2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组笔试）一、选择题（每小题 3 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1．（3 分）计算：[（0.8 ）×24+6.6] ﹣7.6＝（　　）A．30 B．40 C．50 D．602．（3 分）以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有〔〕个三角形．A．3 B．4 C．6 D．83．（3 分）一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多 180 只．有 20%的狗错认为自己是猫；有 20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有 32%认为自己是猫，那么狗有（　　）只．A．240 B．248 C．420 D．8424．（3 分）图中的方格纸中有五个编号为 1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（　　）A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，55．（3 分）在图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（　　）A．369 B．396 C．459 D．5496．（3 分）如图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（　　）A．83 B．79 C．72 D．65二、填空题（每小题 3 分，满分 12 分）7．（3 分）如图的计数器三个档上各有 10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是　 　．8．（3 分）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是3：0 或 3：1．则胜队得 3 分，负队得 0 分；如果比分是 3：2，则胜队得 2 分，负队得 1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则笫一名的得分是　 　分．9．（3 分）甲、乙两车分别从A、B两地同吋出发，且在A、B两地往返来回匀速行驶．若两车笫一次相遇后，甲车继续行驶 4 小吋到达B，而乙车只行驶了 1 小吋就到达A，则两车笫 15 次（在A，B两 地相遇次数不计）相遇吋，它们行驶了　 　小吋．10．（3 分）正方形ABCD的面积为 9 平方厘米，正方形EFGH的面积为 64 平方厘米．如图所示，边BC落在EH上．已知三角形ACG的面积为 6.75 平方厘米，则三角形ABE的面积为　 　平方厘米．2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组笔试）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1．（3 分）计算：[（0.8 ）×24+6.6] ﹣7.6＝（　　）A．30 B．40 C．50 D．60【分析】先算小括号内的，再算中括号内的乘法，然后算中括号内的加法，最后算括号外的除法和减法．【解答】解：[（0.8 ）×24+6.6] ﹣7.6＝[（0.8+0.2）×24+6.6] ﹣7.6＝[1×24+6.6] ﹣7.6＝30.6 ﹣7.6＝30.6× ﹣7.6＝47.6﹣7.6＝40．故选：B．2．（3 分）以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有〔〕个三角形．A．3 B．4 C．6 D．8【分析】如下图：4 个小的三角形，再就是由两个三角形组成的大三角形，有 4 个，所以一共有8 个，据此解答．【解答】解：4+4＝8（个）故选：D．3．（3 分）一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多 180 只．有 20%的狗错认为自己是猫；有 20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有 32%认为自己是猫，那么狗有（　　）只．A．240 B．248 C．420 D．842 【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有 20%的狗认为自己是猫，由“有 20%的猫认为它们是狗”，那么有 80%的猫认为自己是猫，而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有 32%的认为自己是猫．那么根据浓度问题，狗和猫的数量之比是：（80%﹣32%）：（32%﹣20%）＝4：1，而狗比猫多 180 只，所以狗的数量为：180÷（4﹣1）×4，解决问题．【解答】解：狗和猫的数量之比是：（1﹣20%﹣32%）：（32%﹣20%），＝48%：12%，＝4：1；狗的数目为：180÷（4﹣1）×4，＝180÷3×4，＝60×4，＝240（只）；答：狗的数目是 240 只．故选：A．4．（3 分）图中的方格纸中有五个编号为 1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（　　）A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5【分析】根据正方体展开图的 11 种特征，只有把 4、5 或 3、5 阴影，才能与已涂阴影的 4 个正方形组成正方体展开图的“1﹣3﹣2”结构．【解答】解：如图，故选：D．5．（3 分）在图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（　　）A．369 B．396 C．459 D．