头的效率为： ，单独打开B需要时间：1÷ ＝45（分）．故答案为：45．4．（10 分）如图，圆O的面积为 32，OC⊥AB，∠AOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOD，则扇形EOF的面积为　4 　 ．【分析】可以利用弧度之间的关系先求得EOF的弧度，而EOF可以分EOC和COF两个弧度，再利用已知的弧度关系，不难求得EOF的弧度，面积也不难求得．【解答】解：根据分析，由图可知，∠AOE＝∠EOD＝∠FOD+∠COF+∠EOC；又∠AOE＝90°﹣∠EOC，∠FOD＝∠COF，∴90°﹣∠EOC＝∠FOD+∠COF+∠EOC＝2×∠COF+∠EOC，⇒2（∠EOC+∠COF）＝90° ∠⇒EOC+∠COF＝45°∠⇒EOF＝45°，又∵圆O的面积为 32＝πr2，∴EOF的面积＝ ＝ ＝4．故答案是：4．5．（10 分）算式 + + + + + + + + + 的值的整数部分为　 46 　 ．【分析】先把算式通过拆分变形为 50﹣5×（ + + + +…+ + ），然后讨论括号里的和的取值，即可解答．【解答】解：设A＝ + + + + + + + + +＝5×（ + + + + + + + + + ）＝5×（1×10﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）＝50﹣5×（ + + + +…+ + ）括号里的：+ + + +…+ + ＝（ + + + ）+（ + ）+（ + + ）所以， + + + +…+ + ＜5×（ + ）＝则，A＞50﹣5× ≈46.5同理， + + + +…+ +＝（ + + + ）+（ + ）+（ + + ）所以， + + + +…+ + ＞5×（ + ）＝则，A＜50﹣5× ≈46.8所以，46.5＜A＜46.8所以，[A]＝46即，原式的值的整数部分为 46．故答案为：46．6．（10 分）如图中，正方形ABCD的面积为 840 平方厘米，AE＝EB，BF＝2FC，DF与EC相交于G．则四边形AEGD的面积为　 510 　 平方厘米．【分析】这图形，易让人想到求三角形BCE、CDF、CGF的面积，其中难求得是△CGF的面积．根据所给的条件，我们应做做GM⊥BC交点为M，这样就形成了与△BCE、△CDF对应的 2 组相似三角形．再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求得△CGF的面积．最后根据图形即可算出所求图形的面积．【解答】解：做GM⊥BC交点为M，∴△FMG∽△FCD⇒FM：FC＝MG：CD，∵BF＝2FC⇒BC＝3FC，∴MG＝3FM，∵△CGM：△CEB⇒CM：CB＝GM：BE，BC＝2BE，∴GM＝CM＝3FM⇒CM＝6FM，∴FM：FC＝1：7，CM：CB＝2：7，S△BCE＝ □ABCD＝210，S△CGM＝4÷49×210＝840÷49＝120÷7，S△CDF＝S□ABCD÷6＝140，S△MGF＝140×1÷49＝140÷49＝20÷7，S△CGM+△MGF＝120÷7+20÷7＝20，840﹣210﹣140+20＝510（平方厘米）．故：四边形AEGD的面积是 510 平方厘米． 7．（10 分）一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”，例如：909．那么所有三位回文数的平均数是　 550 　 ．【分析】三位回文数是ABA的形式，共有 90 个，因此平均数＝这些数的和÷90＝[101×（1+2+…+9）×10+10×（0+1+2+…+9）×9]÷90，即可得出结论．【解答】解：三位回文数是ABA的形式A共有 1 到 9 共 9 种可能，即 1B1、2B2、3B3…B共有 0 到 9 共 10 种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有 9×10＝90 个因此平均数＝这些数的和÷90＝[101×（1+2+…+9）×10+10×（0+1+2+…+9）×9]÷90＝（101×45×10+10×45×9）÷90＝45×10×110÷90＝5×110＝550，故答案为 550．