549【分析】根据题干，和的最高位最小是 3，若H＝3，则A和D分别是 1 和 2，则剩下的数字是4、5、6、7、8、9，个位与十位的数字怎么排，都会发生进位，则H不能是 3，那么H只能最小是4，A和D还是 1 和 2，则剩下的数字是 3、5、6、7、8、9，明显可知相加时十位要向前一位进 1，又因为每个数字表示的数字不同，所以经过计算实验可得：73+86＝59，即本题和最小是 173+286＝459，据此即可选择．【解答】解：根据题干分析可得：答：和的最小值是 459． 故选：C．6．（3 分）如图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（　　）A．83 B．79 C．72 D．65【分析】因为所有的正方形都是斜着的，所以先数边长为 1 的正方形有 2+4+6+8+8+6+4+2＝40；边长为 2 的正方形有 1+3+5+7+5+3+1＝25 个，边长为 3 的正方形有 2+4+4＝2＝12 个，边长为 4 的正方形有 1+3+1＝5 个，还有一个大正方形，据此解答．【解答】解：边长为 1 的正方形有 2+4+6+8+8+6+4+2＝40；边长为 2 的正方形有 1+3+5+7+5+3+1＝25 个，边长为 3 的正方形有 2+4+4+2＝12 个，边长为 4 的正方形有 1+3+1＝5 个，还有一个大正方形；共有：40+25+12+5+1＝83 个．故选：A．二、填空题（每小题 3 分，满分 12 分）7．（3 分）如图的计数器三个档上各有 10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是　 925 ．【分析】因为上面三位数是下面三位数的倍数，假设下面三位数为abc，则上面三位数表示为k•abc．计数器三个档上各有 10 个算珠，所以上下两数之和为（k|1）abc＝|00×10|10×10|1×10＝1110，把 1110 分解质因数：1110＝2×3×5×37，因为上面的各位数字互不相同，所以下面的数可以是 5×37﹣185，上面的数是 185×（2×3﹣1）＝925．【解答】解：设下面三位数为abc，则上面三位数表示为k•abc．上下两数之和为（k|1）abc＝|00×10|10×10|1×10＝1110，1110＝2×3×5×37，因为上面的各位数字互不相同，所以下面的数可以是 5×37﹣185，上面的数是 185×（2×3﹣1）＝925．故答案为：925．8．（3 分）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是3：0 或 3：1．则胜队得 3 分，负队得 0 分；如果比分是 3：2，则胜队得 2 分，负队得 1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则笫一名的得分是　 6 　 分．【分析】根据握手问题可知：四支队单循环赛，共有 6 场比赛，无论每场的结果如何，每场的得分之和是 3 分；那么总得分是：3×6＝18（分），把 18 分解成 3 个连线的自然数的和即可求解．【解答】解：一个赛：4×（4﹣1）÷2＝6（场）；总分：6×3＝18（分）3+4+5+6＝18，所以最高的 6 分． 答：笫一名的得分是 6 分．故答案为：6．9．（3 分）甲、乙两车分别从A、B两地同吋出发，且在A、B两地往返来回匀速行驶．若两车笫一次相遇后，甲车继续行驶 4 小吋到达B，而乙车只行驶了 1 小吋就到达A，则两车笫 15 次（在A，B两地相遇次数不计）相遇吋，它们行驶了　 86 　 小吋．【分析】设两车出发t小时相遇，甲的速度是v1，乙的速度是v2，由题意得：4v1＝tv2，（t+4）v1＝（t+1）v2，解得t＝2．所以跑完全程甲要 6 小时，乙要 3 小时，巧的是甲跑完一趟，乙就跑完整个来回，所以A、B两地相遇次数不计时，6 小时就相遇一次，相向出发 2 小时候相遇，同向出发 4 小时相遇，第 15 趟是相向出发，6×14+2＝86（小时）．【解答】解：设两车出发t小时相遇，甲的速度为v1，乙的速度为v2，则：4v1＝tv2，（t+4）v1＝（t+1）v2，解得t＝2．所以跑完全程甲要 6 小时，乙要 3 小时，A、B两地相遇次数不计时，6 小时就相遇一次，相向出发 2 小时候相遇，同向出发 4 小时相遇，第 15 趟是相向出发，则两车笫 15 次相遇吋，它们行驶了：6×（15﹣1）+2＝6×14+2＝84+2＝86（小时）答：两车笫 15 次相遇吋，它们行驶了 86 小吋．故答案为：86．10．（3 分）正方形ABCD的面积为 9 平方厘米，正方形EFGH的面积为 64 平方厘米．如图所示，边BC落在EH上．已知三角形ACG的面积为 6.75 平方厘米，则三角形ABE的面积为　 2.25 　 平方厘米．【分析】延长AB与FG交于M，如图所示，设正方形ABCD的面积求出边长a，EB＝b，CH＝c，用CH+BC表示出BH，即为MG，由三角形ABC的面积+直角梯形BCGM的面积﹣三角形AMG的面积＝三角形ACG的面积，分别利用梯形的面积公式，三角形的面积公式及已知三角形ACG的面积列出关系式，由正方形ABCD的面积为 9，求出a2的值为 9，整理后将a2的值代入，得到ab的值，即为三角形ABE的面积．【解答】解：延长AB与FG交于点M，如图所示：设正方形ABCD的边长为a厘米，EB＝b厘米，CH＝c厘米，则AB＝BC＝a厘米，BM＝EH＝EB+BC+CH＝（a+b+c）厘米，MG＝BH＝（a+c）厘米， 因为S△ACG＝S△ABC+S梯形BCGM﹣S△AMG＝6.75，所以a2+ （a+b+c）（2a+c）﹣ （2a+b+c）（a+c）＝6.75，整理得：a2+ab＝6.75，又正方形ABCD的面积为 9 平方厘米，即a2＝9，所以S△ABE＝AB•EB＝ab＝6.75﹣ ×9＝6.75﹣4.5＝2.25（平方厘米）．答：三角形ABE的面积为 2.25 平方厘米．故答案为：2.25．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:34；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800