8．（10 分）将七个连续自然数分别填在五个圆的交点A，B，C，D，E，F，G 处，使得每个圆上的数的和都相等．如果所填的数都大于 0 且不大于 10，则填在点G处的数是　 6 　 ．【分析】首先分析这些数字之间的关系，相等的量和有倍数关系的量，枚举尝试即可．【解答】解：依题意可知：A+B＝A+C+D＝B+E+F＝C+F+G＝D+E+G． C+D＝B，E+F＝A．C+F+G+D+E+G＝A+B+A+B2G＝A+B．（和为偶数）字母G估算再中间数字 5，6，7．字母A不能是 1，2．字母B比较大．尝试A＝3，B＝9，G＝6．E+F＝3，C+D＝9．相等数字和为 12．所以F＝1．C＝5．E＝2，D＝4．满足条件．故答案为：6二、回答下列各题（每题 10 分，共 40 分，写出答案即可）9．（10 分）一只小虫沿如图中的线路从A爬到B．规定：图中标示箭头的边只能沿箭头方向行进，而且每条边在同一路线中至多通过一次．问：小虫从A到B的不同路线有多少条？ 【分析】小虫从A到B，第一个六边形的分叉口上下均有 2 条，B所在的六边形也上下有 2 条，于是有 2×2+2×2＝8 条，中间往回走的箭头有 2 条路线，一共有 10 条．【解答】解：小虫从A到B，第一个六边形的分叉口上下均有 2 条，B所在的六边形也上下有 2条，于是有 2×2+2×2＝8 条，中间往回走的箭头有 2 条路线，一共有 10 条．答：小虫从A到B的不同路线有 10 条．10．（10 分）如图是由 1 平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片．问：图中由格点 A，B，C，D 为顶点的四边形ABCD的面积等于多少平方分米？【分析】这属于正方形格点问题，根据正方形格点毕克定理S＝N﹣1+L÷2 可以直接求出面积，其中N表示内部的格点数，L表示边界上的格点数．【解答】解：内部的格点数是 12，边界点的数是 6，根据公式列出算式是12﹣1+6÷2＝14答：四边形ABCD的面积等于 14 平方分米．11．（10 分）在等式“爱国×创新×包容+厚德＝北京精神”中，每个汉字代表 0～9 的一个数字，爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字．当四位数北京精神最大时，厚德为多少？【分析】由题意，14×20×35+98＝9898，即可得出结论．【解答】解：由题意，14×20×35+98＝9898，∴当四位数北京精神最大时，厚德为 98．12．（10 分）求最小的自然数，它恰好能表示成 4 种不同的不少于两个的连续非零自然数之和．【分析】从连续非零自然数的和的奇偶性切入进行分析：因为是连续非零自然数之和，那么两个数的和，奇数+偶数＝奇数；三个数的和，偶数+奇数+偶数＝奇数，并且是 3 的倍数；四个数的和一定是偶数，排除掉；五个数的和，奇数+偶数+奇数+偶数+奇数＝奇数，并且是 5 的倍数；六个数时，三个奇数+三个偶数＝奇数．3 和 5 最小公倍数是 15，这个最小自然数一定是 15 的倍数．通过试算可知 45 是符合条件的最小的自然数．【解答】解：两个数的和，奇数+偶数＝奇数；三个数的和，偶数+奇数+偶数＝奇数，并且是 3 的倍数；四个数的和一定是偶数，排除掉；五个数的和，奇数+偶数+奇数+偶数+奇数＝奇数，并且是 5 的倍数；六个数时，三个奇数+三个偶数＝奇数．3 和 5 的最小公倍数是 15，所以这个最小自然数一定是 15 的倍数．试算：45＝22+23＝14+15+16＝7+8+9+10+11＝5+6+7+8+9+10所以 45 是符合条件的最小的自然数．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800